8 класс Геометрия Площадь Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь параллелограмма

Содержание

В уроке «Площадь прямоугольника и квадрата» площадь прямоугольника нашли как число плиток: $a$ рядов по $b$ плиток, $S = ab$. Сегодня ножницами превратим параллелограмм в прямоугольник, разберемся, что такое высота параллелограмма, и докажем формулу его площади для любого чертежа.

Вопрос для начала. Рамка собрана из четырех реек — двух по $8$ дм и двух по $4$ дм, в углах они скреплены шарнирами. Пока рамка прямоугольная, она охватывает $8 \cdot 4 = 32\ \text{дм}^2$. Надавим на угол — рамка перекосится и станет параллелограммом. Длины реек не изменились. Изменилась ли площадь? И какой она станет, когда угол рамки уменьшится до $30^\circ$? Ответим в последнем разделе.

Срезали клин — получили прямоугольник

Начнем с клетчатого листа. Нарисуем параллелограмм $ABCD$: нижняя сторона $AD$ — $7$ клеток, верхняя сторона $BC$ — тоже $7$ клеток, но сдвинута на $2$ клетки вправо; между ними $3$ ряда клеток. Целыми клетками его не выложить: у боковых сторон клетки разрезаны наискось.

Возьмем ножницы. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ к стороне $AD$ и отрежем по нему треугольник $ABH$ — «клин». Сдвинем клин на $7$ клеток вправо: точка $A$ попадет в $D$, точка $B$ — в $C$. Клин ляжет вплотную к стороне $CD$, и получится прямоугольник $HBCK$ — $3$ ряда по $7$ клеток.

Клин ABH срезали слева и приставили справа: параллелограмм стал прямоугольником HBCK, площадь та же — 21 клетка — Клин ABH переложили к стороне CD: получился прямоугольник 7 × 3. Части те же — площадь та же, 21 клетка

Площадь не изменилась: прямоугольник сложен из тех же частей, что и параллелограмм, а площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Значит, в параллелограмме $7 \cdot 3 = 21$ клетка. Проверим другим способом: параллелограмм лежит в прямоугольнике $9 \times 3$, то есть $27$ клеток, а лишние два уголка по краям — это два прямоугольника $2 \times 3$, разрезанные пополам, вместе $6$ клеток. $27-6 = 21$.

Заметим, что вошло в ответ. Нижняя сторона осталась длины $7$: сколько отрезали слева ($AH = 2$), столько приложили справа. Вторым множителем стало расстояние между нижней и верхней сторонами — $3$ клетки. А наклонная сторона $AB$ в ответ не вошла совсем. Чтобы наблюдение стало теоремой, нужно точно назвать «расстояние между сторонами» и проверить, всегда ли можно отрезать клин.

{"questions":[{"content":"От параллелограмма $ABCD$ отрезали треугольник $ABH$ и приложили его к стороне $CD$ — получился прямоугольник. Что при этом изменилось, а что нет?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Изменилось","Не изменилось"],"items":[["Форма фигуры","Длина боковой стороны","Периметр"],["Площадь","Длина нижней стороны","Расстояние между нижней и верхней сторонами"]]}},"instruction":"Распределите величины по группам","hints":["Ни одна плитка не потерялась и не добавилась: части те же, поэтому площадь та же. Нижняя сторона осталась длины $AD$, а расстояние между нижней и верхней сторонами не изменилось.","Наклонная сторона $AB$ заменилась вертикальной стороной, равной высоте, — она короче, поэтому периметр уменьшился, а фигура стала другой.","Ответ: изменились форма, длина боковой стороны и периметр; не изменились площадь, длина основания и расстояние между основаниями."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Вершины параллелограмма лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pzlltkvv9jqh.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $5$ клеток. Высота — расстояние между горизонтальными сторонами: $3$ клетки.","$S = 5 \\cdot 3 = 15$."],"step":1}],"mix":1}

Высота — линия разреза между противоположными сторонами

Определение

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны к прямой, содержащей противоположную сторону. Сторону, к которой проведена высота, называют основанием.

