8 класс Геометрия Четырехугольники Параллелограмм и трапеция

Средняя линия треугольника

Содержание

В уроке о теореме Фалеса параллельные прямые переносили равенство отрезков с одной стороны угла на другую, а в методе удвоения медианы треугольник вместе со своей копией складывался в параллелограмм. Сегодня эти приемы докажут свойство средней линии треугольника. С ним вы найдете недоступное расстояние, увидите параллелограмм внутри любого четырехугольника и докажете, что медианы делятся в отношении $2 : 1$.

Что получается, если соединить середины двух сторон

Расстояние $BC$ через озеро — между точками $B$ и $C$ на противоположных берегах — рулеткой напрямую не измерить. Зато из точки $A$ на суше можно пройти по прямой и до $B$, и до $C$. Как по этим путям узнать $BC$, выясним в последнем разделе.

Начнем с клетчатой бумаги. В каждом треугольнике на рисунке отмечены середины $M$ и $N$ сторон $AB$ и $AC$. Посчитаем клетки: при $BC = 6$ отрезок $MN = 3$, при $BC = 8$ — $MN = 4$, при $BC = 10$ — $MN = 5$. Каждый раз $MN$ идет вдоль линии сетки, как и $BC$, и вдвое короче ее.

Три разных треугольника на клетках: в каждом средняя линия MN параллельна BC и вдвое короче: 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10 клеток — В трех разных треугольниках отрезок $MN$ параллелен $BC$ и вдвое короче: $3$ и $6$, $4$ и $8$, $5$ и $10$ клеток

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

У треугольника три средние линии — по одной на каждую пару сторон. Для линии $MN$ сторона $BC$, на которой нет ее концов, — третья сторона. Тяните вершины $A$ и $C$: форма и длины меняются, а $MN$ остается параллельной $BC$ и вдвое короче. Задание: добейтесь, чтобы средняя линия была равна $7$.

srednyaya-liniya

Ошибка

В треугольнике с $BC = 12$ Решавр видит отрезок $PQ \parallel BC$ ($P$ на $AB$, $Q$ на $AC$) и пишет: «$PQ$ параллелен стороне, значит, это средняя линия и $PQ = 6$».

Проверим по клеткам (рисунок): $PQ = 4$, а настоящая средняя линия $MN = 6$. Точка $P$ отстоит от $A$ на треть стороны $AB$, а не на половину.

Где сломалось рассуждение: среднюю линию определяют концы, а не направление. Отрезков, параллельных $BC$, в треугольнике бесконечно много, и длины у них разные; средняя линия — только тот, у которого оба конца — середины сторон.

Отрезок PQ параллелен BC, но не средняя линия: PQ = 4, а средняя линия MN = 6, BC = 12 — $PQ$ тоже параллелен $BC$, но $P$ — не середина $AB$, и $PQ = 4$, а не $6$. Половина $BC$ — только у средней линии $MN$

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 18$, точка $P$ лежит на $AB$, точка $Q$ — на $AC$, $PQ \\parallel BC$, $AP = 3$, $PB = 6$. Решавр: «$PQ$ параллелен $BC$, значит, это средняя линия, $PQ = 9$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Средняя линия равна $BC$: $PQ = 18$","Ошибки нет: параллельный отрезок — средняя линия","$PQ$ не может быть параллелен $BC$","$P$ — не середина $AB$, поэтому $PQ$ — не средняя линия и не равен $9$"],"explanations":["Средняя линия вдвое короче стороны; к тому же $PQ$ — не средняя линия","Средняя линия определяется серединами сторон, а не параллельностью","Отрезок, параллельный стороне, провести можно: ошибка в выводе о средней линии",""],"answer":[3]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины сторон; направление ее не определяет.","Проверьте, делит ли точка $P$ сторону $AB$ пополам: сравните $AP$ и $PB$.","$AP \\ne PB$, поэтому $PQ$ не средняя линия и не равен $9$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$, $K$ — середины сторон $AB$, $AC$, $BC$; $AH$ — высота, $H \\ne K$. Точки $P$ на $AB$ и $Q$ на $AC$ таковы, что $PQ \\parallel BC$, $AP = 2$ см, $PB = 4$ см. Какие из отрезков — средние линии треугольника?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Средняя линия","Не средняя линия"],"items":[["$MN$","$NK$","$MK$"],["$AK$","$AH$","$MH$","$PQ$"]]}},"instruction":"Распределите отрезки по группам","hints":["Средняя линия — отрезок, оба конца которого — середины сторон треугольника.","Проверьте у каждого отрезка: оба ли конца — середины сторон?","Средние линии: $MN$, $NK$, $MK$; остальные — нет, в том числе $PQ$, хотя он параллелен $BC$."],"step":1}],"mix":1}

