8 класс Геометрия Четырехугольники Параллелограмм и трапеция

Теорема Фалеса. Деление отрезка. Пропорциональные отрезки

Содержание

В уроке о центральной симметрии вы поворачивали фигуру на пол-оборота вокруг булавки. Сегодня этот прием вместе с свойства параллелограмма докажет теорему Фалеса: параллельные прямые переносят равенство отрезков с одной стороны угла на другую. С ее помощью вы разделите отрезок на равные части без измерений и найдете отрезки, которые относятся как $2 : 3$.

Что параллельные рейки переносят с одной доски на другую

Доску шириной $23$ см нужно разделить вдоль на $5$ равных полос. Отмерять полосы по $4{,}6$ см неудобно, а плотники обходятся без вычислений — одной линейкой. Как, выясним в последнем разделе.

Две доски выходят из одной точки $O$, а поперек них прибиты параллельные рейки — получается «гребенка». На верхней доске рейки прибиты через равные промежутки: $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = 3$ см. Измерим промежутки на нижней доске (рисунок слева): $B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = 4$ см.

Гребенка: на верхней доске равные промежутки по 3, параллельные рейки; на нижней доске промежутки тоже равны друг другу — по 4 при одном наклоне реек и по 5 при другом — На верхней доске промежутки по $3$ см. Наклон реек меняет длину промежутков на нижней доске ($4$ см или $5$ см), но они остаются равными между собой

Наклоним все рейки одинаково — они останутся параллельными (рисунок справа). На нижней доске промежутки стали по $5$ см: длина изменилась, равенство сохранилось. Если же наклонить только одну рейку, параллельность пропадет — и промежутки рядом с ней станут разными.

Гипотеза: параллельные прямые переносят равенство отрезков с одной стороны угла на другую. Длину — нет: на верхней доске $3$ см, на нижней — $4$ или $5$ см. Два рисунка не доказательство: положений реек бесконечно много.

Задание: тяните $B_5$ и $B_3$, чтобы все отрезки на нижней доске стали по $2$.

grebenka-fales

{"questions":[{"content":"Две доски выходят из одной точки. Параллельные рейки отсекают на верхней доске равные промежутки по $8$ см. На нижней доске первый промежуток равен $11$ см. Что можно сказать об остальных промежутках на нижней доске?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Каждый следующий длиннее, потому что доски расходятся","Каждый из них равен $8$ см, как на верхней доске","Об их длине ничего сказать нельзя","Каждый из них тоже равен $11$ см"],"explanations":["Доски расходятся, но рейки при этом удлиняются; промежутки вдоль нижней доски остаются равными, как на гребенке","Равенство переносится, а длина — нет: на нижней доске промежутки равны между собой, а не промежуткам верхней доски","Можно: рейки параллельны, а промежутки на верхней доске равны — этого достаточно",""],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните гребенку: две доски из одной точки и параллельные рейки. Какие промежутки на ней совпадали?","При параллельных рейках равные промежутки на одной доске дают равные промежутки на другой — но длина у них своя.","Ответ: каждый промежуток на нижней доске равен $11$ см."],"step":1}],"mix":1}

Почему равенство переходит на другую сторону угла

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой.

$$A_1A_2 = A_2A_3,\quad A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3 \quad\Rightarrow\quad B_1B_2 = B_2B_3$$

В теореме два условия: прямые параллельны, и отрезки на первой стороне равны. Вывод — о второй стороне: отрезки на ней равны между собой. Их длина может быть любой.

