Задание 19. Анализ высказываний: геометрия

{"questions":[{"content":"Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a \\cdot a = a^2$. Смежные стороны квадрата равны, поэтому их произведение действительно дает площадь."},{"content":"Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника.[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Диагональ трапеции делит ее на два треугольника, но они не равны, так как основания трапеции различны, а значит, и площади треугольников будут разными."},{"content":"Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.[[fill_choice_big-24]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Для равенства треугольников необходимо, чтобы были равны либо три стороны, либо две стороны и угол между ними. Равенства только двух сторон недостаточно."},{"content":"Все углы ромба равны.[[fill_choice_big-48]]","widgets":{"fill_choice_big-48":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"У ромба равны только противоположные углы. Все углы равны только у квадрата, который является частным случаем ромба."},{"content":"Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны.[[fill_choice_big-81]]","widgets":{"fill_choice_big-81":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Равенства сторон недостаточно для равенства четырехугольников, так как углы между ними могут быть разными. Например, ромб и квадрат с равными сторонами не равны."},{"content":"Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.[[fill_choice_big-118]]","widgets":{"fill_choice_big-118":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Из точки вне окружности всегда можно провести ровно две касательные к ней. Это свойство касательных, которое следует из равенства отрезков касательных."},{"content":"Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.[[fill_choice_big-174]]","widgets":{"fill_choice_big-174":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Смежные углы в сумме дают $180^\\circ$. Они могут быть оба прямыми ($90^\\circ$ и $90^\\circ$) или один острый, а другой тупой. Утверждение не всегда верно."},{"content":"Все хорды одной окружности равны между собой.[[fill_choice_big-240]]","widgets":{"fill_choice_big-240":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Хорды окружности могут иметь разную длину. Самой длинной хордой является диаметр, а другие хорды могут быть короче. Равны только хорды, равноудаленные от центра."},{"content":"Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.[[fill_choice_big-316]]","widgets":{"fill_choice_big-316":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"По определению окружность — это множество точек, равноудаленных от центра на расстояние, равное радиусу. Поэтому любая точка на окружности находится на расстоянии $R$ от центра."},{"content":"Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.[[fill_choice_big-385]]","widgets":{"fill_choice_big-385":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S = \\frac{a + b}{2} \\cdot h$. Произведение только одного основания на высоту дало бы площадь параллелограмма, а не трапеции."}]}

{"questions":[{"content":"Если три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Равенство трех углов дает только подобие треугольников, но не равенство. Размеры треугольников могут быть разными, как у подобных фигур."},{"content":"Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Это аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной."},{"content":"Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.[[fill_choice_big-20]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Центр описанной окружности лежит внутри треугольника только для остроугольного треугольника. Для прямоугольного он находится на середине гипотенузы, а для тупоугольного — вне треугольника."},{"content":"Диагонали ромба равны.[[fill_choice_big-94]]","widgets":{"fill_choice_big-94":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, но равны они только у квадрата. У обычного ромба диагонали имеют разную длину."},{"content":"Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.[[fill_choice_big-127]]","widgets":{"fill_choice_big-127":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Площадь треугольника равна $S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin \\angle C$, поэтому она меньше произведения двух его сторон."},{"content":"Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.[[fill_choice_big-168]]","widgets":{"fill_choice_big-168":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \\frac{a + b}{2}$, а не их сумме."},{"content":"Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.[[fill_choice_big-213]]","widgets":{"fill_choice_big-213":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"По первому признаку подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны."},{"content":"Диагональ равнобедренной трапеции делит ее на два равных треугольника.[[fill_choice_big-272]]","widgets":{"fill_choice_big-272":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Диагональ трапеции делит ее на два треугольника, у которых одна сторона общая, а основания трапеции различны. Поэтому треугольники имеют разные площади и не равны."},{"content":"Вертикальные углы равны.[[fill_choice_big-341]]","widgets":{"fill_choice_big-341":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Вертикальные углы всегда равны. Это свойство вертикальных углов, которое следует из равенства смежных углов."},{"content":"Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.[[fill_choice_big-418]]","widgets":{"fill_choice_big-418":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, а не перпендикулярны. Это свойство транзитивности параллельности."}]}

{"questions":[{"content":"Все квадраты имеют равные площади.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S = a^2$. У квадратов могут быть разные стороны, а значит, и площади будут разными."},{"content":"Основания равнобедренной трапеции равны.[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"В равнобедренной трапеции равны боковые стороны, а основания по определению трапеции не равны. Если основания равны, то фигура становится параллелограммом."},{"content":"Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.[[fill_choice_big-22]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Ромб является параллелограммом, а площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: $S = a \\cdot h$."},{"content":"Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.[[fill_choice_big-49]]","widgets":{"fill_choice_big-49":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других сторон. Для прямоугольного треугольника это выполняется: $c < a + b$."},{"content":"Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.[[fill_choice_big-72]]","widgets":{"fill_choice_big-72":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Это свойство биссектрисы угла: любая точка на биссектрисе находится на одинаковом расстоянии от сторон угла."},{"content":"Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.[[fill_choice_big-104]]","widgets":{"fill_choice_big-104":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник, а не ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, но не обязательно равны."},{"content":"Любые два равносторонних треугольника подобны.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"У всех равносторонних треугольников углы равны $60^\\circ$. По первому признаку подобия (по двум углам) любые два равносторонних треугольника подобны."},{"content":"Любой прямоугольник можно вписать в окружность.[[fill_choice_big-196]]","widgets":{"fill_choice_big-196":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Около любого прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов равна $180^\\circ$. Центр окружности находится на пересечении диагоналей."},{"content":"Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.[[fill_choice_big-255]]","widgets":{"fill_choice_big-255":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Одна прямая проводится только через две точки."},{"content":"Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.[[fill_choice_big-323]]","widgets":{"fill_choice_big-323":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Для равенства треугольников угол должен быть заключён между равными сторонами (первый признак). Если угол не между сторонами, равенство не гарантируется."}]}

{"questions":[{"content":"Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Диаметр опирается на дугу $180^\\circ$, значит, угол равен $\\frac{180^\\circ}{2} = 90^\\circ$."},{"content":"В тупоугольном треугольнике все углы тупые.[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, а два других острые. Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$, поэтому три тупых угла невозможны."},{"content":"Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"По определению средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \\frac{a + b}{2}$. Это одно из основных свойств трапеции."},{"content":"Тангенс любого острого угла меньше единицы.[[fill_choice_big-48]]","widgets":{"fill_choice_big-48":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Тангенс острого угла может быть больше единицы. Например, $\\tan 60^\\circ = \\sqrt{3} \\approx 1.73$. Тангенс меньше единицы только для углов меньше $45^\\circ$."},{"content":"В параллелограмме есть два равных угла.[[fill_choice_big-81]]","widgets":{"fill_choice_big-81":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"В параллелограмме противоположные углы равны, то есть имеются две пары равных углов. Следовательно, как минимум два равных угла всегда есть."}]}