Задание 16. Окружность и круг

{"questions":[{"content":"Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $73^\\circ$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-1]][[image-204]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$36.5^\\circ$","$73^\\circ$","$146^\\circ$","$18.25^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-204":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z1-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Угол $AOB$ является центральным, так как его вершина $O$ — центр окружности. Он опирается на дугу $AB$.","Угол $ACB$ является вписанным, так как его вершина $C$ лежит на окружности. Он также опирается на дугу $AB$.","Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно: $\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\angle AOB$.","Подставляем значение $\\angle AOB = 73^\\circ$: $\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 73^\\circ = 36.5^\\circ$."]},{"content":"В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $86^\\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-2]][[image-205]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$47^\\circ$","$43^\\circ$","$86^\\circ$","$94^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-205":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z2-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\\angle BOC = \\angle AOD = 86^\\circ$.","Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB$.","Сумма углов в треугольнике равна $180^\\circ$. Для треугольника $BOC$: $\\angle BOC + \\angle OBC + \\angle OCB = 180^\\circ$.","Заменяем $\\angle OBC$ на $\\angle OCB$ и подставляем значение $\\angle BOC = 86^\\circ$: $86^\\circ + \\angle OCB + \\angle OCB = 180^\\circ$; $86^\\circ + 2 \\cdot \\angle OCB = 180^\\circ$.","Выражаем $\\angle OCB$ (который является искомым углом $ACB$, так как точка $C$ общая): $2 \\cdot \\angle OCB = 180^\\circ — 86^\\circ$; $2 \\cdot \\angle OCB = 94^\\circ$; $\\angle OCB = \\frac{94^\\circ}{2} = 47^\\circ$."]},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $53^\\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3]][[image-206]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$74^\\circ$","$53^\\circ$","$106^\\circ$","$37^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-206":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z3-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $ACB$ и угол $OCB$ — это один и тот же угол (вершина $C$, стороны $CA$ и $CB$). Следовательно: $\\angle OBC = \\angle OCB = \\angle ACB = 53^\\circ$.","Сумма углов в треугольнике равна $180^\\circ$. Для треугольника $BOC$: $\\angle BOC + \\angle OBC + \\angle OCB = 180^\\circ$.","Подставляем известные значения углов при основании: $\\angle BOC + 53^\\circ + 53^\\circ = 180^\\circ$; $\\angle BOC + 106^\\circ = 180^\\circ$.","Находим угол $BOC$: $\\angle BOC = 180^\\circ — 106^\\circ = 74^\\circ$.","Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\\angle AOD = \\angle BOC = 74^\\circ$."]},{"content":"Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $BAC$ равен $33^\\circ$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-4]][[image-207]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$57^\\circ$","$33^\\circ$","$90^\\circ$","$66^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-207":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z4-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Центр окружности лежит на стороне $AB$, следовательно, $AB$ — диаметр.","Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\\circ$. Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\\angle ACB = 90^\\circ$, значит $\\triangle ACB$ — прямоугольный.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$. Известно, что угол $BAC$ равен $33^\\circ$, а в сумме два острых угла дают $90^\\circ$. Значит, угол $ABC$ равен: $\\angle ABC = 90^\\circ — \\angle BAC = 90^\\circ — 33^\\circ = 57^\\circ$."]},{"content":"Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $17$. Найдите $AC$, если $BC = 30$.[[fill_choice_big-5]][[image-208]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$18$","$14$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-208":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z5-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Центр окружности лежит на стороне $AB$, следовательно, $AB$ — диаметр.","Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно, $AB = 2 \\cdot 17 = 34$.","Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\\circ$. Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\\angle ACB = 90^\\circ \\implies \\triangle ACB$ — прямоугольный.","По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.","Выразим $AC$ и подставим известные значения: $AC = \\sqrt{AB^2 — BC^2} = \\sqrt{34^2 — 30^2} = \\sqrt{256} = 16$."]},{"content":"Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $8.5$. Найдите $BC$, если $AC = 8$.[[fill_choice_big-6]][[image-209]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$17$","$13$","$19$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-209":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z6-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Центр окружности лежит на стороне $AB$, следовательно, $AB$ — диаметр.","Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно, $AB = 2 \\cdot 8.5 = 17$.","Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\\circ$. Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\\angle ACB = 90^\\circ \\implies \\triangle ACB$ — прямоугольный.","По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.","Выразим $BC$ и подставим известные значения: $BC = \\sqrt{AB^2 — AC^2} = \\sqrt{17^2 — 8^2} = \\sqrt{289 — 64} = \\sqrt{225} = 15$."]