8 класс Геометрия Площадь Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь треугольника

Содержание

В уроке «Площадь параллелограмма» мы доказали, что площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту. В этом уроке разрежем параллелограмм по диагонали, выведем формулу площади треугольника, разберемся с тремя высотами треугольника и с тем, куда уходит высота при тупом угле. Краткая справка по теме есть и в уроке «Площадь треугольника».

Задача для начала. Двор имеет форму прямоугольника $30$ м на $20$ м. В нем размечают треугольную клумбу: одна ее сторона — вся длинная сторона двора, а третья вершина — какая-нибудь точка на противоположной стороне. Какую часть двора займет клумба? Зависит ли ответ от того, где выбрана третья вершина? Ответим в последнем разделе.

Диагональ режет параллелограмм на две равные половины

Начнем с клетчатого листа. Нарисуем параллелограмм $ABCD$: нижняя сторона $AD$ — $9$ клеток, верхняя сторона $BC$ — тоже $9$ клеток, но сдвинута на $2$ клетки вправо; между ними $4$ ряда клеток. По прошлому уроку его площадь $9 \cdot 4 = 36$ клеток.

Возьмем ножницы и разрежем параллелограмм по диагонали $AC$. Получатся два треугольника — $ABC$ и $CDA$. Наложим один на другой: они совпадут. Это не случайность чертежа. У треугольников $AB = CD$ и $BC = DA$ как противоположные стороны параллелограмма, а сторона $AC$ у них общая. Значит, треугольники равны по трем сторонам, а равные фигуры имеют равные площади.

Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника по 18 клеток — Диагональ AC делит параллелограмм 9 × 4 на два равных треугольника: 36 = 18 + 18

В каждом треугольнике $36 : 2 = 18$ клеток. Посмотрим на треугольник $CDA$ отдельно. Его сторона $AD$ — $9$ клеток, а вершина $C$ поднята над прямой $AD$ на $4$ клетки. Площадь $18$ — ровно половина от $9 \cdot 4$. Похоже, площадь треугольника — это половина произведения стороны на расстояние от противоположной вершины до этой стороны. Проверим, что так бывает всегда.

{"questions":[{"content":"Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $56\\ \\text{см}^2$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника. Чему равна площадь треугольника $ABC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$14\\ \\text{см}^2$","$56\\ \\text{см}^2$","$112\\ \\text{см}^2$","$28\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Четверть получается, если провести обе диагонали; здесь проведена одна","Это площадь всего параллелограмма, а диагональ делит его на две равные части","Часть не может быть больше целого: площадь надо разделить на 2, а не умножить",""],"answer":[3]}},"hints":["Треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трем сторонам: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая.","Равные фигуры имеют равные площади, а вместе они составляют параллелограмм: $56 : 2 = 28\\ \\text{см}^2$."],"step":1}],"mix":1}

Треугольник — половина параллелограмма

Определение

Напомним: высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Эту сторону называют основанием.

Теорема (площадь треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

На клетчатом листе мы резали параллелограмм. В доказательстве сделаем наоборот: к треугольнику пристроим его копию и получим параллелограмм.

Треугольник ABC и его копия DCB образуют параллелограмм ABDC — Треугольник ABC и равный ему DCB составляют параллелограмм ABDC: его площадь a · h, треугольника — половина

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$, $AC = a$, $BH \perp AC$, $BH = h$. Доказать: $S_{ABC} = \frac12 a h$.

Шаг 1. Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную $AC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Они пересекутся в точке $D$. У четырехугольника $ABDC$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Шаг 2. Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по трем сторонам: $BC$ — общая, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противоположные стороны параллелограмма. Равные фигуры имеют равные площади, а площадь параллелограмма равна сумме площадей его частей: $S_{ABDC} = 2 S_{ABC}$.

Шаг 3. Точка $B$ лежит на стороне $BD$, противоположной $AC$, поэтому $BH$ — высота параллелограмма к основанию $AC$. По теореме о площади параллелограмма $S_{ABDC} = a \cdot h$. Значит, $S_{ABC} = \frac12 a h$. Что и требовалось доказать.