Чертеж доказательства: параллельные прямые A1B1, A2B2, A3B3; прямая CD через B2 параллельна стороне угла; пол-оборота вокруг B2 переводит треугольник B2CB1 в B2DB3, поэтому B1B2 = B2B3 — $CB_2 = A_1A_2$ и $B_2D = A_2A_3$, значит, $B_2$ — середина $CD$. Пол-оборота вокруг булавки $B_2$ переводит треугольник $B_2CB_1$ в треугольник $B_2DB_3$

Доказательство

Дано: угол с вершиной $O$; точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ лежат на одной стороне, $B_1$, $B_2$, $B_3$ — на другой; $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$, $A_1A_2 = A_2A_3$. Доказать: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Шаг 1. Через точку $B_2$ проведем прямую, параллельную стороне $OA_3$. Она пересечет прямую $A_1B_1$ в точке $C$, а прямую $A_3B_3$ — в точке $D$.

Шаг 2. В четырехугольнике $A_1A_2B_2C$ противоположные стороны попарно параллельны: $A_1A_2 \parallel CB_2$ по построению, $A_1C \parallel A_2B_2$ по условию. Значит, это параллелограмм, и $CB_2 = A_1A_2$. Так же $A_2A_3DB_2$ — параллелограмм, и $B_2D = A_2A_3$. Поскольку $A_1A_2 = A_2A_3$, получаем $CB_2 = B_2D$: точка $B_2$ — середина отрезка $CD$.

Шаг 3. Треугольники $B_2CB_1$ и $B_2DB_3$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: $CB_2 = B_2D$; $\angle CB_2B_1 = \angle DB_2B_3$ как вертикальные; $\angle B_2CB_1 = \angle B_2DB_3$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A_1B_1$, $A_3B_3$ и секущей $CD$. Значит, $B_1B_2 = B_2B_3$. Что и требовалось доказать.

На языке булавки шаг 3 — одно движение. Воткнем булавку в середину $B_2$ отрезка $CD$ и повернем кальку на пол-оборота. Точка $C$ перейдет в $D$, а прямая $A_1B_1$ — в параллельную ей прямую через $D$, то есть в $A_3B_3$ (другой такой нет). Прямая $B_1B_3$ проходит через булавку и переходит сама в себя. Значит, точка $B_1$ пересечения этих прямых переходит в $B_3$, и $B_2B_1 = B_2B_3$.

Если равных отрезков больше двух, теорему применяют к каждой паре соседних. Если первый отрезок начинается в вершине (например, $OA_1 = A_1A_2$), проведите через $O$ еще одну прямую, параллельную остальным, — получится тот же случай, и $OB_1 = B_1B_2$.

Пример

На одной стороне угла с вершиной $O$ отложены равные отрезки $OK = KL = LM$. Через точки $K$, $L$, $M$ проведены параллельные прямые; они пересекают другую сторону в точках $K_1$, $L_1$, $M_1$, причем $OM_1 = 15$ см. Найдите $OK_1$ и $OL_1$.

Решение. 1. Отрезки начинаются в вершине, поэтому проведем через $O$ прямую, параллельную $KK_1$. Теперь параллельные прямые отсекают на первой стороне равные отрезки $OK$, $KL$, $LM$.

2. По теореме Фалеса $OK_1 = K_1L_1 = L_1M_1$.

3. Эти три отрезка составляют $OM_1 = 15$ см, поэтому каждый равен $15 : 3 = 5$ см, а $OL_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: $OK_1 = 5$ см, $OL_1 = 10$ см.

Ошибка

Решавр рассуждает: «На стороне угла $AB = BC = 3$ см, через точки $B$ и $C$ проведены прямые $BP$ и $CQ$. По теореме Фалеса $AP = PQ$».

Проверим на рисунке: $AP = 4$ см, а $PQ = 5$ см — отрезки не равны. Прямая $CQ$ наклонена не так, как $BP$: прямые не параллельны.

Где сломалось рассуждение: Решавр взял из теоремы только одно условие — равные отрезки на первой стороне — и забыл второе, параллельность прямых. Без него вывод неверен.

