Средняя линия трапеции

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В трапеции $KLMN$ основания $KN$ и $LM$; $P$ — середина $KL$, $Q$ — середина $MN$, $R$ — середина $KN$. Какой отрезок — средняя линия?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$QR$","$LN$","$PQ$","$PR$"],"explanations":["Точка $R$ — середина основания","Это диагональ трапеции, а не отрезок между серединами боковых сторон","","Точка $R$ — середина основания, а не боковой стороны"],"answer":[2]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины боковых сторон: $KL$ и $MN$.","Это точки $P$ и $Q$.","Ответ: $PQ$."],"step":1},{"id":"1","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$; $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $CD$, $G$ — середина $BC$. Какой отрезок — средняя линия?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$AC$","$EG$","$FG$","$EF$"],"explanations":["Это диагональ трапеции, а не отрезок между серединами боковых сторон","Точка $G$ — середина основания, а не боковой стороны","Точка $G$ — середина основания",""],"answer":[3]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины боковых сторон: $AB$ и $CD$.","Это точки $E$ и $F$.","Ответ: $EF$."],"step":1},{"id":"2","content":"Основания трапеции равны $6$ и $16$. Чему равна ее средняя линия?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$11$","$5$","$10$","$22$"],"explanations":["","Это полуразность оснований; средняя линия — полусумма","Это разность оснований $16-6$; средняя линия — полусумма: $\\dfrac{6 + 16}{2} = 11$","Это сумма оснований; ее нужно разделить пополам"],"answer":[0]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.","$\\dfrac{6 + 16}{2} = 11$.","Ответ: $11$."],"step":1},{"id":"2","content":"Основания трапеции равны $9$ и $21$. Чему равна ее средняя линия?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$15$","$6$","$12$","$30$"],"explanations":["","Это полуразность оснований; средняя линия — полусумма","Это разность оснований $21-9$; средняя линия — их полусумма: $15$","Это сумма оснований; ее нужно разделить пополам"],"answer":[0]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.","$\\dfrac{9 + 21}{2} = 15$.","Ответ: $15$."],"step":1},{"id":"3","content":"У трапеции основания равны $6$ и $14$. Решавр записал ответ: «средняя линия равна $\\dfrac{14-6}{2} = 4$». В чем его ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужна половина большего основания: $7$","Взята полуразность, то есть кусок $PQ$ между диагоналями; средняя линия — полусумма, $10$","Не разделили сумму пополам: нужно $20$","Ошибки нет: $4$ — верный ответ"],"explanations":["В средней линии участвуют оба основания, а не одно большее","","Сумма оснований $20$ — не средняя линия, ее нужно разделить на два, получится $10$","Число $4$ меньше меньшего основания $6$, а средняя линия лежит между основаниями"],"answer":[1]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.","$\\dfrac{6 + 14}{2} = 10$; число $4$ — длина куска между диагоналями.","Ответ: взята полуразность вместо полусуммы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"У трапеции основания равны $5$ и $17$. Решавр записал ответ: «средняя линия равна $\\dfrac{17-5}{2} = 6$». В чем его ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Не разделили сумму пополам: нужно $22$","Нужна половина большего основания: $8{,}5$","Взята полуразность, то есть кусок $PQ$ между диагоналями; средняя линия — полусумма, $11$","Ошибки нет: $6$ — верный ответ"],"explanations":["Сумма оснований $22$ — не средняя линия, ее нужно разделить на два, получится $11$","В средней линии участвуют оба основания, а не одно большее","","Средняя линия равна полусумме $11$, а число $6$ — это полуразность, кусок $PQ$"],"answer":[2]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.","$\\dfrac{5 + 17}{2} = 11$; число $6$ — длина куска между диагоналями.","Ответ: взята полуразность вместо полусуммы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте основания трапеции с длиной ее средней линии.