Метод удвоения медианы

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Медиана $AM$ треугольника $ABC$ продлена за $M$ до $D$ так, что $MD = AM$. Четырехугольник $ABDC$ — параллелограмм, потому что его диагонали [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["делят углы пополам","перпендикулярны","делятся точкой пересечения пополам","равны"],"answer":2}},"hints":["Диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$.","$BM = MC$ (медиана) и $AM = MD$ (построение): диагонали делятся пополам.","Ответ: делятся точкой пересечения пополам."],"step":1},{"id":"1","content":"Медиана $KP$ треугольника $KLM$ продлена за $P$ до $E$ так, что $PE = KP$. Четырехугольник $KLEM$ — параллелограмм, потому что его диагонали [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["делят углы пополам","перпендикулярны","равны","делятся точкой пересечения пополам"],"answer":3}},"hints":["Диагонали $KE$ и $LM$ пересекаются в точке $P$.","$LP = PM$ (медиана) и $KP = PE$ (построение).","Ответ: делятся точкой пересечения пополам."],"step":1},{"id":"2","content":"Медиана $AM$ треугольника $ABC$ продлена за $M$ до $D$, $MD = AM$. Известно, что $AB = 9$ см. Найдите длину $CD$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$ABDC$ — параллелограмм.","Сторона $CD$ противоположна стороне $AB$: $CD = AB = 9$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Медиана $KP$ треугольника $KLM$ продлена за $P$ до $E$, $PE = KP$. Известно, что $KM = 13$ см. Найдите длину $LE$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$KLEM$ — параллелограмм.","Сторона $LE$ противоположна стороне $KM$: $LE = KM = 13$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$. Какое построение превратит треугольник в параллелограмм?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Провести через $M$ прямую, параллельную $AB$","Продлить $AM$ за $M$ на $MD = AM$ и соединить $D$ с $B$ и $C$","Продлить $BC$ за точку $C$ на длину $BC$","Продлить $AM$ за $M$ на $MD = BC$ и соединить $D$ с $B$ и $C$"],"explanations":["Так получается отрезок внутри треугольника, а не параллелограмм с медианой как диагональю","","Медиана $AM$ при этом не используется","Тогда $M$ не середина $AD$, и диагонали не делятся пополам"],"answer":[1]}},"hints":["Медиана делит $BC$ пополам, поэтому $BC$ — готовая диагональ.","Вторую диагональ получаем продолжением $AM$ за $M$ на ее длину.","Ответ: продлить $AM$ на $MD = AM$ и соединить $D$ с $B$ и $C$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $KLM$ проведена медиана $LP$ ($P$ лежит на $KM$). Какое построение превратит треугольник в параллелограмм?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Провести через $P$ прямую, параллельную $LK$","Продлить $KM$ за точку $M$ на длину $KM$","Продлить $LP$ за $P$ на $PE = KM$ и соединить $E$ с $K$ и $M$","Продлить $LP$ за $P$ на $PE = LP$ и соединить $E$ с $K$ и $M$"],"explanations":["Так получается отрезок внутри треугольника, а не параллелограмм с медианой как диагональю","Медиана $LP$ при этом не используется","Тогда $P$ не середина $LE$, и диагонали не делятся пополам",""],"answer":[3]}},"hints":["Медиана делит $KM$ пополам, поэтому $KM$ — готовая диагональ.","Вторую диагональ получаем продолжением $LP$ за $P$ на ее длину.","Ответ: продлить $LP$ на $PE = LP$ и соединить $E$ с $K$ и $M$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решавр продлил медиану $AM$ за точку $M$ до $D$ и отложил $MD = AB$. Он говорит: «$ABDC$ — параллелограмм, так как $AD$ и $BC$ пересекаются в $M$». Что неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$MD$ должен быть равен $AM$, чтобы $M$ стала серединой $AD$","Нужно было отложить $MD = BC$","$AD$ и $BC$ не пересекаются","$M$ не является серединой $BC$"],"explanations":["","Отрезок $BC$ не связан с длиной медианы: серединой $AD$ точка $M$ не станет","Они пересекаются в точке $M$ по построению","$AM$ — медиана, поэтому $M$ — середина $BC$"],"answer":[0]}},"hints":["Для