Почему средняя линия вдвое короче стороны

Теорема о средней линии

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

$$MN \parallel BC,\qquad MN = \frac{BC}{2}$$

Докажем это булавкой. Разрежем треугольник по средней линии $MN$, воткнем булавку в середину $N$ стороны $AC$ и повернем кусок $AMN$ на пол-оборота. Точка $A$ перейдет в $C$, а $M$ — в точку $K$ на продолжении $MN$, причем $NK = MN$. Треугольник стал четырехугольником $MBCK$ (рисунок). Докажем, что это параллелограмм.

Пол-оборота куска AMN вокруг N даёт параллелограмм MBCK: MK = BC, а MN — половина MK — Пол-оборота вокруг $N$ переносит кусок $AMN$ на место $CKN$: получается параллелограмм $MBCK$, в нем $MK = BC$, а $MN$ — половина $MK$

Доказательство

Дано: $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Доказать: $MN \parallel BC$, $MN = \frac{BC}{2}$.

Шаг 1. Продлим $MN$ за точку $N$ и отложим $NK = MN$.

Шаг 2. В четырехугольнике $AMCK$ диагонали $AC$ и $MK$ пересекаются в точке $N$ и делятся ею пополам. По признаку это параллелограмм — как в методе удвоения медианы. Значит, $CK \parallel AM$ и $CK = AM$.

Шаг 3. $AM = MB$, поэтому $CK = MB$; и $CK \parallel MB$, ведь $MB$ лежит на прямой $AM$. Стороны $MB$ и $CK$ четырехугольника $MBCK$ параллельны и равны, значит, $MBCK$ — параллелограмм.

Шаг 4. Тогда $MK \parallel BC$ и $MK = BC$. Так как $MN = NK$, получаем $MN = \frac{MK}{2} = \frac{BC}{2}$. Что и требовалось доказать.

Из теоремы Фалеса следует полезный факт: прямая, проходящая через середину стороны $AB$ параллельно $BC$, пересекает $AC$ в ее середине. Действительно, параллельные прямые через $A$, $M$ и $B$ отсекают на $AB$ равные отрезки $AM$ и $MB$, значит, и на $AC$ — равные. Поэтому отрезок такой прямой внутри треугольника — средняя линия.

Второе доказательство — по теореме Фалеса

Скрыть

По факту выше прямая через $M$, параллельная $BC$, проходит через $N$, то есть $MN \parallel BC$. Проведем через $N$ прямую, параллельную $AB$; она пересечет $BC$ в точке $P$, и по тому же факту $P$ — середина $BC$. В четырехугольнике $MNPB$ противоположные стороны параллельны — это параллелограмм, поэтому $MN = BP = \frac{BC}{2}$.

Ошибка

$BC = 8$, $MN$ — средняя линия. Решавр пишет: «$MN \parallel BC$, а параллельные отрезки равны, поэтому $MN = 8$».

Проверим (рисунок): отложим от $M$ вдоль $MN$ отрезок длиной $8$. Он закончится в точке $K$ за стороной $AC$, вдвое дальше $N$. Внутри треугольника помещается только половина: $MN = 4$.

Где сломалось рассуждение: из параллельности не следует равенство длин. Равны противоположные стороны параллелограмма $MBCK$: $MK = BC$. А $MN$ — половина $MK$.

Отрезок длины BC от точки M выходит за сторону AC; средняя линия MN = 4 вдвое короче BC = 8 — Отрезок длиной $BC = 8$ от точки $M$ выходит за сторону $AC$ и кончается в $K$; средняя линия $MN$ — его половина, $4$

