8 класс Геометрия Четырехугольники Параллелограмм и трапеция

Трапеция. Равнобокая и прямоугольная трапеции

Содержание

В уроке о параллелограмме у каркаса из четырех палочек на шарнирах были параллельны обе пары противоположных сторон. Теперь оставим параллельной только одну пару — получится трапеция. Разберем ее углы, докажем свойства и признаки равнобокой трапеции и решим задачи о прямоугольной трапеции.

Вопрос для начала. Поперечный разрез железнодорожной насыпи — трапеция: верх уже низа, по бокам — откосы. Пусть верх шириной 10 м, низ — 22 м, а откосы одинаковой длины. Одинаково ли они наклонены и на сколько метров каждый откос выступает за край верха? Ответим в четвертом разделе.

Параллельна только одна пара сторон

Положим две рейки параллельно друг другу. На нижней рейке закрепим палочку $AD$, на верхней — палочку $BC$ покороче, а их концы соединим палочками $AB$ и $CD$ на шарнирах. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны: они лежат на параллельных рейках. Боковые палочки можно наклонять как угодно, лишь бы они не стали параллельными.

Определение

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.

В трапеции $ABCD$ будем называть основаниями $AD$ и $BC$, причем $BC$ — меньшее основание.

Определение

Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. На рисунке это $BH$ и $CH_1$: $BH \perp AD$, $CH_1 \perp AD$.

Все высоты трапеции равны: каждая равна расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ (вспомните свойства параллельных прямых).

Слева трапеция ABCD: основания AD и BC параллельны, высоты BH и CH1 между рейками равны. Справа параллелограмм: две пары параллельных сторон, поэтому он не трапеция — У трапеции параллельна одна пара сторон; у параллелограмма — обе, поэтому он не трапеция

Если параллельны и боковые стороны, четырехугольник — параллелограмм, а не трапеция: у трапеции вторая пара сторон не параллельна.

{"questions":[{"content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB \\parallel CD$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются. Что это за четырехугольник?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Параллелограмм","Не трапеция: основания всегда называют $AD$ и $BC$","Трапеция с основаниями $AB$ и $CD$","Трапеция с основаниями $BC$ и $AD$"],"explanations":["У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны, а здесь $BC$ и $AD$ пересекаются","Основаниями называют параллельные стороны, какие бы буквы у них ни были","","Основания — параллельные стороны, а $BC$ и $AD$ пересекаются"],"answer":[2]}},"hints":["Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.","Здесь параллельна одна пара — $AB$ и $CD$, вторая пара пересекается.","Это трапеция с основаниями $AB$ и $CD$."],"step":1}],"mix":1}

Углы у боковой стороны дополняют друг друга до 180°

Наклоним боковую палочку $AB$ так, чтобы $\angle A = 60^\circ$. Тогда угол $B$ при той же боковой стороне окажется равен $120^\circ$. Наклоним сильнее, до $\angle A = 50^\circ$, — угол $B$ вырастет до $130^\circ$.

Причина — в рейках. Боковая сторона $AB$ — секущая параллельных прямых $AD$ и $BC$, а углы $A$ и $B$ — односторонние (урок о секущей и признаках параллельности). Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC, секущая AB: углы A и B при боковой стороне равны 60° и 120°, их сумма 180° — Боковая сторона — секущая оснований: углы при ней в сумме дают 180°

Свойство

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

Диагональ тоже секущая оснований: она образует с ними равные накрест лежащие углы, например $\angle CAD = \angle ACB$.

Пример 1

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $B$ на $40^\circ$ больше угла $A$. Найдите углы $A$ и $B$.

Решение. Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне $AB$, их сумма $180^\circ$. Пусть $\angle A = x$, тогда $\angle B = x+40^\circ$. Получаем $x+x+40^\circ = 180^\circ$, $2x = 140^\circ$, $x = 70^\circ$. Проверка: $70^\circ+110^\circ = 180^\circ$, разность $40^\circ$.

Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 110^\circ$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, $\\angle A = 65^\\circ$ (см. рисунок). Найдите $\\angle B$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mxnzruypfuzs.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"115"}},"hints":["$\\angle A$ и $\\angle B$ — односторонние при параллельных $AD$, $BC$ и секущей $AB$.","Их сумма $180^\\circ$.","$\\angle B = 180^\\circ-65^\\circ = 115^\\circ$."],"step":1},{"content":"В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$, $\\angle BAD = 70^\\circ$. Найдите $\\angle ACB$ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Диагональ делит угол пополам: $\\angle CAD = 70^\\circ : 2 = 35^\\circ$.","$\\angle ACB$ и $\\angle CAD$ — накрест лежащие при $AD \\parallel BC$ и секущей $AC$.","$\\angle ACB = 35^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Равнобокую трапецию можно перегнуть по оси

Наклоним боковые палочки одной длины навстречу друг другу, как откосы насыпи.

Определение

Равнобокая трапеция (ее называют также равнобедренной) — трапеция, у которой боковые стороны равны.

Проведем прямую через середины оснований перпендикулярно им. Если перегнуть кальку с равнобокой трапецией по этой прямой, половины совпадут: $A$ ляжет на $D$, $B$ — на $C$ (вспомните урок об осевой симметрии). Значит, угол $A$ совпадет с углом $D$, угол $B$ — с углом $C$, диагональ $AC$ — с диагональю $BD$. Перегиб подсказывает свойства, а доказывают их равные треугольники.

Равнобокая трапеция ABCD и ось симметрии через середины оснований: при перегибе A ложится на D, B на C, углы при основании равны — Ось проходит через середины оснований: при перегибе A ложится на D, а B — на C

Теорема (свойства равнобокой трапеции)

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны.

Слева высоты BH и CH1 дают равные прямоугольные треугольники ABH и DCH1, поэтому углы A и D равны. Справа треугольники ABD и DCA равны, поэтому диагонали AC и BD равны — Слева равные прямоугольные треугольники дают ∠A = ∠D, справа равные треугольники ABD и DCA дают AC = BD

Доказательство

Дано: $ABCD$ — трапеция, $AD \parallel BC$, $AB = CD$. Проведем высоты $BH$ и $CH_1$ к основанию $AD$.

Шаг 1. $BH = CH_1$: обе высоты равны расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$.

Шаг 2. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCH_1$ равны: $AB = DC$, $BH = CH_1$ (признак равенства прямоугольных треугольников). Значит, $\angle A = \angle D$ и $AH = H_1D$.

Шаг 3. $\angle B = 180^\circ-\angle A$ и $\angle C = 180^\circ-\angle D$ (углы у боковых сторон), поэтому $\angle B = \angle C$.

Шаг 4. Треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум сторонам и углу между ними: $AB = DC$, $AD$ — общая сторона, $\angle A = \angle D$. Значит, $AC = BD$. Что и требовалось доказать.

Почему высоты попадают на основание AD

Скрыть

Из шага 2 следует, что обе боковые стороны сдвигают свой верхний конец по горизонтали на одно и то же расстояние $AH = H_1D$ — внутрь трапеции или наружу. Если $B$ сдвинут внутрь, а $C$ наружу (или наоборот), то верхнее основание сдвинуто целиком и $BC = AD$ — это параллелограмм, а не трапеция. Если оба конца сдвинуты наружу, то $BC$ длиннее $AD$, а мы договорились, что $AD$ — большее основание. Остается один случай: оба сдвинуты внутрь, точки $H$ и $H_1$ лежат на отрезке $AD$, а углы $A$ и $D$ острые.

Из равенства треугольников $ABD$ и $DCA$ следует еще $\angle ADB = \angle DAC$. Поэтому треугольник $AOD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей, равнобедренный: $AO = OD$. А так как диагонали равны, то $BO = BD-OD = AC-AO = OC$.

Ошибка

«Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам, как у параллелограмма».

