Теорема Фалеса. Деление отрезка. Пропорциональные отрезки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Параллельные прямые отсекают на одной стороне угла два соседних отрезка по $6$ см. На другой стороне первый из отсеченных отрезков равен $9$ см. Найдите длину второго отрезка на другой стороне в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне, отсекают равные и на другой.","Второй отрезок равен первому: $9$ см."],"step":1},{"id":"1","content":"Параллельные прямые отсекают на стороне угла два соседних отрезка по $3{,}5$ см. На другой стороне первый из отсеченных отрезков равен $4$ см. Найдите длину второго отрезка на другой стороне в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне, отсекают равные и на другой.","Второй отрезок равен первому: $4$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Какое условие обязательно, чтобы по теореме Фалеса перенести равенство отрезков с одной стороны угла на другую?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямые перпендикулярны одной из сторон угла","Стороны угла равны","Прямые пересекаются в одной точке","Прямые, пересекающие стороны угла, параллельны"],"explanations":["Перпендикулярность стороне не нужна","Стороны угла — лучи, их длина не ограничена","Пересекающиеся прямые не параллельны, а без параллельности равные отрезки на одной стороне не дают равных на другой",""],"answer":[3]}},"hints":["Теорема Фалеса говорит о параллельных прямых.","Без параллельности вывод не получить.","Ответ: прямые параллельны."],"step":1},{"id":"2","content":"Параллельные рейки забора прибиты так, что расстояние между соседними рейками равно $12$ см. Наклонная доска пересекает рейки, но не перпендикулярна им. Что верно об отрезках доски между соседними рейками?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Они равны между собой, и каждый короче $12$ см","Каждый из них равен $12$ см, как расстояние между рейками","Они разные: чем дальше, тем длиннее","Они равны между собой, и каждый длиннее $12$ см"],"explanations":["Перпендикуляр — кратчайший отрезок между параллельными прямыми","Расстояние измеряют по перпендикуляру, а отрезок доски — наклонная: она длиннее","По теореме Фалеса соседние отрезки доски между параллельными рейками равны",""],"answer":[3]}},"hints":["Расстояние между рейками — длина перпендикуляра к ним; на перпендикуляре соседние рейки отсекают равные отрезки по $12$ см.","По теореме Фалеса отрезки доски между соседними рейками тоже равны между собой, а наклонная длиннее перпендикуляра.","Ответ: равны между собой и длиннее $12$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезок $AB = 45$ см разделили на $5$ равных частей точками $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ (считая от $A$). Найдите длину $AC_3$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Одна часть: $45 : 5 = 9$ см.","$AC_3$ — три части: $3 \\cdot 9 = 27$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезок $MN = 48$ см разделили на $6$ равных частей точками $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$, $D_5$ (считая от $M$). Найдите длину $MD_3$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Одна часть: $48 : 6 = 8$ см.","$MD_3$ — три части: $3 \\cdot 8 = 24$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"Точка $K$ делит отрезок $AB = 40$ см в отношении $AK : KB = 3 : 5$. Найдите длину $AK$ в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Всего $3 + 5 = 8$ частей: одна часть $40 : 8 = 5$ см.","$AK = 3 \\cdot 5 = 15$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"Точка $P$ делит отрезок $MN = 36$ см в отношении $MP : PN = 5 : 4$. Найдите длину $PN$ в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Всего $5 + 4 = 9$ частей: одна часть $36 : 9 = 4$ см.","$PN = 4 \\cdot 4 = 16$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр: «Прямые $XU$ и $YV$ отсекают на стороне угла $W$ равные отрезки $WX = XY$, значит, на другой стороне $WU = UV$». Известно, что $XU$ и $YV$ проведены под разными наклонами. Что нужно сделать, чтобы вывод стал верным?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Сравнить $WU$ с $WX$","Проверить, что прямые не пересекаются внутри угла","Сделать прямые $XU$ и $YV$ параллельными","Добиться, чтобы $WU = WX$"],"explanations":["Теорема переносит равенство соседних отрезков, а не сравнивает отрезки на разных сторонах","Этого мало: прямые могут пересечься за пределами угла","","Отрезки на разных сторонах угла не обязаны быть равными"],"answer":[2]}},"hints":["Теорема Фалеса требует параллельных прямых.","Нужно провести прямые параллельно или доказать, что $XU \\parallel YV$.","Ответ: добиться, чтобы $XU \\parallel YV$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решавр: «Прямые $LS$ и $MT$ отсекают на стороне угла $K$ равные отрезки $KL = LM$, значит, на другой стороне $KS = ST$». Известно, что $LS$ и $MT$ пересекаются. Что неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Прямые должны быть перпендикулярны $KM$","Нужно, чтобы $KS = KL$","Равенство $KL = LM$ дано неверно","Прямые $LS$ и $MT$ пересекаются, значит, не параллельны, и теорема неприменима"],"explanations":["Перпендикулярность не нужна, нужна параллельность","Отрезки на разных сторонах угла не обязаны быть равными","Равенство в условии не оспаривается; не хватает параллельности",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямые, которые пересекаются, не параллельны.","Для вывода $KS = ST$ нужны параллельные прямые.","Ответ: прямые $LS$ и $MT$ не параллельны, теорема не применима."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Четыре параллельные рейки прикреплены к двум доскам. На верхней доске между крайними рейками $36$ см, три промежутка равны. На нижней доске первый промежуток $14$ см. Найдите длину отрезка нижней доски между крайними рейками в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["На верхней доске три равных промежутка, значит, и на нижней три равных.","$3 \\cdot 14 = 42$ см. Число $36$ для ответа не нужно."],"step":1},{"id":"6","content":"Пять параллельных реек прикреплены к двум доскам. На верхней доске между крайними рейками $52$ см, четыре промежутка равны. На нижней доске первый промежуток $9$ см. Найдите длину отрезка нижней доски между крайними рейками в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["На верхней доске четыре равных промежутка, значит, и на нижней четыре равных.","$4 \\cdot 9 = 36$ см. Число $52$ для ответа не нужно."],"step":1},{"id":"7","content":"Какие утверждения о параллельных прямых и сторонах угла верны? Выберите все.