8 класс Геометрия Четырехугольники Параллелограмм и трапеция

Метод удвоения медианы

Содержание

Вы уже знаете признаки параллелограмма и что такое медиана треугольника. В этом уроке разберем метод удвоения медианы: медиану продлевают на ее длину, и треугольник достраивается до параллелограмма. С помощью этого приема медиану связывают со сторонами треугольника, оценивают ее длину и доказывают равенство отрезков.

Медиана и стороны не складываются в одну фигуру

Задача

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 3$ см и $AC = 5$ см. Может ли медиана $AM$ быть равна $4$ см?

Число $4$ лежит между $3$ и $5$, а медиана проходит между сторонами $AB$ и $AC$. Кажется, ничто не мешает. Но проверить это нечем: отрезки $AB$, $AC$ и $AM$ выходят из одной вершины в разные стороны и не образуют ни одного треугольника. Неравенство треугольника и признаки равенства к ним не применить.

Три отрезка из вершины A порознь: стороны AB = 3 и AC = 5 и медиана AM со знаком вопроса; треугольника, в котором их можно сравнить, на рисунке нет — Отрезки $AB$, $AC$ и $AM$ выходят из одной вершины, но треугольника не образуют — сравнить их не с чем

Нужно собрать три отрезка в одну фигуру. Вообразавр предлагает опыт. Переведите треугольник $ABC$ на кальку и приколите ее булавкой в точке $M$ — середине стороны $BC$. Поверните кальку на пол-оборота, то есть на $180^\circ$ вокруг булавки.

Опыт с калькой: пол-оборота вокруг булавки M переводит B в C, C в B и A в D; треугольник и его копия образуют четырехугольник ABDC — Пол-оборота вокруг булавки $M$: $B$ и $C$ меняются местами, $A$ переходит в $D$, треугольник и копия складываются в $ABDC$

Что видно на кальке. Точка $B$ легла на $C$, а точка $C$ — на $B$: булавка стоит ровно посередине, и концы отрезка поменялись местами. Луч $MA$ развернулся в противоположный луч, поэтому точка $A$ ушла на продолжение медианы за точку $M$. Назовем это место $D$. При повороте расстояние до булавки не меняется, значит, $MD = AM$.

Треугольник и его повернутая копия вместе образуют четырехугольник $ABDC$, похожий на параллелограмм. В нем уже есть все три отрезка задачи: стороны $AB$ и $AC$ и медиана — половина отрезка $AD$. Ответ на вопрос задачи получим в последнем разделе, а сначала докажем, что построение работает без всякой кальки.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$. Ее продлевают за точку $M$ до точки $D$, чтобы $ABDC$ стал параллелограммом. Какой отрезок откладывают на продолжении?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$MD = BC$","$MD = \\dfrac{AM}{2}$","$MD = AM$","$MD = AB$"],"explanations":["Длина $BC$ не связана с длиной медианы; серединой $AD$ точка $M$ не станет","Тогда $M$ не будет серединой $AD$, и диагонали не делятся пополам","","Сторона $AB$ не связана с длиной $AM$; середина $AD$ — это когда $MD = AM$"],"answer":[2]}},"hints":["Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Диагональ $BC$ точка $M$ уже делит пополам.","Значит, и диагональ $AD$ точка $M$ должна делить пополам: $MD = AM$.","Ответ: $MD = AM$."],"step":1}],"mix":1}

Продленная на свою длину медиана делает треугольник параллелограммом

Калька подсказала построение: продлить медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину и соединить новую точку $D$ с вершинами $B$ и $C$. Теперь докажем, что получается параллелограмм, только по известным признакам.

Метод удвоения медианы

Если медиану $AM$ треугольника $ABC$ продлить за точку $M$ на ее длину, то есть отложить $MD = AM$, то четырехугольник $ABDC$ — параллелограмм, а отрезки $AD$ и $BC$ — его диагонали.

Медиана AM продолжена за точку M на свою длину: M — середина диагоналей AD и BC, четырехугольник ABDC — параллелограмм — Точка $M$ — середина обеих диагоналей: $BM = MC$, так как $AM$ — медиана, и $AM = MD$ по построению

Доказательство

Диагонали $AD$ и $BC$ четырехугольника $ABDC$ пересекаются в точке $M$.

$BM = MC$, так как $AM$ — медиана. $AM = MD$ по построению.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому по признаку параллелограмма $ABDC$ — параллелограмм.