Пример 1

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 13$ см, высота $BH = 6$ см. Найдите площадь треугольника.

Решение. Высота $BH$ проведена к $AC$, значит, основание — $AC$. $S = \frac12 \cdot 13 \cdot 6 = 39\ \text{см}^2$. Проверка смысла: параллелограмм на тех же $AC$ и $BH$ имел бы площадь $13 \cdot 6 = 78\ \text{см}^2$, треугольник — вдвое меньше.

Ответ: $39\ \text{см}^2$.

Ошибка

Чаще всего теряют половину. Основание треугольника $18$ см, высота $5$ см; Решавр пишет: «$S = 18 \cdot 5 = 90\ \text{см}^2$».

Проверка: на рисунке выше $a \cdot h$ — площадь всего параллелограмма, а в нем два таких треугольника. Каждому достается $90 : 2 = 45\ \text{см}^2$. Где сломалось рассуждение: $a \cdot h$ — формула параллелограмма, треугольник — его половина.

Ошибка

Вместо высоты берут боковую сторону. В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 16$ см, $AB = 10$ см, высота $BH = 8$ см. Решавр: «$S = \frac12 \cdot 16 \cdot 10 = 80\ \text{см}^2$».

Проверка: верно $S = \frac12 \cdot 16 \cdot 8 = 64\ \text{см}^2$. Сторона $AB$ наклонная и длиннее перпендикуляра $BH$, поэтому произведение получилось больше площади. Где сломалось рассуждение: второй множитель — расстояние от вершины до прямой основания, то есть перпендикуляр; сторона $AB$ равна высоте, только если угол $A$ прямой.

Сторона AB равна 10, высота BH равна 8: площадь по высоте 64, по стороне 80 — неверно — Наклонная AB = 10 длиннее высоты BH = 8: ½ · 16 · 10 = 80 — лишнее, площадь ½ · 16 · 8 = 64

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Вершины треугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3c0c8symragh.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $6$ клеток. Высота — расстояние от верхней вершины до нее: $4$ клетки.","$S = \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 4 = 12$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ к стороне $AC$. Площадь треугольника равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac12 \\cdot AC \\cdot BH$","$\\frac12 \\cdot AB \\cdot BH$","$\\frac12 (AC + BH)$","$AC \\cdot BH$"],"answer":0}},"hints":["Площадь — половина произведения стороны и высоты, проведенной к ней.","Высота $BH$ проведена к $AC$, поэтому $S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH$. ($AC \\cdot BH$ — площадь параллелограмма; $AB$ — не та сторона; сумма не нужна.)"],"step":1},{"content":"Площадь треугольника равна $27\\ \\text{см}^2$, основание равно $9$ см. Решавр находит высоту к этому основанию: «$h = 27 : 9 = 3$ см». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо еще разделить на 2: $h = 27 : 9 : 2 = 1{,}5$ см","Надо умножить: $h = 27 \\cdot 9 = 243$ см","Ошибки нет: высота равна площади, деленной на основание","Забыто удвоить площадь: $h = 2 \\cdot 27 : 9 = 6$ см"],"explanations":["Половина стоит в формуле площади; при выражении высоты она превращается в удвоение","Из $a \\cdot h = 2S$ высоту находят делением, а не умножением","Так находят высоту параллелограмма; треугольник — его половина, поэтому делят $2S$",""],"answer":[3]}},"hints":["$S = \\frac12 a h$, значит, $a \\cdot h = 2S$: произведение основания и высоты вдвое больше площади треугольника.","$h = 2 \\cdot 27 : 9 = 54 : 9 = 6$ см."],"step":1}],"mix":1}

Три высоты — одна площадь

У треугольника три стороны, и к каждой из противоположной вершины можно провести высоту. Значит, достроить треугольник до параллелограмма можно тремя способами — пристраивая копию к любой из сторон. Параллелограммы получатся разные, но каждый ровно вдвое больше одного и того же треугольника. Поэтому все три способа дают одну площадь.

Следствие (три высоты)

Произведение стороны треугольника на высоту, проведенную к ней, одинаково для всех трех сторон и равно удвоенной площади.

