Средняя линия треугольника

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AB$, $K$ — середина $BC$, $H$ — основание высоты из $A$. Какой из отрезков — средняя линия треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$PQ$, где $P \\in AB$, $Q \\in AC$, $PQ \\parallel BC$, $AP = 3$, $PB = 5$","$AK$","$AH$","$MK$"],"explanations":["$PQ$ параллелен $BC$, но $P$ — не середина $AB$: $AP \\ne PB$","Отрезок $AK$ идет из вершины в середину стороны — это медиана","Отрезок $AH$ — высота",""],"answer":[3]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины двух сторон.","$M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $BC$.","Ответ: $MK$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $PQR$ точка $S$ — середина $PR$, $T$ — середина $QR$, $U$ — точка на $PQ$ такая, что $RU$ — биссектриса. Какой из отрезков — средняя линия треугольника?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$QS$","$XY$, где $X \\in PR$, $Y \\in QR$, $XY \\parallel PQ$, $RX = 2$, $XP = 4$","$ST$","$RU$"],"explanations":["Отрезок $QS$ идет из вершины в середину стороны — это медиана","$XY$ параллелен $PQ$, но $X$ — не середина $PR$: $RX \\ne XP$","","Отрезок $RU$ — биссектриса"],"answer":[2]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины двух сторон.","$S$ и $T$ — середины сторон $PR$ и $QR$.","Ответ: $ST$."],"step":1},{"id":"2","content":"Точки $K$ и $L$ — середины сторон $PQ$ и $PR$ треугольника $PQR$, $KL = 9$ см. Найдите длину $QR$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$KL$ — средняя линия: $KL = \\dfrac{QR}{2}$.","$QR = 2 \\cdot 9 = 18$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Точки $S$ и $T$ — середины сторон $XY$ и $XZ$ треугольника $XYZ$, $ST = 12{,}5$ см. Найдите длину $YZ$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["$ST$ — средняя линия: $ST = \\dfrac{YZ}{2}$.","$YZ = 2 \\cdot 12{,}5 = 25$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 22$, $BC = 16$, $AC = 26$. Точки $M$, $N$, $K$ — середины сторон $AB$, $BC$, $AC$. Сопоставьте каждый отрезок с его длиной.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$MN$","$NK$","$MK$"],"items":["$13$","$11$","$8$","$26$"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и его длину","hints":["Средняя линия параллельна той стороне, на которой нет ее концов, и равна половине этой стороны.","$MN$ соединяет середины $AB$ и $BC$ — она параллельна $AC$; $NK$ параллельна $AB$; $MK$ параллельна $BC$.","Ответ: $MN = 26 : 2 = 13$, $NK = 22 : 2 = 11$, $MK = 16 : 2 = 8$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $PQR$ стороны $PQ = 30$, $QR = 18$, $PR = 24$. Точки $S$, $T$, $U$ — середины сторон $PQ$, $QR$, $PR$. Сопоставьте каждый отрезок с его длиной.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$ST$","$TU$","$SU$"],"items":["$12$","$15$","$9$","$24$"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и его длину","hints":["Средняя линия параллельна той стороне, на которой нет ее концов, и равна половине этой стороны.","$ST$ соединяет середины $PQ$ и $QR$ — она параллельна $PR$; $TU$ параллельна $PQ$; $SU$ параллельна $QR$.","Ответ: $ST = 24 : 2 = 12$, $TU = 30 : 2 = 15$, $SU = 18 : 2 = 9$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны $14$ см, $16$ см и $18$ см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного, в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Стороны нового треугольника — средние линии, каждая равна половине стороны.","$P = (14 + 16 + 18) : 2 = 24$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны $9$ см, $11$ см и $16$ см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного, в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Стороны нового треугольника — средние линии, каждая равна половине стороны.","$P = (9 + 11 + 16) : 2 = 18$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Точки $M$, $N$, $K$ — середины сторон $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$. Средние линии $MN$, $NK$, $KM$ делят его на [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["шесть равных треугольников","четыре треугольника, из которых равны только три угловых","четыре равных треугольника","три равных треугольника и один вдвое больший"],"answer":2}},"hints":["Сравните стороны треугольника $AMK$ и треугольника $MNK$ со сторонами $ABC$.","$AM = \\dfrac{AB}{2}$, $AK = \\dfrac{AC}{2}$, $MK = \\dfrac{BC}{2}$; у $MNK$: $NK = \\dfrac{AB}{2}$, $MN = \\dfrac{AC}{2}$, $MK = \\dfrac{BC}{2}$. Так же для $MBN$ и $KNC$.","Ответ: на четыре треугольника, равных по трем сторонам."],"step":1},{"id":"5","content":"Точки $D$, $E$, $F$ — середины сторон $KL$, $LM$, $KM$ треугольника $KLM$. Средние линии делят его на четыре треугольника, и треугольник $DEF$ равен [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["каждому из трех угловых треугольников","ни одному из них: он вдвое меньше каждого","сумме трех угловых треугольников","только треугольнику $DLE$"],"answer":0}},"hints":["Сравните стороны треугольника $DEF$ со сторонами угловых треугольников $KDF$, $DLE$, $FEM$.","Каждая сторона любого из четырех треугольников — половина одной из сторон $KLM$, и у каждого есть половины всех трех сторон.","Ответ: $DEF$ равен каждому из трех угловых треугольников."