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80^\\circ$, угол $CAD$ равен $34^\\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-7]][[image-210]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$114^\\circ$","$80^\\circ$","$34^\\circ$","$46^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-210":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z7-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD$.","Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD$.","Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD$. Поэтому: $\\angle ABC = \\angle ABD + \\angle CBD = \\angle ABD + \\angle CAD = 80^\\circ + 34^\\circ = 114^\\circ$."]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\\circ$, угол $CAD$ равен $60^\\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-8]][[image-211]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$32^\\circ$","$60^\\circ$","$92^\\circ$","$28^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-211":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z8-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD$.","Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD$.","Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD$. Поэтому: $\\angle ABD = \\angle ABC — \\angle CBD = \\angle ABC — \\angle CAD = 92^\\circ — 60^\\circ = 32^\\circ$."]},{"content":"На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\\angle NBA = 41^\\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-9]][[image-212]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$49^\\circ$","$41^\\circ$","$90^\\circ$","$82^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-212":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z9-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем отрезок $AN$.","Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\\circ$. Угол $ANB$ вписанный и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\\angle ANB = 90^\\circ \\implies \\triangle ANB$ — прямоугольный.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$. Известно, что угол $NBA$ равен $41^\\circ$, а в сумме два острых угла дают $90^\\circ$. Значит, угол $NAB$ равен: $\\angle NAB = 90^\\circ — \\angle NBA = 90^\\circ — 41^\\circ = 49^\\circ$.","Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Заметим, что $\\angle NMB = \\angle NAB$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $NB$. Тогда: $\\angle NMB = \\angle NAB = 49^\\circ$."]},{"content":"Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $10$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.[[fill_choice_big-10]][[image-213]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$16$","$4$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-213":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z10-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус окружности $AO$.","Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.","По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрата: $DO = \\frac{1}{2} CD = \\frac{a}{2}$.","Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.","По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ADO$ по теореме Пифагора: $OA^2 = DO^2 + AD^2$.","Подставим известные значения и выразим $a^2$: $(10)^2 = (\\frac{a}{2})^2 + a^2$; $100 = \\frac{a^2}{4} + a^2$; $100 = \\frac{5a^2}{4}$; $a^2 = \\frac{100 \\cdot 4}{5} = 80$.","Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна: $S_{ABCD} = a^2 = 80$."]}]}

{"questions":[{"content":"Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $52^\\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-11]][[image-214]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$128^\\circ$","$52^\\circ$","$104^\\circ$","$76^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-214":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z11-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\\circ$.","У трапеции основания параллельны. Значит, углы $A$ и $B$ трапеции в сумме дают $180^\\circ$ как односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$: $\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$.","Выразим угол $B$ и подставим значение угла $A$: $\\angle B = 180^\\circ — \\angle A = 180^\\circ — 52^\\circ = 128^\\circ$."]},{"content":"Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $32^\\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-12]][[image-215]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$148^\\circ$","$32^\\circ$","$64^\\circ$","$116^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-215":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z12-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\\circ$.","В трапеции $ABCD$ противоположными являются углы $A$ и $C$: $\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$.","Выразим угол $C$ и подставим известные значения: $\\angle C = 180^\\circ — \\angle A = 180^\\circ — 32^\\circ = 148^\\circ$."]},{"content":"Угол $A$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $62^\\circ$. Найдите угол $C$ этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-13]][[image-216]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$118^\\circ$","$62^\\circ$","$124^\\circ$","$56^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-216":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z13-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\\circ$.","У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $A$ и $C$ — противоположные, значит, их сумма равна $180^\\circ$: $\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$.","Выразим угол $C$ и подставим известные значения: $\\angle C = 180^\\circ — \\angle A = 180^\\circ — 62^\\circ = 118^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BC = 5$, угол $C$ равен $90^\\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.[[fill_choice_big-14]][[image-217]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$6.5$","$13$","$5$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-217":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z14-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.","Выразим $AB$ и подставим известные значения: $AB = \\sqrt{BC^2 + AC^2} = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13$.","Если вписанный угол равен $90^\\circ$, то он опирается на диаметр.","Угол $ACB$ вписанный и равен $90^\\circ$. Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.","Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен: $R = \\frac{1}{2} AB = \\frac{13}{2} = 6.5$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $16\\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.[[fill_choice_big-15]][[image-218]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-218":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z15-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Обозначим треугольник как $ABC$.","Углы равностороннего треугольника равны $60^\\circ$. Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60^\\circ$.","Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов: $\\frac{a}{\\sin 60^\\circ} = 2R$.","Синус $60^\\circ$ — табличная величина: $\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$.","Из полученной формулы выразим $R$: $\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = 2R$; $\\frac{2a}{\\sqrt{3}} = 2R$; $R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$.","По условию сторона треугольника равна $16\\sqrt{3}$. Получаем: $R = \\frac{16\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{16 \\cdot 3}{3} = 16$."]},{"content":"Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $6\\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.[[fill_choice_big-16]][[image-219]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$24$","$12$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-219":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z16-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле: $R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$, где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.","По условию радиус описанной окружности равен $6\\sqrt{3}$. В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника: $6\\sqrt{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$; $6\\sqrt{3} \\cdot 3 = a\\sqrt{3}$; $18\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}$; $a = 18$.","Таким образом, сторона треугольника равна $18$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\\circ$, $AB = 26$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.[[fill_choice_big-17]][[image-220]]","widgets":{"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["$26$","$13$","$52$","$39$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-220":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z17-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.","По теореме синусов: $\\frac{a}{\\sin \\alpha} = 2R$, где $a$ — сторона треугольника, $\\alpha$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.","Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов: $\\frac{AB}{\\sin \\angle ACB} = 2R$.","Подставим известные значения: $\\frac{26}{\\sin 150^\\circ} = 2R$.","По формуле для синусов углов: $\\sin(180^\\circ — \\alpha) = \\sin \\alpha$. То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство: $\\sin 150^\\circ = \\sin(180^\\circ — 30^\\circ) = \\sin 30^\\circ$.","Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставив табличное значение $\\sin 30^\\circ = \\frac{1}{2}$, и найдем значение радиуса: $\\frac{26}{\\frac{1}{2}} = 2R$; $52 = 2R$; $R = 26$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45^\\circ$, $AB = 8\\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.[[fill_choice_big-18]][[image-221]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$16$","$12$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-221":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z18-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.","По теореме синусов: $\\frac{a}{\\sin \\alpha} = 2R$, где $a$ — сторона треугольника, $\\alpha$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.","Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов: $\\frac{AB}{\\sin \\angle ACB} = 2R$.","Подставим известные значения: $\\frac{8\\sqrt{2}}{\\sin 45^\\circ} = 2R$.","Подставим табличное значение $\\sin 45^\\circ = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ и найдем значение радиуса: $\\frac{8\\sqrt{2}}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = 2R$; $8\\sqrt{2} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = 2R$; $16 = 2R$; $R = 8$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $4\\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.[[fill_choice_big-19]][[image-222]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-222":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z19-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$, где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.","По условию сторона треугольника равна $4\\sqrt{3}$. Значит, радиус вписанной окружности равен: $r = \\frac{4\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{6} = \\frac{4 \\cdot 3}{6} = 2$."]},{"content":"Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $7\\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.[[fill_choice_big-20]][[image-223]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$42$","$21$","$28$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-223":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z20-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$, где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.","По условию радиус окружности равен $7\\sqrt{3}$. Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника: $7\\sqrt{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$; $7\\sqrt{3} \\cdot 6 = a\\sqrt{3}$; $42\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}$; $a = 42$."]}]}