У каждой стороны своя высота: 14·12 = 168 и 15·11,2 = 168, а 15·12 = 180 — неверно — Каждая сторона — со своей высотой: 14 · 12 = 15 · 11,2 = 168. Сторона 15 с чужой высотой 12 дает неверное 180

Пример 2

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 14$ см, $BC = 15$ см, высота $BH$ к стороне $AC$ равна $12$ см. Найдите высоту $AK$, проведенную к стороне $BC$.

Решение. Площадь по стороне $AC$ и ее высоте: $S = \frac12 \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$. Та же площадь по стороне $BC$: $\frac12 \cdot 15 \cdot AK = 84$, откуда $AK = 2 \cdot 84 : 15 = 11{,}2$ см.

Проверка смысла: к стороне $15$ см высота $11{,}2$ см короче, чем высота $12$ см к более короткой стороне $14$ см. Чем длиннее сторона, тем короче высота к ней.

Ответ: $11{,}2$ см.

Ошибка

Высоту умножают не на ту сторону. В примере 2 Решавр сразу взял сторону $BC$ и высоту $BH$: «$S = \frac12 \cdot 15 \cdot 12 = 90\ \text{см}^2$».

Проверка: по паре $AC$ и $BH$ площадь $84$, по паре $BC$ и $AK$ — тоже $\frac12 \cdot 15 \cdot 11{,}2 = 84$. Получить $90$ у того же треугольника нельзя. Где сломалось рассуждение: $BH$ перпендикулярна $AC$, а со стороной $BC$ не связана. Перед вычислением назовите пару: «высота проведена к стороне …».

{"questions":[{"content":"В треугольнике стороны $a$ и $b$, высоты к ним $h_a$ и $h_b$. Какое равенство верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a \\cdot h_a = b \\cdot h_b$","$a + h_a = b + h_b$","$a \\cdot b = h_a \\cdot h_b$","$a \\cdot h_b = b \\cdot h_a$"],"explanations":["","Площадь — произведение, а не сумма","Высоту умножают на сторону, к которой она проведена, а не на другую сторону","Высота $h_b$ проведена к стороне $b$, поэтому $h_b$ умножают на $b$"],"answer":[0]}},"hints":["Площадь треугольника можно найти по любой стороне: $S = \\frac12 a h_a$ и $S = \\frac12 b h_b$.","Площадь одна, поэтому $\\frac12 a h_a = \\frac12 b h_b$ и $a \\cdot h_a = b \\cdot h_b$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике стороны равны $12$ см и $10$ см. Высота, проведенная к стороне $12$ см, равна $5$ см. Найдите высоту, проведенную к стороне $10$ см, в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Площадь по стороне $12$ и высоте $5$: $S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 5 = 30\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по стороне $10$: $\\frac12 \\cdot 10 \\cdot h = 30$, значит, $h = 2 \\cdot 30 : 10 = 6$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 14$ см и $BC = 10$ см, высота $AK$, проведенная к стороне $BC$, равна $7$ см. Решавр считает: «$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 7 = 49\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: высоту можно умножать на любую сторону","Высота $AK$ проведена к $BC$: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 7 = 35\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = 14 \\cdot 7 = 98\\ \\text{см}^2$","Нужны две стороны: $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 10 = 70\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["$AK$ перпендикулярна $BC$, а со стороной $AC$ не связана; у $AC$ своя высота","","Половина у Решавра есть; ошибка в выборе стороны, а $14 \\cdot 7$ — даже не площадь","Стороны $AC$ и $BC$ не перпендикулярны, их произведение площадь не дает"],"answer":[1]}},"hints":["Высоту умножают на ту сторону, к которой она проведена. $AK \\perp BC$, значит, пара — $BC$ и $AK$.","$S = \\frac12 \\cdot BC \\cdot AK = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 7 = 35\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Высота может выйти за пределы треугольника

Высоту проводят к прямой, содержащей сторону, поэтому ее основание не обязано лежать на самой стороне. Пусть угол $A$ треугольника $ABC$ тупой. Высота из вершины $B$ упадет на продолжение стороны $CA$ за точку $A$: если бы точка $H$ лежала на стороне $AC$, в треугольнике $ABH$ были бы тупой угол $A$ и прямой угол $H$, а сумма углов треугольника равна $180^\circ$. И не за точкой $C$: тогда угол $BAH$ совпал бы с тупым углом $BAC$, и снова в треугольнике $ABH$ были бы тупой и прямой углы. Так же высота из вершины $C$ ляжет вне треугольника. Внутри останется только высота из вершины тупого угла.