Ошибка: AB = BC, но прямые BP и CQ не параллельны, поэтому PQ = 5 не равно AP = 4; параллельная прямая CT дала бы PT = 4 — $AB = BC$, но прямая $CQ$ не параллельна $BP$, и $PQ = 5$ см $\ne AP = 4$ см. Параллельная прямая (пунктир) отсекла бы $PT = AP = 4$ см

А верно ли обратное (повышенный уровень)

Скрыть

Пусть на одной стороне угла с вершиной $A$ отложены $AB = BC$, на другой — $AP = PQ$. Тогда $BP \parallel CQ$.

Доказательство. Проведем через $B$ прямую, параллельную $CQ$, и пусть она пересечет $AQ$ в точке $P_1$. По теореме Фалеса (через вершину $A$ проводим еще одну параллельную прямую) $AP_1 = P_1Q$, то есть $P_1$ — середина $AQ$. Но середина у отрезка одна, поэтому $P_1$ совпадает с $P$, и $BP \parallel CQ$.

Отсчет от вершины здесь важен: если прямые $A_1B_1$ и $A_3B_3$ не параллельны, а $A_2$ и $B_2$ — середины отрезков $A_1A_3$ и $B_1B_3$, то отрезки на обеих сторонах равны, а параллельности нет.

{"questions":[{"content":"Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. Через точку $B_2$ провели прямую, параллельную стороне $A_1A_2$; она пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $C$. Четырехугольник $A_1A_2B_2C$ — [[fill_choice-1]], поэтому $CB_2 = A_1A_2$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["прямоугольник","трапеция","ромб","параллелограмм"],"answer":3}},"hints":["Сравните стороны четырехугольника попарно: $A_1C \\parallel A_2B_2$ по условию, $CB_2 \\parallel A_1A_2$ по построению.","Две пары противоположных сторон параллельны — это параллелограмм, а у него противоположные стороны равны.","Ответ: параллелограмм."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Прямые $BP$ и $CQ$ параллельны, $AB = BC = 5$ см, $AP = 7$ см. Найдите длину $PQ$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yg53u26uoscm.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Параллельные прямые $BP$ и $CQ$ отсекают равные отрезки $AB$ и $BC$ на одной стороне угла.","По теореме Фалеса они отсекают равные отрезки на другой: $PQ = AP = 7$ см."],"step":1},{"content":"К двум доскам, выходящим из точки $O$, прибиты перекладины $KP$ и $LQ$ — под разными углами. На первой доске $OK = KL$. Решавр рассуждает: «$OK = KL$, значит, по теореме Фалеса $OP = PQ$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не проверено, что перекладины $KP$ и $LQ$ параллельны","Нужно, чтобы $OP = OK$","Достаточно, чтобы прямые $KP$ и $LQ$ не пересекались внутри угла","Нужно сравнить $OP$ с $OK$"],"explanations":["","Отрезки на разных сторонах угла не обязаны быть равными; теорема этого не требует","Непересечения внутри угла мало: прямые могут пересечься за пределами угла; нужна именно параллельность","Теорема переносит равенство соседних отрезков, а не сравнивает отрезки на разных сторонах угла"],"answer":[0]}},"hints":["Теорема Фалеса требует, чтобы прямые, отсекающие отрезки, были параллельны.","Перекладины $KP$ и $LQ$ прибиты под разными углами, то есть не параллельны, поэтому вывод $OP = PQ$ не следует.","Ответ: не доказана параллельность $KP$ и $LQ$."],"step":1}],"mix":1}

Как разделить отрезок на равные части без измерений

Разделить отрезок на $5$ равных частей сразу трудно: его длина может не делиться на $5$. Зато отложить пять равных отрезков на другом луче циркулем легко. Этот луч — «верхняя доска» гребенки, данный отрезок — «нижняя», а параллельные прямые перенесут равенство с луча на отрезок.

Деление отрезка AB на n равных частей

Проведите из точки $A$ луч $AX$, не лежащий на прямой $AB$.
Отложите на луче циркулем $n$ равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = \ldots = A_{n-1}A_n$.
Проведите прямую $A_nB$ и параллельные ей прямые через точки $A_1, \ldots, A_{n-1}$.
Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ делят его на $n$ равных частей.