параллелограмма нужно, чтобы $M$ была серединой и $BC$, и $AD$.","$M$ — середина $AD$ только при $MD = AM$, а не при $MD = AB$.","Ответ: $MD$ нужно было откладывать равным $AM$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решавр продлил медиану $KP$ за точку $P$ до $E$ и отложил $PE = KL$. Он говорит: «$KLEM$ — параллелограмм, так как $KE$ и $LM$ пересекаются в $P$». Что неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$P$ не является серединой $LM$","$KE$ и $LM$ не пересекаются","Нужно было отложить $PE = LM$","$PE$ должен быть равен $KP$, чтобы $P$ стала серединой $KE$"],"explanations":["$KP$ — медиана, поэтому $P$ — середина $LM$","Они пересекаются в точке $P$ по построению","Отрезок $LM$ не связан с длиной медианы: серединой $KE$ точка $P$ не станет",""],"answer":[3]}},"hints":["Для параллелограмма нужно, чтобы $P$ была серединой и $LM$, и $KE$.","$P$ — середина $KE$ только при $PE = KP$, а не при $PE = KL$.","Ответ: $PE$ нужно было откладывать равным $KP$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ медиана $AM = 5$ см продлена за $M$ до $D$, $MD = AM$. Известно, что $AB = 6$ см и $AC = 9$ см. Найдите периметр треугольника $ABD$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["$AD = 2\\,AM = 10$ см.","$BD = AC = 9$ см.","$P = 6 + 9 + 10 = 25$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $KLM$ медиана $KP = 4$ см продлена за $P$ до $E$, $PE = KP$. Известно, что $KL = 7$ см и $KM = 11$ см. Найдите периметр треугольника $KLE$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["$KE = 2\\,KP = 8$ см.","$LE = KM = 11$ см.","$P = 7 + 11 + 8 = 26$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 9$ и $AC = 13$. Сколько целых значений может принять длина медианы $AM$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Продлим $AM$ на ее длину до $D$: $BD = AC = 13$, $AD = 2\\,AM$.","В треугольнике $ABD$ любая сторона меньше суммы и больше разности двух других: $13-9 < 2\\,AM < 13 + 9$.","$2 < AM < 11$, целые значения $3, 4, \\ldots, 10$: всего $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $KLM$ стороны $KL = 8$ и $KM = 15$. Сколько целых значений может принять длина медианы $KP$ ($P$ лежит на $LM$)? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Продлим $KP$ на ее длину до $E$: $LE = KM = 15$, $KE = 2\\,KP$.","В треугольнике $KLE$: $15-8 < 2\\,KP < 15 + 8$.","$3{,}5 < KP < 11{,}5$, целые значения $4, 5, \\ldots, 11$: всего $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр рассуждает: «$ABDC$ — параллелограмм, поэтому его диагонали $AD$ и $BC$ перпендикулярны». Что неверно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Диагонали перпендикулярны, потому что $AM$ — медиана","$ABDC$ вообще не параллелограмм","Диагонали перпендикулярны только у ромба, а $ABDC$ — ромб лишь при $AB = AC$","Диагонали параллелограмма всегда равны"],"explanations":["Медиана не перпендикулярна $BC$: перпендикуляр к стороне — это высота","$ABDC$ — параллелограмм: диагонали делятся точкой $M$ пополам","","Диагонали равны только у прямоугольника"],"answer":[2]}},"hints":["Диагонали параллелограмма перпендикулярны только у ромба.","Ромб получится при $AB = AC$; в общем треугольнике $AB \\ne AC$.","Ответ: перпендикулярность диагоналей — свойство ромба, а не любого параллелограмма."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр рассуждает: «$ABDC$ — параллелограмм, поэтому его диагонали $AD$ и $BC$ равны, и $AM = \\dfrac{BC}{2}$». Что неверно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Диагонали параллелограмма перпендикулярны","$ABDC$ вообще не параллелограмм","$AM$ всегда равна $BC$","Диагонали равны только у прямоугольника, а $ABDC$ — прямоугольник лишь при $\\angle A = 90^\\circ$"],"explanations":["Перпендикулярны диагонали только у ромба","$ABDC$ — параллелограмм: диагонали делятся точкой $M$ пополам","$AM$ и $BC$ не связаны таким равенством, а $AM = \\dfrac{BC}{2}$ — лишь частный