Обратите внимание: на рисунке $AB \ne AC$, и параллелограмм получился не ромбом и не прямоугольником. Доказательство нигде не использовало ни равенства сторон, ни прямого угла — только середину $M$ и равенство $MD = AM$.

Пример

Задача. $AM$ — медиана треугольника $ABC$. Докажите, что $BD = AC$, где $D$ — точка на продолжении $AM$ за точку $M$, $MD = AM$.

Решение. 1) Точка $M$ — середина $BC$, так как $AM$ — медиана, и середина $AD$, так как $MD = AM$.

2) Диагонали $AD$ и $BC$ четырехугольника $ABDC$ делятся точкой пересечения пополам, значит, $ABDC$ — параллелограмм.

3) $BD$ и $AC$ — противоположные стороны параллелограмма, поэтому $BD = AC$, что и требовалось доказать.

Другое доказательство — через равные треугольники

Скрыть

Рассмотрим треугольники $AMC$ и $DMB$. В них $AM = DM$ по построению, $CM = BM$, так как $AM$ — медиана, а $\angle AMC = \angle DMB$ как вертикальные. Это две стороны и угол между ними, поэтому треугольники равны по первому признаку. Значит, $AC = DB$.

В модели кальки треугольник $DMB$ — это повернутая копия треугольника $AMC$. Такое доказательство обычно пишут в задачах на доказательство в ОГЭ.

В интерактиве ниже можно тянуть точку $D$ по прямой $AM$ за точку $M$ и сравнивать длины $AM$, $MD$, $AB$, $AC$, $BD$, $CD$, $AD$.

udvoenie-mediany

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке $AM$ — медиана, $MD = AM$. Почему четырехугольник $ABDC$ — параллелограмм?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qoeslg6ervxw.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Диагонали $AD$ и $BC$ точкой $M$ делятся пополам","Диагонали $AD$ и $BC$ перпендикулярны","Углы $B$ и $C$ равны","Стороны $AB$ и $AC$ равны"],"explanations":["","Перпендикулярность не дана; она бывает у ромба, а не у любого параллелограмма","Равенство углов $B$ и $C$ в условии не дано","Равенство $AB = AC$ в условии не дано, и для параллелограмма оно не нужно"],"answer":[0]}},"hints":["Диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$.","$BM = MC$, так как $AM$ — медиана; $AM = MD$ по построению.","Диагонали делятся точкой пересечения пополам — это признак параллелограмма. Ответ: по признаку параллелограмма."],"step":1},{"content":"В треугольнике $PQR$ проведена медиана $QS$. Расставьте шаги доказательства того, что $QR \\parallel PT$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Отложим $ST = QS$ на продолжении медианы $QS$","Соединим $T$ с $P$ и $R$, получим четырехугольник $PQRT$ с диагоналями $PR$ и $QT$","Диагонали делятся точкой $S$ пополам: $PS = SR$ (медиана), $QS = ST$ (построение), значит, $PQRT$ — параллелограмм","$QR$ и $PT$ — противоположные стороны параллелограмма, значит, $QR \\parallel PT$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала строим точку $T$: без нее нет четырехугольника.","Потом соединяем $T$ с $P$ и $R$, показываем, что диагонали делятся пополам, и только после этого делаем вывод о параллелограмме и параллельности сторон.","Порядок: построение → четырехугольник → диагонали делятся пополам → параллельные противоположные стороны."],"step":1}],"mix":1}

Три отрезка из одной вершины собираются в треугольник

Соберем следствия. У параллелограмма $ABDC$ противоположные стороны равны: $BD = AC$ и $CD = AB$. Диагональ $AD$ состоит из двух равных половин: $AD = AM + MD = 2\,AM$.

Достроенный параллелограмм ABDC: отрезки AB, BD = AC и AD = 2AM — стороны одного треугольника ABD — В треугольнике $ABD$ стороны $AB$, $BD = AC$ и $AD = 2\,AM$ — все три отрезка задачи в одной фигуре

Посмотрите на треугольник $ABD$. Его стороны — $AB$, $AC$ на месте $BD$ и удвоенная медиана. Копия на кальке перенесла сторону $AC$ так, что она стала соседкой стороны $AB$. Для треугольника $ABD$ работает неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Разделив на $2$, получаем оценку медианы.

Неравенство для медианы

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$ и больше их полуразности. Если $AC \ge AB$, то

Пример

Задача. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 4$ см и $AC = 10$ см. В каких пределах может быть длина медианы $AM$?