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги доказательства для другой булавки — в середине $M$ стороны $AB$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$, надо доказать $MN \\parallel BC$ и $MN = \\dfrac{BC}{2}$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Продлите $NM$ за точку $M$ и отложите $MK = NM$","Диагонали $AB$ и $KN$ четырехугольника $AKBN$ делятся точкой $M$ пополам, значит, $AKBN$ — параллелограмм","Тогда $BK \\parallel AN$ и $BK = AN = NC$, поэтому $KBCN$ — параллелограмм","Значит, $KN \\parallel BC$ и $KN = BC$, откуда $MN = \\dfrac{KN}{2} = \\dfrac{BC}{2}$"]}},"hints":["Воткните булавку в середину $M$ стороны $AB$ и поверните кусок $AMN$ на пол-оборота.","Сначала постройте точку $K$, затем докажите, что $AKBN$ — параллелограмм.","Потом докажите, что $KBCN$ — параллелограмм, и сделайте вывод."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 10$, $MN$ — средняя линия, $MN \\parallel BC$. Решавр пишет: «$MN$ параллельна $BC$, значит, $MN = 10$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Средняя линия вдвое длиннее стороны: $MN = 20$","$MN$ не параллельна $BC$, поэтому сравнивать нельзя","Средняя линия вдвое короче стороны: $MN = 5$","Ошибки нет: параллельные отрезки равны"],"explanations":["Линия внутри треугольника не может быть длиннее стороны, которой параллельна","Средняя линия параллельна третьей стороне; ошибка — в длине","","Параллельные отрезки могут иметь разную длину"],"answer":[2]}},"hints":["Параллельность не означает равенство длин.","По теореме о средней линии $MN$ равна половине $BC$.","Ответ: $MN = 5$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AB$. Через $M$ проведена прямая, параллельная $BC$, она пересекает $AC$ в точке $N$. Найдите длину $MN$, если $BC = 20$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Прямая параллельна $BC$ и делит $AB$ пополам, значит, по теореме Фалеса $N$ — середина $AC$.","Значит, $MN$ — средняя линия: $MN = 20 : 2 = 10$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Три средние линии режут треугольник на четыре равных

Проведем все три средние линии: $M$, $N$, $P$ — середины сторон $AB$, $AC$, $BC$. Получились четыре треугольника (рисунок). Стороны каждого — половины сторон $ABC$: у углового $AMN$ это $AM = \frac{AB}{2}$, $AN = \frac{AC}{2}$ и $MN = \frac{BC}{2}$, у среднего $MNP$ — три средние линии. По трем сторонам все четыре треугольника равны.

Булавка показывает то же: пол-оборота вокруг середины отрезка $MN$ меняет местами $M$ и $N$, а вершину $A$ переводит в $P$: $AMPN$ — параллелограмм ($NP \parallel AB$ и $NP = AM$), и его диагонали $MN$ и $AP$ делятся пополам. Угловой треугольник ложится точно на средний.

Три средние линии делят треугольник ABC на четыре равных треугольника со сторонами, равными половинам сторон ABC — Три средние линии делят треугольник на четыре равных: у каждого стороны — половины сторон $ABC$

Пример

Стороны треугольника: $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 12$. Найдите периметр каждого из четырех треугольников, на которые его делят средние линии.

Решение. Стороны каждого треугольника — половины сторон $ABC$: $3$, $4$ и $6$. Периметр $3 + 4 + 6 = 13$. Проверка: это половина периметра $ABC$, $(6 + 8 + 12) : 2 = 13$.

Ответ: $13$ у каждого.

Ошибка

Стороны треугольника $ABC$: $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 12$. Решавр: «Вершины треугольника $MNP$ из средних линий лежат на всех трех сторонах, значит, его периметр равен периметру $ABC$, то есть $36$».

Проверим: $MN = 7$, $NP = 5$, $MP = 6$, периметр $18$. На рисунке три средние линии, выложенные в ряд, покрывают только половину обхода $ABC$.

Где сломалось рассуждение: каждая сторона $MNP$ равна половине параллельной ей стороны $ABC$, поэтому и сумма вдвое меньше. Периметр треугольника из средних линий — половина периметра исходного.