Проверим на клетчатой бумаге. Возьмем равнобокую трапецию с основаниями $AD = 12$ и $BC = 6$ клеток и высотой 4 клетки (рисунок ниже). Середина диагонали $AC$ лежит на 2 клетки выше $AD$ и на $4{,}5$ клетки правее $A$. Середина диагонали $BD$ — тоже на 2 клетки выше $AD$, но на $7{,}5$ клетки правее $A$. Это разные точки, а диагонали пересекаются в одной точке $O$ — значит, $O$ не середина ни одной из них. Точка $O$ лежит на оси симметрии, ближе к меньшему основанию: $AO = OD$, $BO = OC$, но $AO \ne OC$.

Где сломалось рассуждение: свойство «диагонали делятся пополам» доказано только для параллелограмма, а у трапеции основания не равны.

Трапеция ABCD на клетках: диагонали пересекаются в точке O, но их середины — другие точки, значит диагонали трапеции пополам не делятся — Середины диагоналей трапеции — разные точки: пополам диагонали не делятся

{"questions":[{"content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ равен $72^\\circ$. Найдите $\\angle C$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"108"}},"hints":["В равнобокой трапеции углы при основании равны: $\\angle D = \\angle A = 72^\\circ$.","$\\angle C$ и $\\angle D$ — односторонние: $\\angle C = 180^\\circ-72^\\circ = 108^\\circ$."],"step":1},{"content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, $AB = CD$, $BH$ и $CH_1$ — высоты. Чтобы доказать $\\angle A = \\angle D$, рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCH_1$: $BH = CH_1$ и $AB = DC$. Значит, они равны по [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["гипотенузе и катету","трем сторонам","двум сторонам и углу между ними","двум катетам"],"answer":0}},"hints":["В прямоугольных треугольниках $ABH$ и $DCH_1$ равны гипотенузы $AB = DC$ и катеты $BH = CH_1$ (высоты между параллельными прямыми).","Это признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Отсюда $\\angle A = \\angle D$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$) диагонали пересекаются в точке $O$, $AC = 15$, $OC = 5$. Чему равен отрезок $OD$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10$","$5$","$7{,}5$","$15$"],"explanations":["","Равны отрезки у меньшего основания: $OB = OC$; а $OD$ равен $OA$","Диагонали трапеции точкой пересечения пополам не делятся — это свойство параллелограмма","$15$ — вся диагональ $BD$, а $OD$ — только ее часть"],"answer":[0]}},"hints":["Диагонали равнобокой трапеции равны: $BD = AC = 15$.","Треугольник $AOD$ равнобедренный ($\\angle OAD = \\angle ODA$), значит, $OD = OA = 15-5 = 10$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Высоты отрезают от большего основания равные части

Вернемся к доказательству. Высоты $BH$ и $CH_1$ разрезали основание $AD$ на три части. Средняя часть $HH_1$ — сторона прямоугольника $HBCH_1$ (у него все углы прямые), поэтому $HH_1 = BC$. Крайние части равны: $AH = H_1D$ из равенства треугольников $ABH$ и $DCH_1$. Вместе они составляют $AD-BC$, каждая — половину.

Свойство

В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований.

Разрез насыпи ABCD: нижнее основание 22 м, верхнее 10 м, высоты отсекают от нижнего основания по 6 м, AH = (22 − 10) : 2 = 6 м — Каждый откос выступает на (22 − 10) : 2 = 6 м: высоты отрезают от низа равные части

Пример 2

Разрез насыпи из начала урока — равнобокая трапеция $ABCD$: низ $AD = 22$ м, верх $BC = 10$ м. Пусть откосы наклонены к земле под углом $45^\circ$. На сколько метров каждый откос выступает за край верха и какова высота насыпи?

Решение. Откосы равны, а основания разные ($22 \ne 10$), значит, трапеция равнобокая, и $AH = H_1D = (22-10):2 = 6$ м. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $A$ равен $45^\circ$, поэтому $\angle ABH = 90^\circ-45^\circ = 45^\circ$ и треугольник равнобедренный: $BH = AH = 6$ м. Проверка: $6+10+6 = 22$.

Ответ: каждый откос выступает на 6 м, высота насыпи 6 м.

Ответ на вопрос из начала урока: откосы одинаковой длины наклонены одинаково (равные углы при основании), и каждый выступает на половину разности ширины низа и верха.