Почему это верно: лучи $AX$ и $AB$ — стороны угла с вершиной $A$, построенные прямые параллельны и отсекают на луче $AX$ равные отрезки. По теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на $AB$. Параллельные прямые строят угольником и линейкой или циркулем и линейкой — через равные соответственные углы.

Пример

Разделим отрезок $AB$ на $5$ равных частей.

1. Из точки $A$ проводим луч $AX$ под любым углом к $AB$.

2. Произвольным раствором циркуля откладываем на луче пять равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$.

3. Проводим прямую $A_5B$, а через $A_4$, $A_3$, $A_2$, $A_1$ — прямые, параллельные $A_5B$. Они пересекают $AB$ в точках $C_4$, $C_3$, $C_2$, $C_1$.

4. По теореме Фалеса $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4B$. Длину $AB$ мы ни разу не измеряли.

Деление отрезка AB на пять равных частей: пять равных отрезков на луче AX, прямая A5B и прямые, параллельные ей, через точки A1…A4 — Пять равных отрезков на луче $AX$ (дуги циркуля) и прямые, параллельные $A_5B$, делят отрезок $AB$ на пять равных частей

Обратите внимание

Последняя прямая обязательно проходит через конец $B$, а остальные строятся параллельно ей. Если провести их иначе, например перпендикулярно $AB$, на равные части разделится уже не $AB$, а другой отрезок.

{"questions":[{"content":"Отрезок $AB$ делят на $4$ равные части. Из точки $A$ провели луч $AX$, не лежащий на прямой $AB$, и отложили на нем циркулем $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4$. Какие прямые нужно провести дальше?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямые $A_1B$, $A_2B$ и $A_3B$, проходящие через точку $B$","Перпендикуляры из точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ к прямой $AB$","Прямые через $A_1$, $A_2$, $A_3$, параллельные отрезку $AB$","Прямую $A_4B$ и параллельные ей прямые через $A_1$, $A_2$, $A_3$"],"explanations":["Эти прямые пересекаются в точке $B$, а не параллельны: теорема Фалеса к ним неприменима, и точек деления на $AB$ они не дают","Перпендикуляры параллельны, но перпендикуляр из $A_4$ попадает в точку $B$ только случайно: обычно на равные части разделится другой отрезок — от $A$ до основания этого перпендикуляра","Прямые, параллельные $AB$, не пересекают отрезок $AB$ — точек деления не получится",""],"answer":[3]}},"hints":["По теореме Фалеса нужны параллельные прямые, и последняя из них должна пройти через конец отрезка — точку $B$.","Соединяем $A_4$ с $B$ и через $A_1$, $A_2$, $A_3$ проводим прямые, параллельные $A_4B$.","Ответ: прямую $A_4B$ и параллельные ей прямые через $A_1$, $A_2$, $A_3$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги деления отрезка $AB$ на три равные части.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Проведите из точки $A$ луч, не лежащий на прямой $AB$","Отложите на луче циркулем три равных отрезка $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$","Проведите прямую $A_3B$ и после этого параллельные ей прямые через $A_2$ и $A_1$","По теореме Фалеса точки пересечения этих прямых с $AB$ делят отрезок на три равные части"]}},"hints":["Сначала нужен вспомогательный луч, на котором мерим равные части.","Тогда соединяем последнюю точку с $B$ и строим параллельные прямые.","Значит, пересечения с $AB$ дают точки деления."],"step":1}],"mix":1}

Когда отрезки относятся как 2 к 3

Определение

Точка $K$ отрезка $AB$ делит его в отношении $m : n$ (считая от точки $A$), если $AK : KB = m : n$.

Отношение $2 : 3$ значит: $AB$ можно разбить на $2 + 3 = 5$ равных частей, из которых две приходятся на $AK$, а три — на $KB$. Поэтому точку $K$ строят делением $AB$ на $5$ равных частей: $K$ — вторая точка деления от $A$.