Линия, по которой мы резали, — высота $BH$ к основанию $AD$. Ее можно провести из любой точки стороны $BC$, например из вершины $C$: $CK \perp AD$. Все такие высоты равны. Действительно, $BH$ и $CK$ перпендикулярны одной прямой $AD$, значит, параллельны; $BC \parallel HK$ по свойству параллелограмма. Получился четырехугольник $HBCK$ с попарно параллельными сторонами — параллелограмм, а у него противоположные стороны равны: $BH = CK$ (подробнее — в уроке о параллелограмме).

Поэтому говорят о высоте к стороне, а не о высоте из точки: это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Высоту к стороне $a$ обозначают $h_a$. У параллелограмма две пары сторон — и две высоты, в общем случае разные: к стороне $AD$ и к стороне $CD$ (у ромба они равны). Высота к $CD$ — перпендикуляр к прямой $CD$ из точки противоположной стороны $AB$.

Параллелограмм ABCD: высоты BH и CK к стороне AD равны, высота BM к стороне CD другая — Высоты BH и CK к основанию AD равны. Высота BM к стороне CD — другая: у каждой стороны своя высота

Важно

Высоту проводят к прямой, содержащей сторону, поэтому точка $H$ не обязана лежать на самой стороне. Если угол $A$ тупой, перпендикуляр из вершины $B$ попадает на продолжение стороны $AD$ за точку $A$. Если угол $A$ острый, но параллелограмм сильно скошен ($AH$ больше $AD$), точка $H$ может оказаться на продолжении за точкой $D$. В обоих случаях высота лежит вне фигуры. Это та же высота той же длины — расстояние между теми же параллельными прямыми.

{"questions":[{"content":"В параллелограмме $ABCD$ из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BH$ к прямой $AD$ и $BK$ к прямой $CD$. Высота, проведенная к стороне $CD$, — это отрезок [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$BC$","$BH$","$BD$","$BK$"],"answer":3}},"hints":["Высота к стороне $CD$ — перпендикуляр к прямой $CD$ из точки противоположной стороны $AB$.","$BH$ перпендикулярен $AD$ — это высота к $AD$; $BD$ и $BC$ не перпендикулярны $CD$. Ответ: $BK$."],"step":1},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ тупой. Из вершины $B$ проведена высота $BH$ к прямой $AD$. Где лежит точка $H$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В вершине $D$ параллелограмма","На продолжении стороны $DA$ за точку $A$","На стороне $AD$ между точками $A$ и $D$","На продолжении стороны $AD$ за точку $D$"],"explanations":["Тогда в треугольнике $ABD$ угол $A$ тупой и угол $D$ прямой — так не бывает","","Тогда в треугольнике $ABH$ угол $A$ тупой и угол $H$ прямой — сумма углов больше $180^\\circ$","Тогда угол $BAH$ совпадает с тупым углом $BAD$, а угол $H$ прямой — так не бывает"],"answer":[1]}},"hints":["Посмотрите на треугольник $ABH$: угол $H$ в нем прямой. Каким может быть угол при вершине $A$?","Два угла треугольника не могут быть оба не меньше $90^\\circ$, поэтому угол $BAH$ острый — это угол, смежный с тупым углом $BAD$. Значит, $H$ лежит на продолжении стороны $DA$ за точку $A$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Площадь равна основанию, умноженному на высоту

Теорема (площадь параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Здесь $a$ — основание, $h$ — высота к нему. Доказательство повторяет опыт с ножницами. Но клин удается отрезать не всегда: все зависит от того, где лежит точка $H$. Случаев три.

Три положения основания высоты H: на стороне AD, в вершине D и вне стороны AD; во всех случаях S равно a на h — Точка H на стороне AD, в вершине D или вне стороны AD: доказательство разное, формула одна — S = a · h

Доказательство

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AD = a$, $BH \perp AD$, $BH = h$. Доказать: $S_{ABCD} = a \cdot h$.

Случай 1: точка $H$ лежит на стороне $AD$. Проведем высоту $CK$ к прямой $AD$; точка $K$ лежит на продолжении $AD$ за точку $D$. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и катету: $AB = DC$ как противоположные стороны, $BH = CK$ как высоты к одной стороне. Значит, $AH = DK$ и $HK = HD + DK = HD + AH = AD = a$. Параллелограмм составлен из треугольника $ABH$ и четырехугольника $HBCD$, прямоугольник $HBCK$ — из того же четырехугольника и равного треугольника $DCK$. Равные фигуры имеют равные площади, поэтому $S_{ABCD} = S_{HBCK} = a \cdot h$.