{"questions":[{"content":"Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 8$, $BC = 20$, $CD = 17$. Найдите $AD$.[[fill_choice_big-22]][[image-224]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$15$","$25$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-224":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z22-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны.","Значит, для четырехугольника $ABCD$ справедливо равенство: $BC + AD = AB + CD$.","Подставим известные значения и найдем $AD$: $20 + AD = 8 + 17$; $20 + AD = 25$; $AD = 25 — 20 = 5$."]},{"content":"Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 10$, $BC = 6$, $CD = 12$. Найдите $AD$.[[fill_choice_big-23]][[image-225]]","widgets":{"fill_choice_big-23":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$22$","$12$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-225":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z23-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны.","Для трапеции $ABCD$ противоположными сторонами являются $BC$ и $AD$ (основания), а также $AB$ и $CD$ (боковые стороны). Следовательно: $BC + AD = AB + CD$.","Подставим известные значения и найдем $AD$: $6 + AD = 10 + 12$; $6 + AD = 22$; $AD = 22 — 6 = 16$."]},{"content":"Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен $16$. Найдите высоту этой трапеции.[[fill_choice_big-24]][[image-226]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$16$","$48$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-226":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z24-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.","Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.","Так как противоположные стороны трапеции параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.","Высота трапеции равна расстоянию между ее основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами: $h = 16 + 16 = 32$."]},{"content":"Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен $42$. Найдите высоту этой трапеции.[[fill_choice_big-25]][[image-227]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$84$","$42$","$126$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-227":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z25-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.","Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.","Так как противоположные стороны трапеции параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.","Высота трапеции равна расстоянию между ее основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами: $h = 42 + 42 = 84$."]},{"content":"Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен $22$. Найдите высоту этой трапеции.[[fill_choice_big-26]][[image-228]]","widgets":{"fill_choice_big-26":{"type":"fill_choice_big","options":["$44$","$22$","$66$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-228":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z26-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.","Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.","Так как противоположные стороны трапеции параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.","Высота трапеции равна расстоянию между ее основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами: $h = 22 + 22 = 44$."]},{"content":"Сторона квадрата равна $16\\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.[[fill_choice_big-27]][[image-229]]","widgets":{"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-229":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z27-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем: $d^2 = a^2 + a^2$; $d^2 = 2a^2$; $d = a\\sqrt{2}$.","Значит, диагональ квадрата со стороной $16\\sqrt{2}$ равна: $d = 16\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 16 \\cdot 2 = 32$.","Поскольку все углы квадрата являются прямыми и вписанными, каждый из них опирается на диаметр описанной окружности квадрата. Следовательно, диагональ квадрата совпадает с диаметром этой окружности.","Значит, диаметр окружности равен $32$. Радиус окружности равен половине диаметра: $R = \\frac{d}{2} = \\frac{32}{2} = 16$."]},{"content":"Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $4\\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.[[fill_choice_big-28]][[image-230]]","widgets":{"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$16$","$4$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-230":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z28-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Диаметр окружности равен удвоенному радиусу. Значит, диаметр окружности с радиусом $4\\sqrt{2}$ равен: $d = 2R = 2 \\cdot 4\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}$.","Поскольку все углы квадрата являются прямыми и вписанными, каждый из них опирается на диаметр описанной окружности квадрата. Следовательно, диагональ квадрата совпадает с диаметром этой окружности.","Значит, диагональ исходного квадрата равна $8\\sqrt{2}$.","Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем: $d^2 = a^2 + a^2$; $d^2 = 2a^2$; $d = a\\sqrt{2}$.","В данную формулу подставим значение диагонали и найдем длину стороны квадрата: $8\\sqrt{2} = a \\cdot \\sqrt{2}$; $a = \\frac{8\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 8$."]},{"content":"Сторона квадрата равна $6$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.[[fill_choice_big-29]][[image-231]]","widgets":{"fill_choice_big-29":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$12$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-231":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z29-resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.","Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.","Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.","Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а радиус вписанной окружности составляет половину стороны: $r = \\frac{6}{2} = 3$."]},{"content":"Радиус вписанной в квадрат окружности равен $4\\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.[[fill_choice_big-30]][[image-232]]","widgets":{"fill_choice_big-30":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$8$","$32$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-232":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z30-resh-1.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Проведем радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.","Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.","Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.","Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам: $a = 2 \\cdot 4\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}$.","Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем: $d^2 = a^2 + a^2$; $d^2 = 2a^2$; $d = a\\sqrt{2}$.","Запишем диагональ квадрата со стороной $8\\sqrt{2}$: $d = a\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 8 \\cdot 2 = 16$."]}]}

