Трапеция. Равнобокая и прямоугольная трапеции

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $BC \\parallel AD$ и $AB \\parallel CD$. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $CD$","$ABCD$ — параллелограмм, а не трапеция","$ABCD$ — равнобокая трапеция","$ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$"],"explanations":["Обе пары сторон параллельны, а у трапеции параллельна только одна пара","","Равнобокая трапеция — тоже трапеция, а здесь обе пары сторон параллельны","Если параллельны обе пары противоположных сторон, фигура — параллелограмм: по принятому определению он не трапеция"],"answer":[1]}},"hints":["Трапеция: параллельна только одна пара сторон. Здесь параллельны обе пары.","Значит, это параллелограмм, а не трапеция."],"step":1},{"id":"1","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $AB \\parallel CD$, $BC \\parallel AD$, $AB = 7$, $BC = 4$. Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $CD$","$ABCD$ — параллелограмм, а не трапеция","$ABCD$ — равнобокая трапеция","$ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$"],"explanations":["Обе пары сторон параллельны, а у трапеции параллельна только одна пара","","Равнобокая трапеция — тоже трапеция, а здесь обе пары сторон параллельны; к тому же $AB \\ne BC$ ничего не меняет","Если параллельны обе пары противоположных сторон, фигура — параллелограмм: по принятому определению он не трапеция"],"answer":[1]}},"hints":["Параллельны обе пары противоположных сторон: $AB \\parallel CD$ и $BC \\parallel AD$.","Значит, это параллелограмм, а не трапеция: у трапеции параллельна только одна пара. Длины сторон на вид фигуры не влияют."],"step":1},{"id":"2","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. В сумме $180^\\circ$ всегда дают углы [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$A$ и $D$","$A$ и $C$","$A$ и $B$","$B$ и $C$"],"answer":2}},"hints":["Углы у одной боковой стороны — односторонние при параллельных $AD$, $BC$ и секущей.","У боковой стороны $AB$ лежат углы $A$ и $B$.","Ответ: $A$ и $B$."],"step":1},{"id":"2","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. В сумме $180^\\circ$ всегда дают углы [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$A$ и $D$","$C$ и $D$","$B$ и $C$","$B$ и $D$"],"answer":1}},"hints":["Углы у одной боковой стороны — односторонние при параллельных $AD$, $BC$ и секущей.","У боковой стороны $CD$ лежат углы $C$ и $D$.","Ответ: $C$ и $D$."],"step":1},{"id":"3","content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $B$ равен $128^\\circ$. Найдите $\\angle D$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["Углы при основании $BC$ равны: $\\angle C = \\angle B = 128^\\circ$.","$\\angle D$ и $\\angle C$ — односторонние: $\\angle D = 180^\\circ-128^\\circ = 52^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $C$ равен $117^\\circ$. Найдите $\\angle A$ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["Углы при основании $BC$ равны: $\\angle B = \\angle C = 117^\\circ$.","$\\angle A$ и $\\angle B$ — односторонние: $\\angle A = 180^\\circ-117^\\circ = 63^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD = 20$ и $BC = 8$, $BH$ — высота (см. рисунок). Найдите $AH$. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qgfgp1ehhcol.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$AH = (AD-BC) : 2$.","$AH = (20-8) : 2 = 6$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD = 25$ и $BC = 9$, $BH$ — высота (см. рисунок). Найдите $AH$. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ztiuckxjcpch.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$AH = (AD-BC) : 2$.","$AH = (25-9) : 2 = 8$."],"step":1},{"id":"5","content":"Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$) пересекаются в точке $O$, $BO = 4$, $OD = 9$. Найдите $AC$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Диагонали равнобокой трапеции равны: $AC = BD$.","$BD = BO + OD = 4 + 9 = 13$, значит, $AC = 13$."],"step":1},{"id":"5","content":"Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$) пересекаются в точке $O$, $BO = 5$, $OD = 11$. Найдите $AC$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Диагонали равнобокой трапеции равны: $AC = BD$.","$BD = BO + OD = 5 + 11 = 16$, значит, $AC = 16$."],"step":1},{"id":"6","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Сопоставьте условие и вывод о трапеции. Один вывод лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB \\perp AD$","$AC = BD$","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$"],"items":["Трапеция прямоугольная","Трапеция равнобокая","Так в любой трапеции: вид не определен","Это параллелограмм"]}},"instruction":"Сопоставьте условие и вывод","hints":["$AB \\perp AD$ — боковая сторона перпендикулярна основанию: трапеция прямоугольная.","$AC = BD$ — равные диагонали, признак равнобокой трапеции.","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$ — так в любой трапеции, вида это не определяет. Параллелограммом трапеция не бывает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Сопоставьте условие и вывод о трапеции. Один вывод лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\angle B = \\angle C$","$\\angle D = 90^\\circ$","Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются"],"items":["Трапеция равнобокая","Трапеция прямоугольная","Так в любой трапеции: вид не определен","Это параллелограмм"]}},"instruction":"Сопоставьте условие и вывод","hints":["$\\angle B = \\angle C$ — равные углы при основании $BC$, признак равнобокой трапеции.","$\\angle D = 90^\\circ$ — боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям: трапеция прямоугольная.","Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются — так в любой трапеции, вида это не определяет. Параллелограммом трапеция не бывает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Известно, что $\\angle A = \\angle D$. Что можно утверждать?