Решение. 1) Продлим $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$. $ABDC$ — параллелограмм, поэтому $BD = AC = 10$ см, а $AD = 2\,AM$.

2) В треугольнике $ABD$: $10-4 < 2\,AM < 10 + 4$, то есть $6 < 2\,AM < 14$.

3) Делим на $2$: $3 < AM < 7$.

Ответ: больше $3$ см и меньше $7$ см. Медиана может оказаться даже короче обеих сторон, например $AM = 3{,}5$ см.

Особый случай — прямой угол $A$. Тогда у параллелограмма $ABDC$ есть прямой угол, и он прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны: $AD = BC$. Значит, $AM = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ — медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Например, при гипотенузе $BC = 12$ см медиана $AM = 6$ см.

Угол A прямой: ABDC — прямоугольник, диагонали AD и BC равны, поэтому AM = BC/2 — Угол $A$ прямой: $ABDC$ — прямоугольник, его диагонали равны, поэтому $AM = \frac{BC}{2}$

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продлена за $M$ до точки $D$ так, что $MD = AM$. Известно, что $AC = 7$ см. Найдите длину $BD$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$ABDC$ — параллелограмм: диагонали $AD$ и $BC$ делятся точкой $M$ пополам.","Сторона $BD$ противоположна стороне $AC$, у параллелограмма они равны.","$BD = AC = 7$ см."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$ и $AC = 10$. Медиана $AM$ продлена за $M$ до $D$, $MD = AM$. Каково наибольшее целое значение, которое может принять длина медианы $AM$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["В треугольнике $ABD$: $AD < AB + BD$, а $BD = AC = 10$.","$2\\,AM < 6 + 10 = 16$, значит, $AM < 8$.","Наибольшее целое значение: $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, гипотенуза $BC = 14$ см. Медиану $AM$ продлили до $D$, $MD = AM$. Найдите длину $AM$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$ABDC$ — параллелограмм с прямым углом $A$, то есть прямоугольник.","Диагонали прямоугольника равны: $AD = BC = 14$ см.","$AM = AD : 2 = 7$ см."],"step":1}],"mix":1}

Булавка не посередине — и параллелограмма нет

Ошибка

Медиану продлевают не на ее длину — «на глаз», на половину медианы или на сторону $AB$ — и все равно пишут «$ABDC$ — параллелограмм, $BD = AC$».

Проверим на треугольнике со сторонами $AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 8$. Если отложить $MD$ вдвое короче $AM$, то $BD \approx 5{,}2$, а не $7$. Где сломалось рассуждение: $M$ осталась серединой $BC$, но перестала быть серединой $AD$. Признак требует, чтобы пополам делились обе диагонали.

Медиану путают с высотой. Если продлить на ее длину высоту $AH$, то в том же треугольнике $BD = AB = 5$ и $CD = AC = 7$: получился не параллелограмм, а четырехугольник с равными соседними сторонами. Причина: $H$ — не середина $BC$.

Две ошибки: слева отрезок MD отложен короче AM, справа удвоена высота AH вместо медианы; в обоих случаях диагонали не делятся пополам — Слева $MD$ короче $AM$: $BD \ne AC$. Справа удвоена высота: $BD = AB$. В обоих случаях одна из диагоналей не делится пополам

Модель кальки объясняет обе ошибки одинаково. Пол-оборота меняет местами $B$ и $C$, только если булавка стоит в середине $BC$, — поэтому удваивают именно медиану. И копия точки $A$ всегда оказывается на том же расстоянии от булавки, поэтому откладывают именно $MD = AM$.