Случай 2: точка $H$ совпала с вершиной $D$. Тогда клин — весь треугольник $ABD$, а рассуждение то же: он равен треугольнику $DCK$, и параллелограмм перекладывается в прямоугольник $DBCK$ со сторонами $BC = a$ и $BD = h$.

Случай 3: точка $H$ лежит на продолжении стороны $AD$ (на рисунке — за точкой $A$, угол $A$ тупой). Перпендикуляр $BH$ проходит вне фигуры, клин не отрезать. Поступим наоборот — достроим. Проведем $DM \perp AD$ до прямой $BC$. Получился прямоугольник $HBMD$ со сторонами $HD = AH + a$ и $h$, его площадь $(AH + a) \cdot h$. Он состоит из параллелограмма и двух прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCM$. Они равны по гипотенузе и катету ($AB = DC$, $BH = DM$) и вместе складываются в прямоугольник $AH \times h$. Поэтому $S_{ABCD} = (AH + a) \cdot h-AH \cdot h = a \cdot h$. Если точка $H$ ушла за вершину $D$, рассуждение симметричное: проведем $AM \perp AD$ до прямой $BC$ и $CK \perp AD$; прямоугольник $AMCK$ минус два равных треугольника $ABM$ и $DCK$ дает $a \cdot h$.

Что и требовалось доказать.

Если угол $A$ прямой, точка $H$ совпадает с $A$, высота — это сама сторона $AB$, и формула превращается в знакомую $S = ab$: прямоугольник — частный случай параллелограмма.

Ошибка

Когда высота лежит вне фигуры, основанием иногда считают весь отрезок $HD$. Пусть угол $A$ тупой, $AD = 9$, $AH = 4$, $BH = 3$. Решавр пишет: «$HD = 4 + 9 = 13$, $S = 13 \cdot 3 = 39$».

Проверка: $13 \cdot 3 = 39$ — площадь всего прямоугольника $HBMD$. В нем, кроме параллелограмма, два равных треугольника, вместе это прямоугольник $4 \times 3$, то есть $12$. Параллелограмму остается $39-12 = 27 = 9 \cdot 3$. Где сломалось рассуждение: основание — сторона $AD$ при любом положении точки $H$; высота может выйти из фигуры, основание — нет.

Параллелограмм ABCD с тупым углом A: произведение HD на BH дает прямоугольник с двумя лишними треугольниками, площадь — AD на BH — HD · BH = 39 — это весь прямоугольник. Два красных треугольника лишние: параллелограмму остается 9 · 3 = 27

Пример 1

В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD = 16$ см, сторона $AB = 10$ см, высота $BH = 8$ см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Высота $BH$ проведена к стороне $AD$, значит, основание — $AD$. $S = AD \cdot BH = 16 \cdot 8 = 128\ \text{см}^2$. Сторона $AB$ в формулу не входит: после перекладывания клина она исчезает, как на клетчатом листе.

Ответ: $128\ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В параллелограмме $ABCD$ основание $AD = 9$ см, высота $BH = 4$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lprdci4cz1gg.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию.","$S = AD \\cdot BH = 9 \\cdot 4 = 36\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"content":"Площадь параллелограмма равна $45\\ \\text{см}^2$, высота равна $5$ см. Найдите основание, к которому она проведена, в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$S = a \\cdot h$, значит, $a = S : h$.","$a = 45 : 5 = 9$."],"step":1},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ тупой. Высота $BH$ проведена к прямой $AD$, точка $H$ лежит на продолжении стороны $DA$ за точку $A$. Известно: $AD = 7$ см, $AH = 3$ см, $BH = 4$ см. Решавр нашел $HD = 3 + 7 = 10$ см и $S = 10 \\cdot 4 = 40\\ \\text{см}^2$. Найдите верную площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$HD \\cdot BH$ — площадь прямоугольника, в который достроили параллелограмм; в нем лишние два равных треугольника, вместе они составляют $AH \\cdot BH = 3 \\cdot 4 = 12\\ \\text{см}^2$.","$S = 40-12 = 28$, или сразу $S = AD \\cdot BH = 7 \\cdot 4 = 28$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сдвигаем верхнюю сторону — площадь не меняется