Обратите внимание

Отрезок от основания высоты до дальней вершины равен полусумме оснований: $HD = HH_1+H_1D = BC+\frac{AD-BC}{2} = \frac{AD+BC}{2}$. В насыпи это $(22+10):2 = 16$ м.

trapeciya-vysoty

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD = 18$ и $BC = 8$, $BH$ — высота (см. рисунок). Найдите $AH$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/p2qrj2hiw6nn.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Высоты $BH$ и $CH_1$ отсекают равные отрезки: $AH = H_1D$, а $HH_1 = BC = 8$.","$AH = (18-8) : 2 = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, $AD > BC$, $CH_1$ — высота. Тогда $AH_1 =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{AD+BC}{2}$","$AD-BC$","$\\frac{AD-BC}{2}$","$\\frac{AD}{2}$"],"answer":0}},"hints":["Высоты $BH$ и $CH_1$ делят $AD$ на три части: $AH = H_1D = \\frac{AD-BC}{2}$, $HH_1 = BC$.","$AH_1 = AH+HH_1 = \\frac{AD-BC}{2}+BC = \\frac{AD+BC}{2}$.","Ответ: $\\frac{AD+BC}{2}$."],"step":1},{"content":"В равнобокой трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC = 7$, высота $BH$ отсекает от большего основания отрезок $AH = 4$. Найдите $AD$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Высоты отсекают два равных отрезка: $AH = H_1D = 4$, а между ними $HH_1 = BC = 7$.","$AD = 4 + 7 + 4 = 15$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Равные боковые стороны можно наклонить двумя способами

Возьмем две боковые палочки одной длины. Каждая сдвигает свой верхний конец по горизонтали на одно и то же расстояние (равные прямоугольные треугольники из раздела 3). Но палочку $CD$ можно наклонить двумя способами: навстречу $AB$ или в ту же сторону, что и $AB$.

Навстречу — получается равнобокая трапеция, основание $BC$ короче $AD$. В одну сторону — палочка $CD$ параллельна $AB$, верхнее основание сдвинуто целиком и равно нижнему: $BC = AD$. Это параллелограмм. У него тоже $AD \parallel BC$ и $AB = CD$, но трапецией он не является.

Две фигуры с равными боковыми сторонами AB = CD: слева стороны наклонены навстречу — равнобокая трапеция, справа в одну сторону — параллелограмм, у него BC = AD — Палочки одной длины: навстречу — равнобокая трапеция, в одну сторону — параллелограмм с BC = AD

Ошибка

«В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB = CD$. Значит, это равнобокая трапеция, и углы при основании равны».

Проверим на числах: $AD = BC = 9$, $AB = CD = 5$ (правая часть рисунка). Это параллелограмм: угол $A$ острый, угол $D$ тупой, диагонали разной длины. Ни одно свойство равнобокой трапеции не выполняется.

Где сломалось рассуждение: определение равнобокой трапеции говорит о трапеции, а то, что $ABCD$ — трапеция, не проверено. Проверка простая: если $AD \parallel BC$ и $AD \ne BC$, то $ABCD$ — трапеция (будь еще $AB \parallel CD$, это был бы параллелограмм с $AD = BC$), и тогда равные боковые стороны делают ее равнобокой.

Если известны углы или диагонали, работают признаки — утверждения, обратные свойствам из раздела 3.

Теорема (признаки равнобокой трапеции)

Трапеция равнобокая, если выполнено одно из условий:

1) углы при основании равны;

2) диагонали равны.

Доказательство признаков

Скрыть

1. Углы при основании равны. Пусть $\angle A = \angle D$ (если равны углы при основании $BC$, то равны и дополняющие их до $180^\circ$ углы при $AD$). Углы $A$ и $D$ острые: если бы они были тупыми, основание $BC$ было бы длиннее $AD$, а если прямыми — $ABCD$ был бы прямоугольником. Проведем высоты $BH$ и $CH_1$, они равны. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCH_1$ равны по катету и противолежащему острому углу, значит, $AB = DC$.

