Площадь треугольника

Мы уже узнали, как находить площадь параллелограмма. А теперь посмотрим, как это помогает разобраться с треугольником. Ведь треугольник можно увидеть внутри параллелограмма, и именно это откроет нам простой способ для вычисления его площади.

Треугольник и его площадь

Если внимательно посмотреть на треугольник, то окажется, что его можно достроить до параллелограмма.

По определению у параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны, поэтому, если через две вершины треугольника провести прямые, параллельные двум его противоположным сторонам: $AB \parallel A_1C$, $AC \parallel A_1B$, то получится параллелограмм.

Такой прием наглядно показывает, что треугольник и параллелограмм взаимосвязаны: стоит немного изменить чертеж — и мы видим новую фигуру, внутри которой останется тот же самый треугольник.

Данная информация поможет нам быстро вывести и доказать формулу площади треугольника. Но для этого мы пройдем обратным путем, то есть разобьем параллелограмм его диагональю на два треугольника.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}a \cdot h$,
где $a$ — основание треугольника, $h$ — высота, опущенная на это основание.

Доказательство

Скрыть

Дано: параллелограмм $ABCD$ с основанием $AD=a$ и высотой $h$.

Доказать: $S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2}a \cdot h$.

Доказательство:

Проведем диагональ $BD$. Она разбивает параллелограмм на треугольники $ABD$ и $BCD$. Рассмотрим эти треугольники. У них:

1. $BD$ — общая сторона,
2. $AB=CD$ и $AD=BC$ как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle BCD$ по трем сторонам.

Если треугольники равны, значит, диагональ параллелограмма разбила его на два равных по площади треугольника, исходя из свойства площадей.

Так как $S_{ABCD}=a\cdot h$, получаем $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}a\cdot h$.

Что и требовалось доказать.

Из приведенного доказательства площадь треугольника, так же как и площадь параллелограмма, тесно связана с произведением основания и высоты фигуры. На прошлом уроке мы уже акцентировали на этом внимание.

Теперь можно сделать вывод: площадь любой фигуры — это произведение ее основания и высоты. Просто в некоторых «усеченных» фигурах в формулу площади добавляется $ \dfrac{1}{2}$ (именно $ \dfrac{1}{2}$, так как мы имеем дело с двухмерным пространством). И в этом мы еще раз, немного позже, сможем убедиться на примере площади трапеции.

{"questions":[{"content":"Выберите верную формулу площади треугольника по основанию $a$ и высоте $h$, опущенной на это основание.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$","$S = a \\cdot h$","$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot (a + h)$","$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot a$"],"explanations":["","Это формула площади параллелограмма.","",""],"answer":[0]},"image-7":{"type":"image","url":""}},"hints":["Вспомните формулу площади параллелограмма: $S = a \\cdot h$.","Треугольник равен половине параллелограмма."]}]}

Решение задач

Рассмотрим несколько типовых задач, к которым применяется формула для вычисления площади треугольника.

Задача № 1

Площадь $\triangle MNP$ равна $60$, а основание $MN = 12$.

Найдите высоту, проведенную к основанию $MN$.

Решение

Скрыть

Дано:
$\triangle MNP$,
$S_{\triangle MNP} = 60$,
$MN = 12$.

Найти: $h$ — высоту, проведенную к основанию $MN$.

Проведем высоту $h$ из вершины $P$ к основанию $MN$.

Формула площади треугольника:
$S = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h$.

Подставим данные:
$$60 = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot h,$$

$$6 \cdot h = 60,$$

$$h = 10.$$

Ответ: $h = 10$.

Задача № 2

В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $AB = 18$, $AC = 12$.

Найдите площадь треугольника.

Решение

Скрыть

Дано:
$\triangle ABC$,
$\angle A = 30^\circ$,
$AB = 18$,
$AC = 12$.

Найти: $S_{\triangle ABC}$.

Опустим высоту $CH$ на сторону $AB$ и получим, что $\triangle ACH$ — прямоугольный, у которого $\angle A = 30^\circ$.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $\Rightarrow$ $CH = 6$.