Из теоремы следует неожиданное. Оставим основание $AD = 12$ на месте, а верхнюю сторону $BC$ будем сдвигать вдоль ее прямой. Расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ не меняется — пусть оно равно $4$. Значит, площадь все время $12 \cdot 4 = 48$, хотя параллелограммы разные: в одном положении $AB = 4$ и это прямоугольник, в другом $AB = 5$. Клин в каждом из них перекладывается в один и тот же прямоугольник $12 \times 4$.

parallelogramm-vysota

Ошибка

Самая частая ошибка — умножать соседние стороны, как у прямоугольника. Параллелограмм со сторонами $12$ и $5$ и высотой $4$ Решавр считает так: «$S = 12 \cdot 5 = 60$».

Проверка: переложим клин — получится прямоугольник $12 \times 4$, площадь $48$. Прямоугольник $12 \times 5$ выше на целую полосу $12 \times 1$, и ее в параллелограмме нет. Где сломалось рассуждение: $S = ab$ — формула прямоугольника, у которого боковая сторона и есть высота. У параллелограмма боковая сторона наклонная и длиннее высоты, поэтому произведение сторон больше площади.

Параллелограмм со сторонами 12 и 5 и высотой 4 становится прямоугольником 12 на 4: произведение сторон 12 на 5 дало бы лишнюю полосу — Клин дает прямоугольник 12 × 4 = 48. Произведение сторон 12 · 5 = 60 добавляет полосу, которой в параллелограмме нет

{"questions":[{"content":"Стороны параллелограмма равны $11$ см и $6$ см, высота, проведенная к стороне $11$ см, равна $5$ см. Решавр считает: «$S = 11 \\cdot 6 = 66\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Умножены смежные стороны, а нужна высота: $S = 11 \\cdot 5 = 55\\ \\text{см}^2$","Нужна сумма сторон на высоту: $S = 17 \\cdot 5 = 85\\ \\text{см}^2$","Нужна высота и меньшая сторона: $S = 5 \\cdot 6 = 30\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: стороны те же, что у прямоугольника $11 \\times 6$"],"explanations":["","Площадь — основание на высоту; сумма сторон — это половина периметра, а не основание","Высота $5$ см проведена к стороне $11$ см, ее и умножают: $11 \\cdot 5$","Перекошенная рамка вмещает меньше плиток: высота $5$ меньше стороны $6$, поэтому $S = 55 < 66$"],"answer":[0]}},"hints":["Разрежьте параллелограмм по высоте и переложите клин: получится прямоугольник $11 \\times 5$, а не $11 \\times 6$.","$S = 11 \\cdot 5 = 55\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Площадь параллелограмма равна $63\\ \\text{см}^2$, основание равно $9$ см. Найдите высоту, проведенную к этому основанию, в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$S = a \\cdot h$, значит, $h = S : a$.","$h = 63 : 9 = 7$."],"step":1}],"mix":1}

Одна площадь — две высоты

Резать клин можно по высоте к любой стороне. Разрез по высоте $h_a$ дает прямоугольник $a \times h_a$, разрез по высоте $h_b$ — прямоугольник $b \times h_b$. Это один и тот же параллелограмм, площадь у него одна.

Следствие (две высоты)

Произведение стороны параллелограмма на высоту к ней одинаково для обеих сторон.

Параллелограмм со сторонами 20 и 15 и высотами 12 и 16: каждая сторона умножается только на свою высоту, получается 240 — Каждая сторона умножается на свою высоту. Сторона из одной пары и высота из другой — ошибка

Пример 2

Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $70$ см, $AB = 15$ см, высота к стороне $AD$ равна $12$ см. Найдите площадь параллелограмма и высоту к стороне $AB$.

Решение. Противоположные стороны равны, поэтому $AB + AD = 70 : 2 = 35$ и $AD = 35-15 = 20$ см. Площадь: $S = AD \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240\ \text{см}^2$. Высота к $AB$: $15 \cdot h = 240$, $h = 240 : 15 = 16$ см.

Проверка смысла: к короткой стороне $15$ см высота $16$ см больше, чем высота $12$ см к длинной стороне $20$ см. Так и должно быть: чем короче сторона, тем длиннее высота к ней.