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Основания $4$ и $16$","Основания $3$ и $9$","Основания $5$ и $9$"],"items":["$10$","$6$","$7$"]}},"instruction":"Соотнесите основания и среднюю линию","hints":["Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не полуразности.","$\\dfrac{4 + 16}{2} = 10$, $\\dfrac{3 + 9}{2} = 6$, $\\dfrac{5 + 9}{2} = 7$.","Ответ: $4$ и $16$ — $10$; $3$ и $9$ — $6$; $5$ и $9$ — $7$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте основания трапеции с длиной ее средней линии.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Основания $2$ и $12$","Основания $3$ и $7$","Основания $6$ и $14$"],"items":["$7$","$5$","$10$"]}},"instruction":"Соотнесите основания и среднюю линию","hints":["Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не полуразности.","$\\dfrac{2 + 12}{2} = 7$, $\\dfrac{3 + 7}{2} = 5$, $\\dfrac{6 + 14}{2} = 10$.","Ответ: $2$ и $12$ — $7$; $3$ и $7$ — $5$; $6$ и $14$ — $10$."],"step":1},{"id":"5","content":"В трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$) через середину $M$ боковой стороны $AB$ провели прямую, параллельную основаниям. Она пересекает сторону $CD$ в точке $N$. Тогда отрезок $MN$ равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["полуразности оснований","полусумме оснований","большему основанию","половине основания $AD$"],"answer":1}},"hints":["Параллельные прямые отсекают на $AB$ равные отрезки $AM = MB$, значит, по теореме Фалеса и на $CD$ отрезки равны: $N$ — середина $CD$.","Тогда $MN$ соединяет середины боковых сторон — это средняя линия.","Ответ: $MN = \\dfrac{AD + BC}{2}$ — полусумма оснований."],"step":1},{"id":"5","content":"В трапеции $KLMN$ ($KN \\parallel LM$) через середину $P$ боковой стороны $KL$ провели прямую, параллельную основаниям. Она пересекает сторону $MN$ в точке $Q$. Тогда $Q$ — [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["точка пересечения $MN$ с диагональю $LN$","точка, которая делит $MN$ в отношении оснований","середина $MN$, и $PQ$ равен полусумме оснований","середина $MN$, и $PQ$ равен полуразности оснований"],"answer":2}},"hints":["Параллельные прямые отсекают на $KL$ равные отрезки $KP = PL$, значит, по теореме Фалеса и на $MN$ отрезки равны.","Тогда $Q$ — середина $MN$, а $PQ$ — средняя линия трапеции.","Ответ: середина $MN$, и $PQ = \\dfrac{KN + LM}{2}$."],"step":1},{"id":"6","content":"В трапеции $KLMN$ основания $KN = 15$ и $LM = 5$. Отрезок $EF$ с концами на боковых сторонах $KL$ и $MN$ параллелен основаниям, $KE = 3$, $EL = 6$. Решавр: «$EF \\parallel KN$, значит, $EF$ — средняя линия и $EF = \\dfrac{15 + 5}{2} = 10$». Что неверно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Нужна полуразность оснований: $EF = \\dfrac{15-5}{2} = 5$","Нужна сумма оснований: $EF = 15 + 5 = 20$","Ошибки нет: любой такой отрезок равен полусумме оснований","$E$ — не середина $KL$, поэтому $EF$ — не средняя линия, и полусумма к нему не относится"],"explanations":["Полуразность здесь ни при чем: $E$ и $F$ — не середины боковых сторон","Отрезок между основаниями не может быть длиннее большего основания $15$","Полусумме равна только средняя линия; отрезок ближе к $KN$ длиннее нее",""],"answer":[3]}},"hints":["Средняя линия — отрезок между серединами боковых сторон. Проверьте, середина ли $E$.","$KE = 3$, $EL = 6$: $E$ — не середина $KL$, значит, $EF$ — не средняя линия.","Полусумма оснований — длина только средней линии, а $EF$ ею не является."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD = 18$ и $BC = 6$. Точки $P$ на $AB$ и $Q$ на $CD$ выбраны так, что $PQ \\parallel AD$ и $BP : PA = 1 : 3$. Решавр: «$PQ$ параллелен основаниям, значит, $PQ = \\dfrac{18 + 6}{2} = 12$». Что неверно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: любой такой отрезок равен полусумме оснований","Нужна полуразность оснований: $PQ = \\dfrac{18-6}{2} = 6$","$P$ — не середина $AB$, поэтому $PQ$ — не средняя линия, и полусумма к нему не относится","Нужна сумма оснований: $PQ = 18 + 6 = 24$"],"explanations":["Полусумме равна только средняя линия; отрезок ближе к $BC$ короче нее","Полуразность здесь ни при чем: $P$ и $Q$ — не середины боковых сторон","","Отрезок между основаниями не может быть длиннее большего основания $18$"],"answer":[2]}},"hints":["Средняя линия — отрезок между серединами боковых сторон. Проверьте, середина ли $P$.","$BP : PA = 1 : 3$, значит, $BP \\ne PA$: $P$ — не середина $AB$, и $PQ$ — не средняя линия.","Полусумма оснований — длина только средней линии, а $PQ$ ею не является."