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CH =\dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 54$.

Ответ: $S_{\triangle ABC} = 54$.

Задача № 3

В $\triangle ABC$ известно: высота $CH = 8$, высота $BK = 6$, сторона $AC = 12$.

Найдите сторону $AB$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Площадь треугольника равна $48$, основание $a = 12$. Высоту $h$ какой длины нужно провести к этому основанию?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/rybalka-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$h = 4$","$h = 6$","$h = 8$","$h = 12$"],"answer":[2]}},"hints":["Используйте формулу $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$.","Подставьте известные значения и найдите высоту.<br /><br />По формуле $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$ имеем:<br />$48 = \\dfrac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot h$,<br />$\\Rightarrow 48 = 6 \\cdot h$,<br />$\\Rightarrow h = \\dfrac{48}{6} = 8$.<br /><br />Ответ: $h = 8$."]}]}

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади обычного треугольника запоминается довольно легко, потому что она часто используется в задачах. А что касается площади прямоугольного треугольника — могут возникнуть проблемы: нахождение его площади не так часто встречается в курсе геометрии.

На самом деле формулы площади любой фигуры не обязательно запоминать. Достаточно помнить, как найти площадь прямоугольника, и отталкиваться от этого.

Ведь прямоугольный треугольник — половина прямоугольника, обычный треугольник — половина параллелограмма («наклоненного» прямоугольника). Следовательно, и их площадь будет половиной площади этих фигур.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.

Катеты взаимно перпендикулярны, поэтому один из них можно считать основанием, а другой — высотой.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты $a = 6 \\ \\text{см}$, $b = 8 \\ \\text{см}$, а гипотенуза $c = 10 \\ \\text{см}$. Найдите площадь треугольника.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/zolotoj-peok-optimized.png","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$24 \\ \\text{см}^2$","$48 \\ \\text{см}^2$","$30 \\ \\text{см}^2$","$40 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[0]}},"hints":["У прямоугольного треугольника катеты играют роль основания и высоты.","Используйте формулу площади прямоугольного треугольника:<br />$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b$.","$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\ \\text{см} \\cdot 8 \\ \\text{см} = \\dfrac{48}{2} \\ \\text{см}^2 = 24 \\ \\text{см}^2$.<br /><br />Ответ: $S = 24 \\ \\text{см}^2$."]}]}

Площадь ромба

Невольно возникает вопрос: при чем здесь площадь ромба, ведь это параллелограмм, а сегодня мы говорим о площади треугольника?

Это действительно так. И, площадь ромба вычисляется так же, как и площадь параллелограмма — произведением основания и высоты:
$$S_{ромба} = a \cdot h.$$

Но у ромба есть еще дополнительная формула площади, которая чаще используется в задачах, и ее просто необходимо знать.

А выведем и докажем мы эту формулу очень просто, используя формулу площади прямоугольного треугольника.

Итак, сформулируем и докажем дополнительную формулу площади ромба.

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей:
$S_{ромба} = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$.

Доказательство

Скрыть

Из свойств диагоналей ромба (они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам) следует, что они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Площадь прямоугольного треугольного треугольника равна полупроизведению катетов. Следовательно, площадь ромба будет в четыре раза больше. То есть:

$S_{ромба} = 4 \cdot S_{прям. треуг.} = 4 \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b) = 2 \cdot a \cdot b$.

Каждый катет треугольника равен половине диагонали ромба: $a = \dfrac{1}{2} \cdot d_2$ и $b = \dfrac{1}{2} \cdot d_1$, где $d_1$ — вертикальная диагональ, а $d_2$ — горизонтальная.