Ответ: $240\ \text{см}^2$; $16$ см.

Ошибка

Высоту умножают не на ту сторону. В примере 2 Решавр взял высоту $12$ и сторону $AB = 15$: «$S = 15 \cdot 12 = 180$».

Проверка: по стороне $AD$ и ее высоте получилось $240$, а площадь у фигуры одна. Где сломалось рассуждение: высота $12$ перпендикулярна $AD$, разрез по ней дает прямоугольник $20 \times 12$; со стороной $AB$ она не связана. Перед вычислением назовите пару: «высота проведена к стороне …».

{"questions":[{"content":"В параллелограмме стороны $a$ и $b$, высоты к ним $h_a$ и $h_b$. Какое равенство верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a \\cdot h_b = b \\cdot h_a$","$a \\cdot h_a = b \\cdot h_b$","$a \\cdot b = h_a \\cdot h_b$","$a + h_a = b + h_b$"],"explanations":["Высота умножается на сторону, к которой она проведена: $a$ с $h_a$, а не с $h_b$","","Произведение сторон не равно площади: высоту надо брать к своей стороне","Площадь — произведение, а не сумма"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь параллелограмма можно найти по любой стороне: $S = a \\cdot h_a$ и $S = b \\cdot h_b$.","Правые части равны одной и той же площади: $a \\cdot h_a = b \\cdot h_b$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны параллелограмма равны $15$ см и $10$ см. Высота, проведенная к стороне $15$ см, равна $8$ см. Найдите высоту, проведенную к стороне $10$ см, в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Сначала площадь по стороне $15$ см и высоте к ней: $S = 15 \\cdot 8 = 120\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по стороне $10$ см: $10 \\cdot h = 120$, значит, $h = 120 : 10 = 12$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны параллелограмма равны $13$ см и $8$ см, высота, проведенная к стороне $8$ см, равна $6$ см. Решавр считает: «$S = 13 \\cdot 6 = 78\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: высоту можно умножать на любую сторону","Ошибки нет: основание — всегда большая сторона, $13$ см","Нужно перемножить стороны: $S = 13 \\cdot 8 = 104\\ \\text{см}^2$","Высота проведена к стороне $8$ см, а умножена на $13$ см: $S = 8 \\cdot 6 = 48\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Высоту умножают только на ту сторону, к которой она проведена: $8 \\cdot 6 = 48$","Основание — сторона, к которой проведена высота, а не самая длинная","Так считают площадь прямоугольника; у параллелограмма нужна высота",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота $6$ см перпендикулярна стороне $8$ см: разрез по ней дает прямоугольник $8 \\times 6$.","$S = 8 \\cdot 6 = 48\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Рамка складывается — высота уменьшается

Вернемся к рамке из реек $8$ и $4$ дм. Стороны рамки не меняются, а площадь, как мы теперь знаем, зависит от основания и высоты. Перекосим рамку так, чтобы угол $A$ стал равен $30^\circ$, и проведем высоту $BH$ к нижней рейке $AD$.

Высоту найдем из прямоугольного треугольника $ABH$: угол $H$ прямой, угол $A$ равен $30^\circ$, гипотенуза — рейка $AB = 4$ дм. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы (урок «Свойства прямоугольных треугольников» за 7 класс).

Пример 3

Рамка — параллелограмм $ABCD$, $AD = 8$ дм, $AB = 4$ дм, $\angle A = 30^\circ$. Найдите площадь, которую охватывает рамка.

Решение. В треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит против угла $30^\circ$: $BH = 4 : 2 = 2$ дм. $S = AD \cdot BH = 8 \cdot 2 = 16\ \text{дм}^2$.

Ответ: $16\ \text{дм}^2$ — вдвое меньше, чем у прямоугольной рамки.

Рамка из реек 8 на 4: прямоугольная площадью 32, а после перекоса до 30 градусов высота 2 и площадь 16 — Рейки те же — 8 и 4 дм, а высота уменьшилась с 4 до 2 дм, и площадь — с 32 до 16 дм²

Это и есть ответ на вопрос из начала урока. Площадь рамки меняется, потому что меняется высота: чем сильнее рамка сложена, тем меньше расстояние между рейками $AD$ и $BC$ и тем меньше площадь. Стороны площадь параллелограмма не определяют.