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Отрезки на обеих сторонах угла между параллельными прямыми всегда одинаковой длины","Отрезок можно разделить на равные части с помощью параллельных прямых и теоремы Фалеса","Любые прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на второй стороне равные отрезки, если на первой они равны","Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне угла отсекаются равные отрезки"],"explanations":["Длины на разных сторонах угла в общем случае различны","","Для непараллельных прямых вывод не верен",""],"answer":[1,3]}},"hints":["Параллельность и равные отрезки на одной стороне дают равные отрезки на другой.","Деление отрезка на равные части — прямое следствие теоремы.","Утверждения про произвольные прямые и про отрезки на разных сторонах неверны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Какие из утверждений о делении отрезков верны? Выберите все.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Теорема Фалеса верна и для непараллельных прямых","Чтобы разделить отрезок на $7$ равных частей, достаточно вспомогательного луча и параллельных прямых","Отрезок на одной стороне угла равен соответствующему отрезку на другой стороне","Параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла три равных отрезка, отсекают на другой стороне тоже три равных отрезка"],"explanations":["Без параллельности теорема неверна","","Равны соседние отрезки на одной стороне",""],"answer":[1,3]}},"hints":["Параллельные прямые дают равенство на второй стороне при равенстве на первой.","Деление на $n$ равных частей строят вспомогательным лучом и параллельными прямыми.","Остальные утверждения неверны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне они отсекают отрезки $4$ см и $10$ см, на другой — первый отрезок равен $6$ см. Найдите второй отрезок на другой стороне в сантиметрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Общая мера $2$ см: отрезки $4$ и $10$ — это $2$ и $5$ частей.","На другой стороне $6$ см — две части, одна часть $3$ см.","Второй отрезок: $5 \\cdot 3 = 15$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне они отсекают отрезки $9$ см и $15$ см, на другой — первый отрезок равен $12$ см. Найдите второй отрезок на другой стороне в сантиметрах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Общая мера $3$ см: отрезки $9$ и $15$ — это $3$ и $5$ частей.","На другой стороне $12$ см — три части, одна часть $4$ см.","Второй отрезок: $5 \\cdot 4 = 20$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"На стороне $OA$ угла $AOB$ отложены равные отрезки $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$. Через точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ провели параллельные прямые, которые пересекают сторону $OB$ в точках $B_1$, $B_2$, $B_3$. Тогда отрезки $OB_1$, $B_1B_2$, $B_2B_3$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["равны, только если угол $AOB$ прямой","равны отрезкам $OA_1$, $A_1A_2$, $A_2A_3$","равны между собой","увеличиваются по мере удаления от вершины $O$"],"answer":2}},"hints":["Прямые параллельны, а на стороне $OA$ отрезки равны — условие теоремы Фалеса выполнено.","Теорема переносит равенство на другую сторону: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$. С отрезками на $OA$ они в общем случае не равны.","Ответ: равны между собой."],"step":1},{"id":"9","content":"Боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$ разделили на $4$ равные части и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Эти прямые делят вторую боковую сторону $CD$ на части, которые [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["увеличиваются от меньшего основания к большему","равны частям стороны $AB$","равны между собой","равны, только если трапеция равнобедренная"],"answer":2}},"hints":["Прямые параллельны основаниям, значит, параллельны между собой, а части $AB$ равны.","По теореме Фалеса части $CD$ тоже равны между собой; с частями $AB$ они в общем случае не совпадают.","Ответ: равны между собой."],"step":1},{"id":"10","content":"На стороне угла с вершиной $O$ отложены пять равных отрезков $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$. Через точки $A_1, \\ldots, A_5$ провели параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в точках $B_1, \\ldots, B_5$. Известно, что $OB_5 = 25$ см. Сопоставьте отрезок и его длину.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$B_3B_4$","$OB_2$","$B_1B_4$","$OB_4$"],"items":["5 см","10 см","15 см","20 см"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и его длину","hints":["По теореме Фалеса $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ — пять равных частей.","Одна часть: $25 : 5 = 5$ см. Считаем части в каждом отрезке: $B_3B_4$ — одна, $OB_2$ — две, $B_1B_4$ — три, $OB_4$ — четыре.","Ответ: $B_3B_4 = 5$ см, $OB_2 = 10$ см, $B_1B_4 = 15$ см, $OB_4 = 20$ см."],"step":1},{"id":"10","content":"На стороне угла с вершиной $K$ отложены пять равных отрезков $KC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C_5$. Через точки $C_1, \\ldots, C_5$ провели параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в точках $D_1, \\ldots, D_5$. Известно, что $KD_5 = 30$ см. Сопоставьте отрезок и его длину.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$D_2D_3$","$D_3D_5$","$KD_3$","$D_1D_5$"],"items":["6 см","12 см","18 см","24 см"]}},"instruction":"Соотнесите отрезок и его длину","hints":["По теореме Фалеса $KD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4D_5$ — пять равных частей.","Одна часть: $30 : 5 = 6$ см. Считаем части в каждом отрезке: $D_2D_3$ — одна, $D_3D_5$ — две, $KD_3$ — три, $D_1D_5$ — четыре.","Ответ: $D_2D_3 = 6$ см, $D_3D_5 = 12$ см, $KD_3 = 18$ см, $D_1D_5 = 24$ см."],"step":1}]}</textarea></pre></div>