Пример

Точка $K$ делит отрезок $AB = 35$ см в отношении $AK : KB = 2 : 3$. Найдите $AK$ и $KB$.

Решение. Всего $2 + 3 = 5$ равных частей, одна часть $35 : 5 = 7$ см. $AK = 2 \cdot 7 = 14$ см, $KB = 3 \cdot 7 = 21$ см. Проверка: $14 + 21 = 35$ и $14 : 21 = 2 : 3$.

Ответ: $AK = 14$ см, $KB = 21$ см.

Вернемся к гребенке. Параллельные прямые пересекают одну сторону угла в точках $A$, $B$, $C$, а другую — в точках $P$, $Q$, $R$; $AB = 6$ см, $BC = 9$ см. У этих отрезков есть общая мера — $3$ см: $AB$ состоит из двух таких частей, $BC$ — из трех. Добавим рейки — прямые через точки деления, параллельные данным (рисунок). На первой стороне пять равных частей подряд, и по теореме Фалеса на второй — тоже пять: две на $PQ$ и три на $QR$. Значит, $PQ : QR = 2 : 3$ — то же отношение.

Пропорциональные отрезки: общая мера делит AB на 2 части и BC на 3 части, параллельные прямые делят PQ и QR на 2 и 3 равные части, поэтому PQ : QR = 2 : 3 — $AB$ и $BC$ — две и три части по $3$ см. Прямые через точки деления дают на другой стороне две и три равные части, поэтому $PQ : QR = 2 : 3$

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{PQ}{QR}$$

Здесь теорема доказана для отрезков, у которых есть общая мера, — когда их отношение равно отношению целых чисел.

Пример

В той же конструкции $PQ = 8$ см. Найдите $QR$.

Решение. $PQ$ — две равные части, одна часть $8 : 2 = 4$ см. $QR$ — три такие части: $3 \cdot 4 = 12$ см. Проверка: $8 : 12 = 2 : 3$, как и $6 : 9$.

Ответ: $QR = 12$ см.

А если общей меры нет

Скрыть

Бывают отрезки без общей меры, например сторона и диагональ квадрата: как мелко ни дели сторону, диагональ не уложится в целое число частей. Теорема верна и для них, но рассуждение «режем на равные части» здесь не работает. Общий случай докажем в следующих уроках.

{"questions":[{"content":"Точка $K$ лежит на отрезке $AB = 20$ см и делит его в отношении $AK : KB = 2 : 3$. Найдите длину $AK$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Разделим $AB$ на $2 + 3 = 5$ равных частей: одна часть $20 : 5 = 4$ см.","$AK$ — две части: $AK = 2 \\cdot 4 = 8$ см."],"step":1},{"content":"Точка $K$ лежит на отрезке $AB = 30$ см. Сопоставьте отношение $AK : KB$ и длину $AK$. Одна длина лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["1 : 2","2 : 3","1 : 5","3 : 2"],"items":["10 см","12 см","5 см","18 см","20 см"]}},"hints":["Отношение $m : n$ значит: отрезок делят на $m + n$ равных частей, на $AK$ приходится $m$ из них.","$1 : 2$ — $3$ части по $10$ см, $AK = 10$ см; $2 : 3$ — $5$ частей по $6$ см, $AK = 12$ см; $1 : 5$ — $6$ частей по $5$ см, $AK = 5$ см; $3 : 2$ — $5$ частей по $6$ см, $AK = 18$ см.","Ответ: $1 : 2$ — $10$ см, $2 : 3$ — $12$ см, $1 : 5$ — $5$ см, $3 : 2$ — $18$ см; $20$ см лишнее (это $AK$ при $2 : 1$)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Параллельные прямые отсекают на одной стороне угла отрезки $2$ см и $6$ см. Отрезок другой стороны угла между крайними прямыми равен $20$ см. Найдите больший из отрезков на другой стороне в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Отрезки $2$ и $6$ — это $1$ и $3$ равные части: всего $4$ части.","На другой стороне части тоже равны: одна часть $20 : 4 = 5$ см.","Больший отрезок — три части: $3 \\cdot 5 = 15$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как плотник делит доску и где легко ошибиться

Задача

Доску шириной $23$ см нужно разделить вдоль на $5$ равных полос. Плотник кладет линейку наискосок так, чтобы отметка $0$ лежала на одном краю доски, а отметка $25$ см — на другом. У отметок $5$, $10$, $15$ и $20$ см он ставит точки и проводит через них линии вдоль доски. Почему полосы получаются равными и какой они ширины?