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Периметр трапеции равен $36$ см, боковые стороны — $6$ см и $10$ см, а основания относятся как $2 : 3$. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Сумма оснований: $36-6-10 = 20$ см, всего $2 + 3 = 5$ частей.","Одна часть $20 : 5 = 4$ см, большее основание — три части: $12$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Периметр трапеции равен $52$ см, боковые стороны — $8$ см и $12$ см, а основания относятся как $3 : 5$. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Сумма оснований: $52-8-12 = 32$ см, всего $3 + 5 = 8$ частей.","Одна часть $32 : 8 = 4$ см, большее основание — пять частей: $20$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Средняя линия трапеции равна $11$ см, а отрезок между серединами ее диагоналей — $5$ см. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Сумма оснований $2 \\cdot 11 = 22$ см, разность $2 \\cdot 5 = 10$ см.","Большее основание: $(22 + 10) : 2 = 16$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Средняя линия трапеции равна $9$ см, а отрезок между серединами ее диагоналей — $3$ см. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Сумма оснований $2 \\cdot 9 = 18$ см, разность $2 \\cdot 3 = 6$ см.","Большее основание: $(18 + 6) : 2 = 12$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вершины трапеции $ABCD$ имеют координаты $A(0;\\,0)$, $B(2;\\,5)$, $C(8;\\,5)$, $D(14;\\,0)$. Найдите длину средней линии. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Основания параллельны оси абсцисс: $BC = 8-2 = 6$, $AD = 14-0 = 14$.","Средняя линия: $\\dfrac{6 + 14}{2} = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вершины трапеции $ABCD$ имеют координаты $A(-3;\\,0)$, $B(-1;\\,4)$, $C(3;\\,4)$, $D(9;\\,0)$. Найдите длину средней линии. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Основания параллельны оси абсцисс: $BC = 3-(-1) = 4$, $AD = 9-(-3) = 12$.","Средняя линия: $\\dfrac{4 + 12}{2} = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Выберите все верные утверждения о средней линии трапеции.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Средняя линия параллельна основаниям","Концы средней линии — середины боковых сторон","Средняя линия равна полуразности оснований","Средняя линия проходит через точку пересечения диагоналей"],"explanations":["","","Она равна полусумме оснований","Диагонали пересекают среднюю линию в двух разных точках, если основания не равны"],"answer":[0,1]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям: верно.","Концы средней линии — середины боковых сторон: верно.","Полуразности линия не равна; через точку пересечения диагоналей она при неравных основаниях не проходит — неверно."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какие из утверждений о трапеции и ее средней линии верны? Выберите все.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Длина средней линии равна полусумме оснований","Средняя линия делит каждую боковую сторону пополам","Средняя линия всегда проходит через точку пересечения диагоналей","Средняя линия параллельна боковым сторонам"],"explanations":["","","Это верно только для параллелограмма (равных оснований)","Она параллельна основаниям"],"answer":[0,1]}},"hints":["Длина средней линии — полусумма оснований: верно.","Линия делит каждую боковую сторону пополам: верно.","Через пересечение диагоналей линия проходит не всегда, и она не параллельна боковым — неверно."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>