случай",""],"answer":[3]}},"hints":["Диагонали параллелограмма равны только у прямоугольника.","Прямоугольник получится при прямом угле $A$; в общем треугольнике $AM \\ne \\dfrac{BC}{2}$.","Ответ: равенство диагоналей — свойство прямоугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ медиана $CM$, проведенная к гипотенузе, равна $6{,}5$. Найдите гипотенузу $AB$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Удвоение медианы дает прямоугольник $ACBD$: диагонали $CD$ и $AB$ равны.","$CD = 2\\,CM = 13$.","$AB = CD = 13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В прямоугольном треугольнике $KLM$ с прямым углом $M$ гипотенуза $KL = 17$. Найдите длину медианы $MP$, проведенной к гипотенузе. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["8,5","8.5"]}},"hints":["Удвоение медианы дает прямоугольник $KMLE$: диагонали $ME$ и $KL$ равны.","$ME = KL = 17$.","$MP = 17 : 2 = 8{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Медиана $AM$ треугольника $ABC$ продлена за $M$ до $D$, $MD = AM$. Равенство $BD = AC$ доказывают через треугольники $AMC$ и $DMB$. Какой признак равенства треугольников применяют?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Второй: сторона и два прилежащих угла","Первый: две стороны и угол между ними","Третий: три стороны","По гипотенузе и катету"],"explanations":["Равенство двух углов, прилежащих к стороне, здесь не дано","","Третьей пары сторон $AC$ и $BD$ в условии нет — это то, что доказывают","Треугольники не прямоугольные, этот признак здесь не применим"],"answer":[1]}},"hints":["$AM = DM$ (построение), $CM = BM$ (медиана).","$\\angle AMC = \\angle DMB$ как вертикальные — это угол между равными сторонами.","Ответ: первый признак — по двум сторонам и углу между ними."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Медиана $KP$ треугольника $KLM$ продлена за $P$ до $E$, $PE = KP$. Равенство $LE = KM$ доказывают через треугольники $KPM$ и $EPL$. Какой признак равенства треугольников применяют?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Третий: три стороны","Первый: две стороны и угол между ними","По гипотенузе и катету","Второй: сторона и два прилежащих угла"],"explanations":["Третьей пары сторон $KM$ и $LE$ в условии нет — это то, что доказывают","","Треугольники не прямоугольные, этот признак здесь не применим","Равенство двух углов, прилежащих к стороне, здесь не дано"],"answer":[1]}},"hints":["$KP = EP$ (построение), $MP = LP$ (медиана).","$\\angle KPM = \\angle EPL$ как вертикальные — это угол между равными сторонами.","Ответ: первый признак — по двум сторонам и углу между ними."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Медиана $AM$ треугольника $ABC$ продлена за точку $M$ до точки $D$ так, что $MD = AM$. Сопоставьте каждый отрезок с равной ему величиной.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AD$","$BD$","$CD$","$MD$"],"items":["$2\\,AM$","$AC$","$AB$","$AM$"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и равную ему величину","hints":["$ABDC$ — параллелограмм: диагонали $AD$ и $BC$ делятся точкой $M$ пополам.","Противоположные стороны параллелограмма равны: $BD = AC$, $CD = AB$. По построению $MD = AM$, значит, $AD = 2\\,AM$.","Ответ: $AD$ — $2\\,AM$; $BD$ — $AC$; $CD$ — $AB$; $MD$ — $AM$."],"step":1},{"id":"10","content":"Медиана $KP$ треугольника $KLM$ продлена за точку $P$ до точки $E$ так, что $PE = KP$. Сопоставьте каждый отрезок с равной ему величиной.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$KE$","$LE$","$ME$","$PE$"],"items":["$2\\,KP$","$KM$","$KL$","$KP$"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и равную ему величину","hints":["$KLEM$ — параллелограмм: диагонали $KE$ и $LM$ делятся точкой $P$ пополам.","Противоположные стороны параллелограмма равны: $LE = KM$, $ME = KL$. По построению $PE = KP$, значит, $KE = 2\\,KP$.","Ответ: $KE$ — $2\\,KP$; $LE$ — $KM$; $ME$ — $KL$; $PE$ — $KP$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>