Решение. 1. Края доски и проведенные линии параллельны.

2. Линейка и поперечный отрезок, проведенный через отметку $0$ перпендикулярно краям, — стороны угла с вершиной в точке $0$. Первая из параллельных прямых — край доски — проходит через вершину.

3. На линейке параллельные прямые отсекают равные отрезки по $5$ см. По теореме Фалеса на поперечном отрезке они тоже отсекают пять равных отрезков.

4. Ширина полосы $23 : 5 = 4{,}6$ см, но считать ее не нужно. Число $25$ взято потому, что оно делится на $5$ и больше $23$.

Ответ: полосы равны по теореме Фалеса, ширина каждой $4{,}6$ см.

Доска шириной 23 см и линейка наискосок от 0 до 25: метки через 5 см и линии параллельно краям делят ширину доски на пять равных полос по 4,6 см — Линейка от $0$ до $25$ см наискосок: метки через $5$ см и линии, параллельные краям, делят ширину $23$ см на пять полос по $4{,}6$ см

Ошибка

Решавр смотрит на гребенку с прямым углом между досками: на одной доске промежутки по $3$ см, рейки параллельны. Он рассуждает: «Значит, на другой доске промежутки тоже по $3$ см, и расстояние между рейками — $3$ см».

Проверим на числах (рисунок): на другой доске промежутки по $4$ см, а расстояние между соседними рейками — $2{,}4$ см. Получились три разных числа.

Где сломалось рассуждение: по теореме Фалеса отрезки на второй стороне равны между собой, но не отрезкам первой стороны. А расстояние между рейками — длина перпендикуляра к ним. Перпендикуляр — тоже секущая, отрезки на нем равны между собой, но короче отрезков на досках: перпендикуляр короче наклонной.

Три разных числа: на одной доске отрезки по 3, на другой по 4, а расстояние между параллельными рейками 2,4; равны между собой только отрезки на одной прямой — Промежутки на досках — $3$ см и $4$ см, расстояние между рейками — $2{,}4$ см. Равны между собой только отрезки на одной и той же прямой