2. Диагонали равны. Пусть $AC = BD$. Прямоугольные треугольники $ACH_1$ и $DBH$ равны по гипотенузе и катету: $AC = DB$, $CH_1 = BH$. Значит, $\angle CAD = \angle BDA$. Тогда треугольники $ACD$ и $DBA$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AC = DB$, $AD$ — общая), и $CD = BA$.

{"questions":[{"content":"Вообразавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, $AB = CD = 6$, $\\angle A = 60^\\circ$. Боковые стороны равны, значит, это равнобокая трапеция и $\\angle D = \\angle A = 60^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не проверено, что $AD \\ne BC$: при $AD = BC$ это параллелограмм и $\\angle D = 120^\\circ$","Ошибка в угле: в любом случае $\\angle D = 180^\\circ-60^\\circ = 120^\\circ$","Ошибки нет: у равнобокой трапеции углы при основании равны","Ошибка: равнобокой трапеции нужны еще перпендикулярные диагонали"],"explanations":["","В равнобокой трапеции $\\angle D = \\angle A$; дополняет $\\angle A$ до $180^\\circ$ угол $B$, а не $D$","Вывод верен для трапеции, но не доказано, что $ABCD$ — трапеция: при $AD = BC = 10$ это параллелограмм","Перпендикулярность диагоналей с равнобокостью не связана; проверять нужно неравенство оснований"],"answer":[0]}},"hints":["Равнобокой называют трапецию с равными боковыми сторонами. Сначала нужно убедиться, что $ABCD$ — трапеция, то есть $AB \\nparallel CD$.","Проверьте на числах: если $AD = BC = 10$, то $ABCD$ — параллелограмм, у него $AB = CD$, но $\\angle D = 180^\\circ-60^\\circ = 120^\\circ$.","Ошибка — не проверено, что основания $AD$ и $BC$ не равны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Распределите утверждения по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно для любой трапеции","Верно только для равнобокой трапеции"],"items":[["$\\angle A+\\angle B=180^\\circ$","$\\angle C+\\angle D=180^\\circ$","Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются"],["$\\angle A=\\angle D$","$\\angle B=\\angle C$","$AC=BD$"]]}},"hints":["Углы у боковой стороны — односторонние при параллельных $AD$ и $BC$: их сумма $180^\\circ$ в любой трапеции. Боковые стороны любой трапеции не параллельны.","Равные углы при основании и равные диагонали — свойства равнобокой трапеции и одновременно ее признаки: у трапеции с неравными боковыми сторонами их нет.","Если $\\angle B = \\angle C$, то $\\angle A = 180^\\circ-\\angle B = 180^\\circ-\\angle C = \\angle D$ — снова признак равнобокой.","Ответ: для любой трапеции — $\\angle A+\\angle B=180^\\circ$, $\\angle C+\\angle D=180^\\circ$, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются; только для равнобокой — $\\angle A=\\angle D$, $\\angle B=\\angle C$, $AC=BD$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Боковая сторона может сама быть высотой

Поставим боковую палочку $AB$ перпендикулярно рейкам. Тогда она сама — высота трапеции, а углы при ней прямые: $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ$.

Определение

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Углы прямоугольной трапеции — $90^\circ$, $90^\circ$, $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$, где $\alpha$ — острый угол при большем основании. Проведем высоту $CH$. Она отрезает прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$, в котором $CH = AB$ и $HD = AD-BC$. Дальше работают свойства прямоугольного треугольника:

если $\angle D = 45^\circ$, треугольник $CHD$ равнобедренный: $CH = HD = AD-BC$;
если $\angle D = 30^\circ$, катет $CH$ лежит против угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы: $CH = \frac{CD}{2}$.

Прямоугольная трапеция ABCD с высотой CH: слева угол D равен 45° и CH = HD, справа угол D равен 30°, CD = 18, значит CH = 9 — Высота CH отрезает прямоугольный треугольник: при 45° CH = HD, при 30° CH — половина CD

Пример 3

В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$, $AB \perp AD$) угол $D$ равен $30^\circ$, боковая сторона $CD = 18$. Найдите высоту $AB$ и угол $C$.