Заменим в формуле буквы катетов на буквы диагоналей:

$S_{ромба} = 2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot d_2) \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot d_1) = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Диагонали ромба равны $8 \\ \\text{см}$ и $18 \\ \\text{см}$. Вычислите его площадь.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_deyatelnost_dop-04-2.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$72 \\ \\text{см}^2$","$13 \\ \\text{см}^2$","$144 \\ \\text{см}^2$","$26 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что когда известны диагонали ромба, то его площадь можно вычислить по формуле: <br />$S_{ромба} = \\dfrac{d_1 \\cdot d_2}{2}$.","$S_{ромба} = \\dfrac{8 \\cdot 18}{2} = 72\\ \\text{см}^2$.<br /><br />Ответ:  $72\\ \\text{см}^2$."]}]}

Отношение площадей треугольника по равным высотам

Исходя из того, что площадь треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}a \cdot h$, можно сделать вывод:

Если у двух треугольников высоты равны, то их площади будут относиться друг к другу как стороны, на которые опущены эти высоты:
$ \dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — основания треугольников.

Доказательство

Скрыть

Задача

У двух треугольников высоты равны. Основание первого треугольника равно $12 \ \text{см}$, второго — $18 \ \text{см}$. Площадь первого треугольника равна $48 \ \text{см}^2$.

Найдите площадь второго треугольника.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Если у двух треугольников равны высоты, то как относятся их площади?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/faraon-01-1.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Как квадраты оснований","Как основания","Как суммы оснований","Как разности оснований"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните формулу площади треугольника: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$.","При одинаковых высотах $h$ отношение площадей зависит только от длин оснований."]}]}

Отношение площадей по равному углу

Мы уже знаем, что если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. Теперь рассмотрим другой случай: если у треугольников равны углы.

В этом случае связь между площадями выражается через произведение сторон, заключающих равный угол.

Если у двух треугольников равны углы при вершине $A$, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_2B_2 \cdot A_2C_2}$.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$, у которых $\angle A_1=\angle A_2$.

Наложим эти треугольники друг на друга так, чтобы совпали равные углы $A_1$ и $A_2$.

Проведем высоту $C_1H_1$. Она будет общей для $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_1B_2C_1$.

Из выше доказанной теоремы нам известно, что если у треугольников высоты равны, то их площади относятся как основания. Следовательно,

$$ \dfrac{S_1}{S_{\triangle A_2B_2C_1}} = \dfrac{A_1B_1}{A_2B_2}.$$

Проведем высоту $B_2H_2$.

Она будет общей для $\triangle A_2B_2C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$. Следовательно,

$$ \dfrac{S_{\triangle A_2B_2C_1}}{S_2} = \dfrac{A_1C_1}{A_2C_2}.$$

Перемножив полученные равенства, получим:

$$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_2B_2 \cdot A_2C_2}.$$

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Если у двух треугольников равны углы при вершине $A$, то их площади относятся…[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/novosti-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Как квадраты сторон, заключающих этот угол.","Как частное сторон, заключающих этот угол.","Как суммы сторон, заключающих этот угол.","Как произведения сторон, заключающих этот угол."],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните формулу площади: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$ (для одного угла высота заменяется зависимостью от второй стороны).","При равных углах перемножаются именно те стороны, которые этот угол образуют."]}]}

Притчи о треугольнике и площади

Ученик подошел к мудрецу и спросил:
— Учитель, зачем нам этот треугольник? Он же всего лишь три стороны.

Мудрец нарисовал прямоугольник и провел диагональ.
— Видишь? Половина прямоугольника — это треугольник. Мы можем поделить на треугольники любой квадрат, многоугольник, даже поле или дом.

— Но зачем? — не унимался ученик.

— Чтобы считать площади, — ответил мудрец. — Хочешь узнать, сколько места занимает фигура, найди в ней треугольники и сложи их площади.

Один крестьянин попросил у мудреца совет:
— У меня есть три палки. Могу ли я огородить ими участок земли, чтобы посадить рис?

Мудрец сложил палки в линию и сказал:
— Так земли у тебя не будет — это просто прямая.

Сложил их в треугольник и улыбнулся:
— А теперь у тебя появился участок. Три стороны образовали фигуру, и у нее есть площадь.

Крестьянин удивился:
— Так выходит, земля появляется только тогда, когда есть треугольник?

Мудрец кивнул:
— Именно. Все, что имеет площадь, можно свести к треугольникам. Поэтому треугольник — начало всего.

Часто задаваемые вопросы