Если угол $A$ равен $45^\circ$, треугольник $ABH$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $BH = AH$. А ромб — параллелограмм с равными сторонами, и его площадь — сторона, умноженная на высоту. Например, у ромба со стороной $10$ см и углом $30^\circ$ высота $10 : 2 = 5$ см, а площадь $10 \cdot 5 = 50\ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB = 12$ см, угол $A$ равен $30^\\circ$. Найдите высоту $BH$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hjsgapsu824w.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Высота $BH$ — катет прямоугольного треугольника $ABH$ с углом $30^\\circ$ при вершине $A$.","Катет против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы: $BH = 12 : 2 = 6$."],"step":1},{"content":"У всех трех параллелограммов $ABCD$ основание $AD = 10$ см, $BH$ — высота к $AD$. Сопоставьте параллелограмм и его площадь.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = 6$ см, $\\angle A = 30^\\circ$","$AB = 6$ см, $\\angle A = 90^\\circ$","$AH = 4$ см, $\\angle A = 45^\\circ$"],"items":["$30\\ \\text{см}^2$","$60\\ \\text{см}^2$","$40\\ \\text{см}^2$","$120\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте параллелограмм и площадь","hints":["Найдите высоту $BH$ из треугольника $ABH$. При $\\angle A = 90^\\circ$ высота совпадает со стороной $AB$. При $\\angle A = 30^\\circ$ катет $BH$ против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы $AB$.","При $\\angle A = 45^\\circ$ треугольник $ABH$ прямоугольный с острыми углами по $45^\\circ$, он равнобедренный: $BH = AH$.","Ответ: $30^\\circ$ — $10 \\cdot 3 = 30\\ \\text{см}^2$; $90^\\circ$ — $10 \\cdot 6 = 60\\ \\text{см}^2$; $45^\\circ$ — $10 \\cdot 4 = 40\\ \\text{см}^2$; $120\\ \\text{см}^2$ лишнее."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]Сторона ромба $ABCD$ равна $6$ см, высота $BH$ равна $5$ см. Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/h7jsbs3vdkro.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Ромб — параллелограмм, поэтому $S = AD \\cdot BH$, где $AD$ — основание.","$S = 6 \\cdot 5 = 30$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Формула $S = a \cdot h$ — одна из самых нужных в курсе: на ней держатся задания ОГЭ о площадях фигур, в том числе на клетчатой бумаге, а в следующем уроке «Площадь треугольника» треугольник окажется половиной параллелограмма. Чтобы вспомнить главное, достаточно представить ножницы: срезали клин по высоте и приложили с другой стороны — получился прямоугольник «основание на высоту».

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя умножить соседние стороны, как у прямоугольника?

Потому что боковая сторона параллелограмма наклонная. После перекладывания клина получается прямоугольник, у которого вторая сторона — высота, а не боковая сторона. Произведение сторон больше площади на полосу, которой в параллелограмме нет.

Какую сторону брать основанием?

Любую — важно лишь умножать ее на высоту, проведенную именно к ней. Если известна высота к одной стороне, а спрашивают о другой, сначала найдите площадь, а затем разделите ее на вторую сторону.

Может ли высота быть длиннее боковой стороны?

Нет. Боковая сторона соединяет две параллельные прямые наклонно, а высота — по перпендикуляру, а перпендикуляр короче наклонной. Высота равна боковой стороне только у прямоугольника. Если в задаче высота получилась больше стороны, в решении ошибка.

Как найти площадь параллелограмма на клетчатой бумаге?

Если одна сторона идет по линии сетки, посчитайте клетки вдоль нее — это основание, и клетки поперек до противоположной стороны — это высота. Затем перемножьте. Если ни одна сторона не идет по сетке, окружите фигуру прямоугольником и вычтите лишние части.

Зачем в доказательстве три случая, если формула одна?

Чертеж может быть любым, а доказательство должно подходить к каждому. Когда точка $H$ лежит вне стороны, клин не отрезать, и нужен другой ход — достроить фигуру до прямоугольника. Без третьего случая теорема была бы доказана не для всех параллелограммов.

Награды за урок