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $DEF$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $DE$ и $DF$, $EF = 18$ см. Решавр: «$KL \\parallel EF$, значит, $KL = EF = 18$ см». Что неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$KL$ вдвое длиннее $EF$: $KL = 36$ см","Ошибки нет: $KL = 18$ см","$KL$ не параллельна $EF$","$KL$ — половина $EF$: $KL = 9$ см"],"explanations":["Линия внутри треугольника короче стороны, которой параллельна","Параллельные отрезки могут иметь разную длину; средняя линия — половина стороны","Средняя линия параллельна третьей стороне; ошибка — в длине",""],"answer":[3]}},"hints":["Параллельность не означает равенства длин.","По теореме о средней линии $KL$ равна половине $EF$.","$KL = 18 : 2 = 9$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $RST$ точки $X$ и $Y$ — середины сторон $RS$ и $RT$, $ST = 15$ см. Решавр: «$XY$ — средняя линия, она параллельна $ST$, значит, $XY = ST = 15$ см». Что неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$XY$ вдвое длиннее $ST$: $XY = 30$ см","$XY$ — половина $ST$: $XY = 7{,}5$ см","Ошибки нет: $XY = 15$ см","$XY$ не параллельна $ST$"],"explanations":["Линия внутри треугольника короче стороны, которой параллельна","","Параллельные отрезки могут иметь разную длину; средняя линия — половина стороны","Средняя линия параллельна третьей стороне; ошибка — в длине"],"answer":[1]}},"hints":["Параллельность не означает равенства длин.","По теореме о средней линии $XY$ равна половине $ST$.","$XY = 15 : 2 = 7{,}5$ см."],"step":1},{"id":"7","content":"Стороны треугольника $ABC$ равны $9$, $13$ и $16$; $M$, $N$, $K$ — середины его сторон. Решавр: «Стороны $MNK$ вместе обходят весь треугольник $ABC$, значит, периметр $MNK$ тоже равен $9 + 13 + 16 = 38$». Что неверно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: периметр равен $38$","Периметр $MNK$ вдвое меньше: $19$","Периметр $MNK$ — четверть: $9{,}5$","Периметр $MNK$ вдвое больше: $76$"],"explanations":["Каждая средняя линия — половина стороны, и сумма вдвое меньше","","Треугольников четыре, но каждая сторона $MNK$ короче стороны $ABC$ только вдвое","Средние линии короче сторон, поэтому периметр меньше"],"answer":[1]}},"hints":["Каждая сторона $MNK$ — средняя линия, она равна половине стороны $ABC$.","Значит, периметр $MNK$ — половина периметра $ABC$.","$38 : 2 = 19$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Стороны треугольника $DEF$ равны $11$, $15$ и $20$; $P$, $Q$, $R$ — середины его сторон. Решавр: «Стороны $PQR$ вместе обходят весь треугольник $DEF$, значит, периметр $PQR$ тоже равен $11 + 15 + 20 = 46$». Что неверно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: периметр равен $46$","Периметр $PQR$ вдвое больше: $92$","Периметр $PQR$ — четверть: $11{,}5$","Периметр $PQR$ вдвое меньше: $23$"],"explanations":["Каждая средняя линия — половина стороны, и сумма вдвое меньше","Средние линии короче сторон, поэтому периметр меньше","Треугольников четыре, но каждая сторона $PQR$ короче стороны $DEF$ только вдвое",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждая сторона $PQR$ — средняя линия, она равна половине стороны $DEF$.","Значит, периметр $PQR$ — половина периметра $DEF$.","$46 : 2 = 23$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точки $A$ и $B$ — середины сторон $PQ$ и $PR$ треугольника $PQR$. Периметр треугольника $PQR$ больше периметра треугольника $PAB$ на $12$ см. Найдите периметр треугольника $PQR$ в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Стороны $PAB$ вдвое короче сторон $PQR$ (включая среднюю линию $AB$), поэтому $P_{PAB} = \\dfrac{P_{PQR}}{2}$.","Разность периметров равна половине $P_{PQR}$: $\\dfrac{P_{PQR}}{2} = 12$.","$P_{PQR} = 24$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точки $D$ и $E$ — середины сторон $KL$ и $KM$ треугольника $KLM$. Периметр треугольника $KLM$ больше периметра треугольника $KDE$ на $15$ см. Найдите периметр треугольника $KLM$ в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Стороны $KDE$ вдвое короче сторон $KLM$ (включая среднюю линию $DE$), поэтому $P_{KDE} = \\dfrac{P_{KLM}}{2}$.","Разность периметров равна половине $P_{KLM}$: $\\dfrac{P_{KLM}}{2} = 15$.","$P_{KLM} = 30$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон выпуклого четырехугольника равен $30$, одна из его диагоналей равна $12$. Найдите другую диагональ. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Стороны полученного четырехугольника — половины диагоналей: две по $6$ и две по $\\dfrac{x}{2}$.","$2 \\cdot (6 + \\frac{x}{2}) = 30$, откуда $6 + \\frac{x}{2} = 15$.","$x = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон выпуклого четырехугольника равен $28$, одна из его диагоналей равна $8$. Найдите другую диагональ. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Стороны полученного четырехугольника — половины диагоналей: две по $4$ и две по $\\dfrac{x}{2}$.","$2 \\cdot (4 + \\frac{x}{2}) = 28$, откуда $4 + \\frac{x}{2} = 14$.","$x = 20$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Медианы треугольника пересекаются в точке $O$. Длина медианы $BB_1$ равна $27$ см. Найдите длину отрезка $BO$ в сантиметрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины.","$BO$ — две части из трех: $BO = \\dfrac{2}{3} \\cdot 27 = 18$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Медианы треугольника пересекаются в точке $O$. Длина медианы $CC_1$ равна $36$ см. Найдите длину отрезка $CO$ в сантиметрах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины.","$CO$ — две части из трех: $CO = \\dfrac{2}{3} \\cdot 36 = 24$ см."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>