У прямоугольного треугольника две высоты совпадают с катетами, а третья — внутри.

Формула площади от этого не меняется. В доказательстве мы ни разу не пользовались тем, где лежит точка $H$: параллелограмм $ABDC$ строится так же, а формула $S = a \cdot h$ для параллелограмма доказана при любом положении высоты.

Тупой угол A: высота BH снаружи, основание — сторона AC, а не HC — Высота BH вне треугольника, основание — сторона AC = 9. Треугольник HBC больше ABC на красный ABH: 28 − 10 = 18

Ошибка

Когда высота лежит снаружи, основанием считают весь отрезок $HC$. Пусть угол $A$ тупой, $AC = 9$, $AH = 5$, $BH = 4$. Решавр пишет: «$HC = 5 + 9 = 14$, $S = \frac12 \cdot 14 \cdot 4 = 28$».

Проверка: $28$ — площадь треугольника $HBC$. Он состоит из треугольника $ABC$ и лишнего прямоугольного треугольника $ABH$ с площадью $\frac12 \cdot 5 \cdot 4 = 10$. Треугольнику $ABC$ остается $28-10 = 18 = \frac12 \cdot 9 \cdot 4$. Где сломалось рассуждение: основание — сторона $AC$ при любом положении точки $H$; высота может выйти из треугольника, основание — нет.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой. Из вершины $B$ проведена высота $BH$ к прямой $AC$. Где лежит точка $H$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1cewfyzxbmlv.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["На продолжении стороны $AC$ за точку $C$","В вершине $A$ треугольника","На стороне $AC$ между точками $A$ и $C$","На продолжении стороны $CA$ за точку $A$"],"explanations":["Тогда угол $BAH$ совпадает с тупым углом $BAC$, а угол $H$ прямой — так не бывает","Тогда угол $BAC$ прямой, а он тупой","Тогда в треугольнике $ABH$ угол $A$ тупой и угол $H$ прямой — сумма углов больше $180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["В треугольнике $ABH$ угол $H$ прямой, значит, угол $BAH$ острый. Это угол, смежный с тупым углом $BAC$.","Смежный угол лежит при продолжении стороны $CA$ за точку $A$. Значит, $H$ — на продолжении стороны $CA$ за точку $A$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой, высота $BH$ падает на продолжение стороны $CA$. Известно: $AC = 10$ см, $AH = 4$ см, $BH = 6$ см. Решавр считает: «$HC = 14$ см, $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Высота вне треугольника, формула здесь не работает","Ошибки нет: основание — весь отрезок $HC$","Основание — сторона $AC$: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 6 = 30\\ \\text{см}^2$","Основание — отрезок $AH$: $S = \\frac12 \\cdot 4 \\cdot 6 = 12\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Формула верна для любого треугольника: доказательство через параллелограмм не зависит от того, где лежит точка $H$","$HC$ — сторона треугольника $HBC$, а не $ABC$; в $42$ входит лишний треугольник $ABH$ площадью $12$","","Это площадь лишнего треугольника $ABH$, а не треугольника $ABC$"],"answer":[2]}},"hints":["Решавр нашел площадь треугольника $HBC$. Он состоит из треугольника $ABC$ и лишнего треугольника $ABH$.","Основание — сторона $AC$: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 6 = 30\\ \\text{см}^2$. Проверка: $42-\\frac12 \\cdot 4 \\cdot 6 = 42-12 = 30$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