Решение. Проведем $CH \perp AD$. Отрезки $AB$ и $CH$ равны: оба — расстояние между основаниями. В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $CH$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому $CH = 18:2 = 9$. Угол $C$ прилежит к боковой стороне $CD$ вместе с углом $D$: $\angle C = 180^\circ-30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $AB = 9$, $\angle C = 150^\circ$.

Обратите внимание

Прямоугольная трапеция не бывает равнобокой. Если бы углы при основании $AD$ были равны, то $\angle D = \angle A = 90^\circ$, и сторона $CD$, как и $AB$, была бы перпендикулярна $AD$. Тогда $AB \parallel CD$, и получился бы прямоугольник.

{"questions":[{"content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$. Сопоставьте углы трапеции и ее вид. Один вид лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle A = 90^\\circ$, $\\angle B = 90^\\circ$, $\\angle C = 115^\\circ$, $\\angle D = 65^\\circ$","$\\angle A = 65^\\circ$, $\\angle B = 115^\\circ$, $\\angle C = 115^\\circ$, $\\angle D = 65^\\circ$","$\\angle A = 65^\\circ$, $\\angle B = 115^\\circ$, $\\angle C = 100^\\circ$, $\\angle D = 80^\\circ$"],"items":["Прямоугольная","Равнобокая","Ни прямоугольная, ни равнобокая","Прямоугольная и равнобокая одновременно"]}},"instruction":"Сопоставьте углы и вид трапеции","hints":["Прямоугольная — если углы при одной боковой стороне прямые. Равнобокая — если равны углы при основании.","Набор $90^\\circ$, $90^\\circ$, $115^\\circ$, $65^\\circ$ — прямоугольная; $65^\\circ$, $115^\\circ$, $115^\\circ$, $65^\\circ$ — равнобокая ($\\angle A = \\angle D$); $65^\\circ$, $115^\\circ$, $100^\\circ$, $80^\\circ$ — ни та, ни другая.","Трапеция не бывает сразу прямоугольной и равнобокой: при $\\angle A = \\angle D = 90^\\circ$ все углы прямые, и $AB \\parallel CD$ — это прямоугольник."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ основания $BC = 6$ и $AD = 11$, $AB \\perp AD$, $\\angle D = 45^\\circ$ (см. рисунок). Найдите высоту $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pdle5lqspvsg.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Проведем $CH \\perp AD$: $AH = BC = 6$, значит, $HD = 11-6 = 5$.","В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D$ равен $45^\\circ$, он равнобедренный: $CH = HD = 5$.","$AB = CH = 5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Трапецию вы встретите в разрезах насыпей и каналов, в рамах и кровельных листах. Почти любая задача о трапеции решается одним приемом: провести высоты из вершин меньшего основания. Они отрезают прямоугольные треугольники, а с ними вы уже умеете работать. Вспомнить главное поможет каркас на двух рейках.

Часто задаваемые вопросы

Почему параллелограмм не считают трапецией?

Так устроено определение: у трапеции параллельна ровно одна пара сторон. Иначе свойства равнобокой трапеции пришлось бы проверять и на параллелограмме, а у него при равных «боковых» сторонах углы при основании не равны.

Можно ли вписать окружность в любую трапецию?

Нет. Окружность, которая касается всех четырех сторон, есть только у трапеций, где сумма оснований равна сумме боковых сторон. Например, у равнобокой трапеции с основаниями 2 и 10 и боковыми сторонами 5 ее нет: $2+10 \ne 5+5$.

Какие высоты проводить в задаче о трапеции?

Обычно — из вершин меньшего основания к большему. Тогда большее основание делится на части, а боковые стороны становятся гипотенузами прямоугольных треугольников. В равнобокой трапеции часто хватает одной высоты: второй крайний отрезок равен первому.

Бывает ли трапеция с тремя равными сторонами?

Да: например, равнобокая трапеция, у которой меньшее основание равно боковым сторонам. Тогда диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$: треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle BCA$, а $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы.

Награды за урок