Стороны ABC равны 10, 14, 12, средние линии MNP — 5, 7, 6: периметр MNP равен 18, вдвое меньше 36 — Средние линии $7$, $5$ и $6$ — половины сторон $14$, $10$ и $12$: периметр $MNP$ равен $18$, вдвое меньше $36$

{"questions":[{"content":"Стороны треугольника равны $8$ см, $10$ см и $12$ см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного, в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Стороны нового треугольника — средние линии, каждая равна половине стороны.","$P = \\dfrac{8 + 10 + 12}{2} = 15$ см."],"step":1},{"content":"Решавр: «Периметр треугольника из трех средних линий равен периметру $ABC$, ведь линии покрывают весь треугольник». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Периметр вдвое больше периметра $ABC$","Периметр вдвое меньше периметра $ABC$","Ошибки нет: периметры равны","Периметр втрое меньше периметра $ABC$"],"explanations":["Линии короче сторон, поэтому периметр меньше","","Линии вдвое короче сторон, и сумма вдвое короче","Каждая линия — половина стороны, не треть"],"answer":[1]}},"hints":["Каждая средняя линия равна половине стороны, которой параллельна.","Сумма трех линий равна половине периметра $ABC$.","Ответ: периметр вдвое меньше."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$. Периметр треугольника $ABC$ равен $40$ см. Найдите периметр треугольника $AMN$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$AM = \\dfrac{AB}{2}$, $AN = \\dfrac{AC}{2}$, $MN = \\dfrac{BC}{2}$ (средняя линия).","Каждая сторона $AMN$ вдвое короче соответствующей стороны $ABC$: $P_{AMN} = 40 : 2 = 20$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Середины сторон любого четырехугольника — вершины параллелограмма

Отметим середины сторон четырехугольника $ABCD$: $M$ на $AB$, $N$ на $BC$, $P$ на $CD$, $Q$ на $DA$. Диагональ $AC$ делит его на треугольники $ABC$ и $ACD$. В первом $MN$ — средняя линия, во втором $QP$; обе параллельны $AC$ и равны $\frac{AC}{2}$. Две противоположные стороны $MNPQ$ параллельны и равны, значит, это параллелограмм. Его стороны — половины диагоналей $ABCD$, а периметр равен сумме диагоналей.

Середины сторон четырёхугольника ABCD: MN и QP параллельны диагонали AC и равны её половине, MNPQ — параллелограмм — $MN$ и $QP$ — средние линии треугольников $ABC$ и $ACD$: обе параллельны $AC$ и равны ее половине, поэтому $MNPQ$ — параллелограмм

Пример

Диагонали четырехугольника равны $9$ и $14$. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах его сторон.

Решение. Две стороны равны $9 : 2 = 4{,}5$, две другие — $14 : 2 = 7$. Периметр $2 \cdot (4{,}5 + 7) = 23$ — сумма диагоналей.

Ответ: $23$.

{"questions":[{"content":"Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ не равны и не перпендикулярны. Середины его сторон соединили по порядку. Получился [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["параллелограмм со сторонами, равными диагоналям","трапеция с основаниями, равными половинам диагоналей","параллелограмм со сторонами, равными половинам диагоналей","ромб со сторонами, равными половинам диагоналей"],"answer":2}},"hints":["Диагональ $AC$ делит $ABCD$ на два треугольника; в каждом отрезок между серединами двух сторон — средняя линия, параллельная $AC$ и равная ее половине.","Какими получаются две противоположные стороны — по положению и длине?","Ромбом он был бы только при равных диагоналях. Ответ: параллелограмм со сторонами, равными половинам диагоналей."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ равны $10$ и $16$. Середины его сторон соединили по порядку. Найдите сумму длин двух соседних сторон полученного четырехугольника. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jdfm5t580h5m.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Каждая сторона нового четырехугольника — средняя линия треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами $ABCD$.","Она равна половине диагонали: соседние стороны равны $5$ и $8$.","Сумма: $5 + 8 = 13$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Медианы делят друг друга в отношении 2 к 1

Теорема о медианах

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$, считая от вершины: если $AA_1$ — медиана, $O$ — точка пересечения медиан, то

$$AO : OA_1 = 2 : 1$$

Доказательство

Пусть медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$, а $P$ и $Q$ — середины отрезков $AO$ и $BO$.

Шаг 1. $A_1B_1$ — средняя линия треугольника $ABC$: $A_1B_1 \parallel AB$, $A_1B_1 = \frac{AB}{2}$. $PQ$ — средняя линия треугольника $AOB$: $PQ \parallel AB$, $PQ = \frac{AB}{2}$.

Шаг 2. Стороны $PQ$ и $A_1B_1$ четырехугольника $PQA_1B_1$ параллельны и равны — это параллелограмм. Его диагонали $PA_1$ и $QB_1$ делятся точкой $O$ пополам: $PO = OA_1$.