В прямоугольном треугольнике высота уже нарисована

Пусть угол $C$ треугольника $ABC$ прямой. Катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, значит, $BC$ — высота к стороне $AC$. Тогда $S = \frac12 \cdot AC \cdot BC$. Это видно и без теоремы: два таких треугольника складываются в прямоугольник со сторонами $AC$ и $BC$ — диагональ режет его пополам, как параллелограмм в первом разделе.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Прямоугольный треугольник с катетами 20 и 15 — половина прямоугольника; высота к гипотенузе равна 12 — Половина прямоугольника 15 × 20: площадь 150. Та же площадь по гипотенузе 25 дает высоту 12

Пример 3

Катеты прямоугольного треугольника равны $15$ см и $20$ см, гипотенуза — $25$ см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение. По катетам: $S = \frac12 \cdot 15 \cdot 20 = 150\ \text{см}^2$. Гипотенуза — тоже сторона треугольника, и для нее $S = \frac12 \cdot 25 \cdot h$. Отсюда $h = 2 \cdot 150 : 25 = 12$ см.

Проверка смысла: высота $12$ см короче обоих катетов. Так и должно быть: высота — перпендикуляр из вершины $C$ к гипотенузе, а катеты — наклонные из той же точки.

Ответ: $150\ \text{см}^2$; $12$ см.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте прямоугольный треугольник с катетами и его площадь.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Катеты $6$ см и $8$ см","Катеты $5$ см и $4$ см","Катеты $9$ см и $2$ см"],"items":["$24\\ \\text{см}^2$","$10\\ \\text{см}^2$","$9\\ \\text{см}^2$","$48\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте катеты и площадь","hints":["Катеты перпендикулярны: один из них — высота к другому. Поэтому $S = \\frac12 ab$.","$\\frac12 \\cdot 6 \\cdot 8 = 24$; $\\frac12 \\cdot 5 \\cdot 4 = 10$; $\\frac12 \\cdot 9 \\cdot 2 = 9$. Число $48$ — произведение $6 \\cdot 8$ без $\\frac12$, лишнее."],"step":1},{"content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $7$ см и $24$ см, гипотенуза равна $25$ см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["6,72","6.72"]}},"hints":["Площадь по катетам: $S = \\frac12 \\cdot 7 \\cdot 24 = 84\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по гипотенузе: $\\frac12 \\cdot 25 \\cdot h = 84$, значит, $h = 2 \\cdot 84 : 25 = 168 : 25 = 6{,}72$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вершину двигаем — площадь стоит на месте

Из формулы $S = \frac12 a h$ следует неожиданное. Закрепим основание $AC$ и проведем через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$. Будем двигать вершину $B$ по этой прямой. Треугольник меняет форму: в зависимости от положения вершины он может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным (например, при $AC = 8$ и $h = 4$: над серединой $AC$ угол $B$ прямой, левее точки $A$ угол $A$ тупой, а над точкой между $A$ и серединой все углы острые), а боковые стороны меняются. Но расстояние между параллельными прямыми одинаково, поэтому высота не меняется, и площадь тоже.

Попробуйте сами: в интерактиве основание $AC = 8$. Добейтесь, чтобы треугольник был тупоугольным и имел площадь $24$.

treugolnik-vershina

Определение

Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими. Равные фигуры всегда равновелики, а равновеликие не обязательно равны.

Свойство

Треугольники с равными основаниями и равными высотами, проведенными к этим основаниям, равновелики. В частности, если вершина треугольника движется по прямой, параллельной основанию, площадь не меняется. Причина — в прошлом уроке: параллелограммы с равными основаниями и высотами равновелики, а треугольник — их половина.

Отсюда свойство медианы. Пусть $BM$ — медиана треугольника $ABC$, то есть $AM = MC$. У треугольников $ABM$ и $CBM$ равные основания $AM$ и $MC$ и общая высота — перпендикуляр из вершины $B$ к прямой $AC$. Значит, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, хотя сами они, как правило, не равны.

Так же работает любая доля основания. Если основание $AK$ составляет треть стороны $AC$, а высота общая, то $S_{ABK} = \frac12 \cdot \frac13 AC \cdot h = \frac13 S_{ABC}$: при общей высоте площади относятся как основания.

Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади — Основания AM и MC равны, высота из B общая: медиана делит треугольник на две части равной площади

Теперь вернемся к клумбе. Основание клумбы — длинная сторона двора, $30$ м. Третья вершина лежит на противоположной стороне, а она параллельна основанию и отстоит от него на $20$ м. Это и есть высота при любом выборе вершины — даже если вершина попадет в угол двора и клумба станет прямоугольным треугольником. Площадь клумбы всегда $\frac12 \cdot 30 \cdot 20 = 300\ \text{м}^2$, ровно половина двора площадью $600\ \text{м}^2$.

Двор 30 на 20 метров и три клумбы-треугольника с общим основанием 30 м: у каждой площадь 300 квадратных метров — Где бы ни стояла третья вершина на верхней стороне двора, высота 20 м и площадь клумбы 300 м² — половина двора

{"questions":[{"content":"Какие треугольники имеют площадь $20\\ \\text{см}^2$?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Площадь $20\\ \\text{см}^2$","Площадь не $20\\ \\text{см}^2$"],"items":[["Основание $8$ см, высота $5$ см","Основание $10$ см, высота $4$ см","Основание $5$ см, высота $8$ см"],["Основание $8$ см, высота $4$ см","Основание $10$ см, высота $5$ см","Основание $5$ см, высота $5$ см"]]}},"instruction":"Распределите треугольники по группам","hints":["Площадь — половина произведения основания и высоты: $S = \\frac12 a h$. Считаем каждый.","$\\frac12 \\cdot 8 \\cdot 5 = 20$, $\\frac12 \\cdot 10 \\cdot 4 = 20$, $\\frac12 \\cdot 5 \\cdot 8 = 20$; $\\frac12 \\cdot 8 \\cdot 4 = 16$, $\\frac12 \\cdot 10 \\cdot 5 = 25$, $\\frac12 \\cdot 5 \\cdot 5 = 12{,}5$.","Ответ: площадь $20$ у первых трех; у остальных — нет."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABM$ равна $17\\ \\text{см}^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$ в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Треугольники $ABM$ и $CBM$ имеют равные основания $AM = MC$ и общую высоту из вершины $B$, значит, их площади равны.","$S_{ABC} = 17 + 17 = 34\\ \\text{см}^2$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Формула $S = \frac12 a h$ нужна почти в каждой задаче о площадях: в заданиях ОГЭ на клетчатой бумаге, в площади трапеции из следующего урока «Площадь трапеции и ромба» и в поиске высот. Чтобы вспомнить ее, представьте ножницы: диагональ режет параллелограмм на две равные половины, поэтому треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой.

Часто задаваемые вопросы

Откуда в формуле половина?

Треугольник — ровно половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой: копия треугольника достраивает его до параллелограмма, а площадь параллелограмма равна $a \cdot h$. Если забыть половину, получится площадь параллелограмма, вдвое больше ответа.

Какую сторону брать основанием?

Любую — важно лишь умножать ее на высоту, проведенную именно к ней. Если известна высота к одной стороне, а спрашивают о другой, сначала найдите площадь, а затем выразите нужную высоту: $h = 2S : a$.

Почему нельзя взять боковую сторону вместо высоты?

Боковая сторона идет к основанию наклонно, а высота — по перпендикуляру, и перпендикуляр короче наклонной. Поэтому произведение с боковой стороной больше площади. Совпадают они, только если угол при основании прямой.

Что делать, если высота лежит вне треугольника?

Считать так же: основание — сторона треугольника, высота — перпендикуляр из противоположной вершины к прямой этой стороны. Отрезок от основания высоты до дальней вершины в формулу не входит: он содержит лишний треугольник.

Как найти площадь треугольника на клетчатой бумаге?

Если одна сторона идет по линии сетки, посчитайте клетки вдоль нее — это основание, и клетки поперек от противоположной вершины до этой прямой — это высота. Затем возьмите половину произведения. Если ни одна сторона не идет по сетке, такие задания разберем позже, в уроке о составных фигурах.

Награды за урок