Важно

$ABDC$ — параллелограмм всегда, но ромб — только при $AB = AC$, а прямоугольник — только при прямом угле $A$. Поэтому перпендикулярностью или равенством диагоналей $AD$ и $BC$ пользоваться нельзя, если этого нет в условии.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Решавр продлил медиану $AM$ за точку $M$ до точки $D$, но взял $MD$ короче $AM$. Он утверждает: «$ABDC$ — параллелограмм». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cwapxx6voycb.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$M$ не является серединой $AD$, поэтому диагонали не делятся пополам","$ABDC$ — параллелограмм, ведь $AD$ и $BC$ пересекаются в $M$","Ошибки нет: достаточно, что $M$ — середина $BC$","$M$ не является серединой $BC$"],"explanations":["","Пересечения мало: нужно, чтобы $M$ была серединой обеих диагоналей","Середина одной диагонали признака параллелограмма не дает","$M$ — середина $BC$, потому что $AM$ — медиана"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы $ABDC$ был параллелограммом, нужно, чтобы диагонали $AD$ и $BC$ делились точкой $M$ пополам.","Точка $M$ — середина $BC$, но не середина $AD$: $MD \\ne AM$.","Ответ: $M$ не середина $AD$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр перепутал медиану с высотой. В треугольнике $ABC$ ($AB \\ne AC$) он провел высоту $AH$, продлил ее за точку $H$ на $HD = AH$ и пишет: «$ABDC$ — параллелограмм, значит, $BD = AC$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Все верно: диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $H$","$ABDC$ — ромб, поэтому $BD = AB$ и $BD = AC$","$H$ — не середина $AD$, поэтому $ABDC$ — не параллелограмм","$H$ — не середина $BC$, поэтому $ABDC$ — не параллелограмм"],"explanations":["Пересечения мало: признак требует, чтобы точка пересечения делила пополам обе диагонали, а $BH \\ne HC$","Ромб был бы при $AB = AC$, а в условии $AB \\ne AC$; из $BD = AB$ равенство $BD = AC$ не следует","Серединой $AD$ точка $H$ как раз является: $HD = AH$ по построению. Не делится пополам другая диагональ — $BC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак параллелограмма требует, чтобы точка пересечения делила пополам обе диагонали: и $AD$, и $BC$.","$AH = HD$ по построению, но высота при $AB \\ne AC$ не попадает в середину $BC$: $BH \\ne HC$.","Ответ: $H$ — не середина $BC$, поэтому $ABDC$ не параллелограмм. На самом деле прямая $BC$ — серединный перпендикуляр к $AD$, и $BD = AB$, а не $AC$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Медиана $AM$ треугольника $ABC$ продлена за точку $M$ на ее длину до точки $D$. Сопоставьте треугольник $ABC$ и то, чем оказывается четырехугольник $ABDC$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB \\ne AC$, угол $A$ не прямой","$AB = AC$, угол $A$ не прямой","$AB \\ne AC$, угол $A$ прямой","$AB = AC$, угол $A$ прямой"],"items":["Параллелограмм, но не ромб и не прямоугольник","Ромб, но не квадрат","Прямоугольник, но не квадрат","Квадрат"]}},"instruction":"Соотнесите треугольник и четырехугольник","hints":["$ABDC$ — всегда параллелограмм. Его соседние стороны — $AB$ и $BD = AC$, угол при вершине $A$ — угол $BAC$.","Ромб — когда соседние стороны равны: $AB = AC$. Прямоугольник — когда угол $A$ прямой. Квадрат — когда выполнено и то и другое.","Ответ: $AB \\ne AC$, угол не прямой — просто параллелограмм; $AB = AC$ — ромб; угол $A$ прямой — прямоугольник; оба условия — квадрат."],"step":1}],"mix":1}

Задачу с медианой решают в три шага

Как решать задачу с медианой

Продлить медиану за середину стороны на ее длину.
Достроить параллелограмм или пару равных треугольников и записать, какие отрезки равны.
Сделать вывод в одном треугольнике: неравенство, периметр, равенство отрезков.

Задача

Вернемся к задаче из начала урока: $AB = 3$ см, $AC = 5$ см. Может ли медиана $AM$ быть равна $4$ см?

Продлили: продлим $AM$ на ее длину до точки $D$. Достроили: $ABDC$ — параллелограмм: $BD = AC = 5$ см, $AD = 2\,AM$. Вывод: в треугольнике $ABD$: $5-3 < 2\,AM < 5 + 3$, то есть $1 < AM < 4$.

При $AM = 4$ получилось бы $AD = 8 = 3 + 5$: точка $B$ легла бы на отрезок $AD$, и треугольника $ABD$ не было бы. Ответ: не может, медиана меньше $4$ см.

Слева AM = 3: стороны 3, 5 и 6 образуют треугольник ABD; справа AM = 4: стороны 3 и 5 ложатся на отрезок длиной 8, треугольника нет — При $AM = 3$ треугольник $ABD$ со сторонами $3$, $5$, $6$ существует. При $AM = 4$ стороны $3$ и $5$ ложатся на отрезок $8$

Тот же пол-оборота вокруг $M$ работает и без продления: он переводит $B$ в $C$. Так решается одна из классических задач на доказательство.

Пример

Задача. $AM$ — медиана треугольника $ABC$. Докажите, что вершины $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $AM$.