{"questions":[{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $41^\\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3a]][[image-206]]","widgets":{"fill_choice_big-3a":{"type":"fill_choice_big","options":["$82^\\circ$","$41^\\circ$","$98^\\circ$","$49^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-206":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z3-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $ACB$ и угол $OCB$ — это один и тот же угол (вершина $C$, стороны $CA$ и $CB$). Следовательно: $\\angle OBC = \\angle OCB = \\angle ACB = 41^\\circ$.","Сумма углов в треугольнике равна $180^\\circ$. Для треугольника $BOC$: $\\angle BOC + \\angle OBC + \\angle OCB = 180^\\circ$.","Подставляем известные значения углов при основании: $\\angle BOC + 41^\\circ + 41^\\circ = 180^\\circ$; $\\angle BOC + 82^\\circ = 180^\\circ$.","Находим угол $BOC$: $\\angle BOC = 180^\\circ — 82^\\circ = 98^\\circ$.","Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\\angle AOD = \\angle BOC = 98^\\circ$."]},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $29^\\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3b]][[image-206]]","widgets":{"fill_choice_big-3b":{"type":"fill_choice_big","options":["$122^\\circ$","$29^\\circ$","$58^\\circ$","$61^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-206":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z3-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $ACB$ и угол $OCB$ — это один и тот же угол (вершина $C$, стороны $CA$ и $CB$). Следовательно: $\\angle OBC = \\angle OCB = \\angle ACB = 29^\\circ$.","Сумма углов в треугольнике равна $180^\\circ$. Для треугольника $BOC$: $\\angle BOC + \\angle OBC + \\angle OCB = 180^\\circ$.","Подставляем известные значения углов при основании: $\\angle BOC + 29^\\circ + 29^\\circ = 180^\\circ$; $\\angle BOC + 58^\\circ = 180^\\circ$.","Находим угол $BOC$: $\\angle BOC = 180^\\circ — 58^\\circ = 122^\\circ$.","Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\\angle AOD = \\angle BOC = 122^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 24$, $BC = 7$, угол $C$ равен $90^\\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.[[fill_choice_big-14a]][[image-217]]","widgets":{"fill_choice_big-14a":{"type":"fill_choice_big","options":["$12.5$","$25$","$7$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-217":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z14-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.","Выразим $AB$ и подставим известные значения: $AB = \\sqrt{BC^2 + AC^2} = \\sqrt{7^2 + 24^2} = \\sqrt{49 + 576} = \\sqrt{625} = 25$.","Если вписанный угол равен $90^\\circ$, то он опирается на диаметр.","Угол $ACB$ вписанный и равен $90^\\circ$. Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.","Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен: $R = \\frac{1}{2} AB = \\frac{25}{2} = 12.5$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 15$, $BC = 8$, угол $C$ равен $90^\\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.[[fill_choice_big-14b]][[image-217]]","widgets":{"fill_choice_big-14b":{"type":"fill_choice_big","options":["$8.5$","$17$","$8$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-217":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z14-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.","Выразим $AB$ и подставим известные значения: $AB = \\sqrt{BC^2 + AC^2} = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17$.","Если вписанный угол равен $90^\\circ$, то он опирается на диаметр.","Угол $ACB$ вписанный и равен $90^\\circ$. Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.","Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен: $R = \\frac{1}{2} AB = \\frac{17}{2} = 8.5$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $6\\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.[[fill_choice_big-19a]][[image-222]]","widgets":{"fill_choice_big-19a":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$9$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-222":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z19-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$, где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.","По условию сторона треугольника равна $6\\sqrt{3}$. Значит, радиус вписанной окружности равен: $r = \\frac{6\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{6} = \\frac{6 \\cdot 3}{6} = 3$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $10\\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.[[fill_choice_big-19b]][[image-222]]","widgets":{"fill_choice_big-19b":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$10$","$15$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-222":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/z19-zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$, где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.","По условию сторона треугольника равна $10\\sqrt{3}$. Значит, радиус вписанной окружности равен: $r = \\frac{10\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{6} = \\frac{10 \\cdot 3}{6} = 5$."]}]}