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — параллелограмм","Ничего определенного: равные углы бывают у любой трапеции","Трапеция равнобокая, $AB = CD$","Трапеция прямоугольная"],"explanations":["Параллелограмм не трапеция; в трапеции $AB \\nparallel CD$","Равенство углов при одном основании как раз и есть признак равнобокой трапеции","","Прямоугольная — когда углы при боковой стороне по $90^\\circ$, а здесь известно только равенство $\\angle A = \\angle D$"],"answer":[2]}},"hints":["Равные углы при основании — признак равнобокой трапеции.","Значит, $ABCD$ равнобокая и $AB = CD$."],"step":1},{"id":"7","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ равны. Что можно утверждать?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Трапеция равнобокая, $AB = CD$","Трапеция прямоугольная","Ничего определенного: равные диагонали бывают у любой трапеции","$ABCD$ — прямоугольник"],"explanations":["","Равные диагонали — признак равнобокой трапеции, а прямоугольная трапеция равнобокой не бывает","Для трапеции равенство диагоналей — признак равнобокой","Прямоугольник — не трапеция; в трапеции $AB \\nparallel CD$"],"answer":[0]}},"hints":["Равные диагонали трапеции — признак равнобокой.","Значит, $ABCD$ равнобокая и $AB = CD$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-3]]В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB = 8$, меньшее основание $BC = 5$, угол $A$ равен $60^\\circ$ (см. рисунок). Найдите $AD$. [[input-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gobtmjctftk4.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Высота $BH$ отсекает прямоугольный треугольник $ABH$ с углом $A = 60^\\circ$, значит, $\\angle ABH = 30^\\circ$ и $AH = AB : 2 = 4$.","$AD = BC + 2 \\cdot AH = 5 + 8 = 13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-4]]В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB = 10$, меньшее основание $BC = 7$, угол $A$ равен $60^\\circ$ (см. рисунок). Найдите $AD$. [[input-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/v7lgbor0xei7.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $ABH = 30^\\circ$, значит, $AH = AB : 2 = 5$.","$AD = BC + 2 \\cdot AH = 7 + 10 = 17$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AD \\parallel BC$ и $AB = CD$. Значит, $ABCD$ — равнобокая трапеция». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: равные боковые — определение равнобокой","Такой четырехугольник может быть параллелограммом, а не трапецией","Равнобокая — только та, у которой $AD = BC$","Ошибка в том, что равнобокими бывают только трапеции с равными углами при меньшем основании"],"explanations":["Определение действует для трапеции, а здесь не доказано, что $AB \\nparallel CD$: фигура может быть параллелограммом","","Основания в равнобокой трапеции не равны: иначе она была бы параллелограммом","Признак и свойство работают для углов при любом основании: углы при большем основании тоже равны"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте на примере: $AD = BC = 10$, $AB = CD = 5$, $AD \\parallel BC$ — параллелограмм.","У параллелограмма $AB = CD$, но он не трапеция: $AB \\parallel CD$. Условия $AD \\parallel BC$ и $AB = CD$ еще не делают $ABCD$ трапецией: нужно $AD \\ne BC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «В трапеции $ABCD$ ($AD = 12$, $BC = 6$) диагонали пересекаются в точке $O$. Диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, $AO = OC$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Пополам делятся диагонали только у параллелограмма, а у трапеции — нет","Пополам делится диагональ, проведенная к большему основанию","Ошибки нет: диагонали любого четырехугольника делятся пополам","Пополам делится только одна диагональ"],"explanations":["","Точка пересечения не делит пополам ни одну из диагоналей — ни ту, что идет к большему основанию, ни другую","Это свойство только у параллелограмма; в других четырехугольниках оно не выполняется","Ни одна диагональ трапеции с неравными основаниями точкой пересечения пополам не делится"],"answer":[0]}},"hints":["Точкой пересечения пополам делятся диагонали параллелограмма (признак и свойство).","В трапеции основания различны ($12 \\ne 6$): диагонали пополам не делятся, $AO \\ne OC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$, $AB \\perp AD$) угол $D$ равен $30^\\circ$, $CD = 14$ (см. рисунок). Найдите высоту $AB$. [[input-9]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qdlsabykobra.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Проведем $CH \\perp AD$: $CH = AB$ — расстояние между параллельными прямыми.","В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы: $CH = 14 : 2 = 7$.","$AB = 7$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$, $AB \\perp AD$) угол $D$ равен $30^\\circ$, $CD = 22$ (см. рисунок). Найдите высоту $AB$. [[input-10]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cgn0fjt56baw.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Проведем $CH \\perp AD$: $CH = AB$.","Катет против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы: $CH = 22 : 2 = 11$.","$AB = 11$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>