Шаг 3. Итак, $AP = PO = OA_1$, и $AO : OA_1 = 2 : 1$; так же $BO : OB_1 = 2 : 1$. Третья медиана пересекает $AA_1$ в точке, которая тоже делит $AA_1$ в отношении $2 : 1$, — это та же точка $O$. Значит, все три медианы проходят через $O$.

Медианы AA_1 и BB_1 пересекаются в O; PQ и A_1B_1 параллельны AB и равны её половине, поэтому AP = PO = OA_1 и AO : OA_1 = 2 : 1 — Средние линии $A_1B_1$ и $PQ$ параллельны $AB$ и равны ее половине: $PQA_1B_1$ — параллелограмм, и $AP = PO = OA_1$

Пример

Медиана $AA_1 = 21$ см. Найдите $AO$ и $OA_1$, где $O$ — точка пересечения медиан.

Решение. $AA_1$ состоит из трех равных частей по $21 : 3 = 7$ см; на $AO$ приходятся две: $AO = 14$ см, $OA_1 = 7$ см.

Ответ: $14$ см и $7$ см.

{"questions":[{"content":"Медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $AO = 10$ см. Найдите длину $OA_1$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины.","$AO$ — две части, $OA_1$ — одна: $OA_1 = 10 : 2 = 5$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как измерить озеро, не переплывая его

Задача

Точки $B$ и $C$ — на противоположных берегах озера. Из точки $A$ прошли по прямым: $AB = 240$ м, $AC = 310$ м. На серединах путей поставили вехи: $M$ — в $120$ м от $A$, $N$ — в $155$ м от $A$. Расстояние между вехами по суше $MN = 135$ м. Найдите расстояние $BC$ через озеро.

Решение. 1. $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, поэтому $MN$ — средняя линия.

2. По теореме $MN = \frac{BC}{2}$, откуда $BC = 2 \cdot 135 = 270$ м.

3. Проверка смысла: сторона треугольника меньше суммы двух других, $270 < 240 + 310$.

Ответ: $270$ м.

Карта: озеро между берегами B и C, вехи M и N на серединах AB и AC; MN = 135 м, значит, расстояние BC через озеро равно 270 м — Вехи $M$ и $N$ на серединах путей $AB$ и $AC$: $MN = 135$ м, значит, расстояние $BC$ через озеро равно $270$ м

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$, $BC = 14$ см. Найдите длину $MN$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0yquxb54p6cq.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$MN$ — средняя линия: она параллельна $BC$ и равна ее половине.","$MN = 14 : 2 = 7$ см."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$, $MN = 6{,}5$ см. Найдите длину $BC$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна: $MN = \\dfrac{BC}{2}$.","$BC = 2 \\cdot 6{,}5 = 13$ см."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Средняя линия заменяет недоступную сторону треугольника вдвое меньшим отрезком, который легко измерить. На ней держатся задачи о периметрах, о середине сторон четырехугольника и о медианах; в следующем уроке тот же прием даст формулу средней линии трапеции.

Чтобы вспомнить главное, представьте треугольник, разрезанный по средней линии: угловой кусок поворачивается вокруг середины стороны и достраивает параллелограмм.

Случай	Что представить	Вывод
Отрезок с концами на двух сторонах	Оба конца — середины?	Только тогда это средняя линия
Найти линию или сторону	Кусок $AMN$ повернут вокруг $N$: $MK = BC$	$MN = \frac{BC}{2}$, $BC = 2 \cdot MN$
Три средние линии	Четыре равных треугольника	Периметр из линий — половина периметра
Середины сторон четырехугольника	Два треугольника по диагонали	Параллелограмм, стороны — половины диагоналей
Точка пересечения медиан	Параллелограмм из двух средних линий	$2 : 1$, считая от вершины

Часто задаваемые вопросы

Чем средняя линия отличается от медианы?

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, у средней линии оба конца — середины сторон. Медиан и средних линий у треугольника по три. Средняя линия всегда параллельна стороне, медиана — никогда: она проходит через вершину.

Если один конец отрезка — середина стороны, а сам он параллелен третьей стороне, это средняя линия?

Да. По следствию из теоремы Фалеса прямая через середину одной стороны, параллельная другой, проходит через середину третьей. Значит, второй конец тоже середина. Без параллельности вывод неверен.

Где пригодится точка пересечения медиан?

Это центр масс треугольника: однородная треугольная пластинка, например из картона, держится в равновесии на острие, поставленном в эту точку. Поэтому ее называют центроидом.

Награды за урок