Решение. 1) Опустим перпендикуляры $BK$ и $CL$ на прямую $AM$. Расстояния от $B$ и $C$ до прямой — это длины $BK$ и $CL$.

2) Треугольники $BKM$ и $CLM$ прямоугольные. В них $BM = CM$, так как $AM$ — медиана, а $\angle BMK = \angle CML$ как вертикальные.

3) Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $BK = CL$, что и требовалось доказать.

На кальке: пол-оборота вокруг $M$ переводит $B$ в $C$, а прямую $AM$ — в себя, поэтому перпендикуляр $BK$ переходит в $CL$.

Прямая AM; перпендикуляры BK и CL к ней равны, потому что равны треугольники BKM и CLM — Треугольники $BKM$ и $CLM$ равны: $BM = CM$, углы при $M$ вертикальные, поэтому $BK = CL$

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BN$ ($N$ лежит на $AC$). Нужно доказать, что $2\\,BN < BA + BC$. Какое построение поможет?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Продлить $BN$ за $N$ на отрезок $NK = BC$","Продлить $BN$ за $N$ на отрезок $NK = BN$","Провести биссектрису угла $B$","Провести высоту из $B$"],"explanations":["Тогда $N$ не середина $BK$, и $BK \\ne 2\\,BN$","","Биссектриса делит угол, а не удваивает медиану","Высота не связывает $BN$ с $BA$ и $BC$ в один треугольник"],"answer":[1]}},"hints":["Нужно собрать $2\\,BN$, $BA$ и $BC$ в один треугольник.","Продлим $BN$ за $N$ до $K$ так, что $NK = BN$: тогда $BK = 2\\,BN$, а $CK = BA$.","В треугольнике $BCK$: $BK < BC + CK = BC + BA$. Ответ: продлить $BN$ на ее длину."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ медиана $BN$ ($N$ лежит на $AC$) продлена за $N$ до точки $K$ так, что $NK = BN$. Известно, что $BA = 9$ и $BC = 11$. Найдите длину $AK$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Диагонали $AC$ и $BK$ четырехугольника $ABCK$ делятся точкой $N$ пополам, значит, $ABCK$ — параллелограмм.","$AK$ противоположна стороне $BC$.","$AK = BC = 11$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ медиана $AM = 4$ см продлена за $M$ до $D$, $MD = AM$. Известно, что $AB = 5$ см и $AC = 7$ см. Найдите периметр треугольника $ABD$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$AD = 2\\,AM = 8$ см.","$BD = AC = 7$ см (противоположные стороны параллелограмма $ABDC$).","$P = AB + BD + AD = 5 + 7 + 8 = 20$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Медиана выходит из вершины отдельно от сторон и с ними не образует треугольника. Удвоение медианы собирает ее и две стороны в один треугольник $ABD$, и для них начинают работать неравенство треугольника, признаки равенства и свойства параллелограмма. Чтобы вспомнить метод, представьте кальку, приколотую булавкой в середине стороны и повернутую на пол-оборота.

Часто задаваемые вопросы

Почему медиану продлевают именно на ее длину?

Только тогда точка $M$ становится серединой отрезка $AD$. Серединой $BC$ она уже является, и диагонали $AD$ и $BC$ делятся пополам — это признак параллелограмма. При любой другой длине продолжения параллелограмма не получится.

Можно ли удваивать медиану, проведенную из другой вершины?

Да, метод работает для любой медианы. Например, медиану $BN$ продлевают за точку $N$ на ее длину до точки $K$, и $ABCK$ — параллелограмм с диагоналями $AC$ и $BK$.

Медиана всегда лежит по длине между сторонами, из вершины которых выходит?

Нет. Она меньше полусуммы этих сторон, но может быть короче обеих. При $AB = 4$ и $AC = 10$ медиана $AM$ может быть равна, например, $3{,}5$. А вот длиннее обеих сторон медиана не бывает: полусумма двух сторон не больше большей из них.

Как понять, что в задаче нужно удвоить медиану?

Подсказка — в условии есть медиана, а ее нужно связать со сторонами, выходящими из той же вершины: сравнить, оценить, найти периметр. Отрезки из одной вершины в разные стороны в один треугольник сами не собираются, и удвоение медианы их собирает.

Как этот прием связан с центральной симметрией?

Поворот кальки на пол-оборота вокруг булавки — это и есть центральная симметрия с центром $M$. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно $M$, точки $B$ и $C$ — тоже. Подробно о центральной симметрии — в следующем уроке.

Награды за урок