{"questions":[{"content":"Параллельные рейки забора прибиты так, что расстояние между соседними рейками равно $10$ см. Наклонная доска пересекает рейки, но не перпендикулярна им. Что можно сказать об отрезках доски между соседними рейками?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Они равны между собой, и каждый короче $10$ см","Они разные: чем дальше от начала доски, тем длиннее","Они равны между собой, и каждый длиннее $10$ см","Каждый из них равен $10$ см, как расстояние между рейками"],"explanations":["Перпендикуляр — кратчайший отрезок между параллельными прямыми, отрезок доски не может быть короче","Перпендикуляр — тоже секущая, на нем отрезки по $10$ см равны; по теореме Фалеса равны и отрезки на доске","","Расстояние между рейками измеряют по перпендикуляру; отрезок на наклонной доске — наклонная, а она длиннее перпендикуляра"],"answer":[2]}},"hints":["Из точки, где доска пересекает первую рейку, проведите перпендикуляр к рейкам: на нем соседние рейки отсекают равные отрезки по $10$ см.","Перпендикуляр и доска — стороны угла, рейки параллельны, поэтому по теореме Фалеса отрезки доски тоже равны между собой.","Отрезок доски между соседними рейками — наклонная, а $10$ см — длина перпендикуляра между теми же рейками; наклонная длиннее перпендикуляра.","Ответ: отрезки равны между собой и длиннее $10$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Три параллельные перекладины прикреплены к двум наклонным доскам. На левой доске между перекладинами $25$ см и $25$ см, на правой доске первый промежуток равен $18$ см. Найдите длину отрезка правой доски между крайними перекладинами в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Перекладины параллельны и отсекают на левой доске равные отрезки.","Значит, и на правой доске отрезки равны: второй промежуток тоже $18$ см.","$18 + 18 = 36$ см."],"step":1},{"content":"Параллельные рейки пересекают две доски, расходящиеся из одной точки. На верхней доске между рейками $20$ см, на нижней — $30$ см. Решавр говорит: «Отрезки разные, значит, рейки не параллельны». Что неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Рейки параллельны только при равных промежутках","Верно: при параллельных рейках промежутки одинаковы","Отрезки на разных сторонах угла не обязаны быть равными, даже если рейки параллельны","Рейки параллельны, только если доски перпендикулярны"],"explanations":["Параллельность — свойство прямых, а не длин промежутков","Одинаковы лишь соседние промежутки на одной доске","","Параллельность реек не зависит от угла между досками: рейки параллельны друг другу при любом угле"],"answer":[2]}},"hints":["Теорема Фалеса переносит равенство соседних отрезков с одной стороны угла на другую, но не говорит, что отрезки на разных сторонах равны между собой.","Доски — разные стороны угла: промежутки на них могут быть разной длины и при параллельных рейках.","Ответ: отрезки на разных сторонах угла и при параллельных рейках могут быть разной длины."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема Фалеса переносит равенство отрезков с одной прямой на другую без измерений. Так делят отрезок на равные части и в отношении $m : n$ и находят неизвестные отрезки на сторонах угла. На ней держится следующий урок — о средней линии треугольника.

Чтобы вспомнить главное, представьте гребенку: две доски и параллельные рейки.

Случай	Что представить	Вывод
Параллельные прямые, равные отрезки на одной стороне	Гребенка и булавка в середине	На другой стороне отрезки равны между собой, длина своя
Прямые не параллельны	Одна рейка наклонена иначе	Теорема не работает
Разделить отрезок на $n$ равных частей	Луч — верхняя доска, отрезок — нижняя	$n$ равных отрезков на луче, прямые параллельно $A_nB$
Точка делит отрезок в отношении $m : n$	Режем на $m + n$ равных частей	На первый отрезок — $m$ частей, на второй — $n$
Расстояние между рейками	Перпендикуляр — самая короткая секущая	Не равно отрезкам на наклонных досках

Часто задаваемые вопросы

Почему теорему называют именем Фалеса?

Фалес Милетский — греческий мыслитель VI века до н. э., один из первых известных греческих математиков. Его сочинения не сохранились, поэтому теорему называют его именем по традиции. В англоязычных учебниках «теоремой Фалеса» называют другое утверждение — об угле, опирающемся на диаметр окружности.

Обязательно ли, чтобы прямые пересекали именно стороны угла?

Нет. Вершина угла в доказательстве не использовалась, поэтому теорема верна для любых двух прямых, пересекающих параллельные. Если эти две прямые сами параллельны, отрезки на них — противоположные стороны параллелограммов.

Чем теорема Фалеса отличается от теоремы о пропорциональных отрезках?

Теорема Фалеса — частный случай с отношением $1 : 1$. Теорема о пропорциональных отрезках переносит любое отношение; здесь мы вывели ее из теоремы Фалеса для отрезков с общей мерой.

Как разделить отрезок на 7 равных частей, если нет циркуля?

Подойдет тетрадь в линейку: ее линии параллельны и идут через равные промежутки. Положите полоску бумаги с отрезком наискосок так, чтобы его концы легли на линии, между которыми $7$ промежутков (отрезок должен быть длиннее семи промежутков). Линии разрежут отрезок на $7$ равных частей по теореме Фалеса.

Награды за урок