Площадь параллелограмма

Мы уже познакомились с понятием площади и научились находить площади простых фигур — квадрата и прямоугольника. Теперь сделаем следующий шаг: разберем, как вычислять площадь параллелограмма.

Эта фигура выглядит чуть сложнее, но на самом деле все сводится к знакомым нам формулам и понятиям.

Основание и высота

Вернемся немного назад и вспомним о треугольнике, вернее о названиях отрезков, которые можно провести внутри него — биссектрисе, медиане и высоте.

Сегодня нас интересует понятие высоты. Вот ее точное определение.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

А сторона, на которую опущена высота, называется основанием.

Строго говоря, чертеж не всегда может быть повернут основанием вниз. Расположение высоты и основания могут меняться. Главное — именно та сторона будет являться основанием, на которую «падает» высота.

Бывает так, что высота проводится к какой-то другой стороне, например, к боковой. Но это всегда оговаривается в условии задачи.

В параллелограмме понятие высоты немного шире. Здесь высоту можно провести не только из вершины, но и из любой точки противоположной стороны.

Из рисунков видно, что у параллелограмма из одной вершины можно провести различные высоты. Это происходит от того, что его соседние стороны имеют разную длину. Причем высоты, проведенные к одному из оснований равны.

Также обратим внимание на то, что высота проходит под прямым углом к каждой из противоположных сторон. Это связано с тем, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Следовательно, верно следующее утверждение.

Любая из сторон параллелограмма может быть основанием, а высоты, проведенные к одному из оснований, равны между собой.

На предыдущем уроке мы узнали, что площадь прямоугольника задается формулой $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Почему именно так? Потому что стороны прямоугольника расположены под прямым углом.

Опираясь на все вышесказанное, можно сделать вывод, что одна из сторон прямоугольника является основанием, а другая — высотой. Это важное замечание, которое напрямую связано с площадями абсолютно всех фигур.

{"questions":[{"content":"Что называется основанием у фигуры?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/08/stroitel.svg","width":"298"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Сторона, на которую опущена высота.","Любая сторона фигуры.","Вершина, из которой проведена высота.","Диагональ фигуры."],"answer":[0]}},"hints":["Основание всегда связано с определенным отрезком.","Та сторона, на которую опущена высота, и называется основанием."]}]}

Площадь параллелограмма

Стороны прямоугольника взаимно перпендикулярны, значит, к основанию уже опущена высота и можно вычислить его площадь, зная длины сторон.

А чтобы узнать, какова площадь параллелограмма, нужно провести высоту к одному из оснований.

Площадь параллелограмма — это произведение основания и высоты, проведенной к этому основанию.

Доказательство

Скрыть

Дано: параллелограмм $ABCD$, сторона $AD = a$, высота $BH = h$.

Доказать: $S_{ABCD} = a \cdot h$.

Опустим высоту $CK$ на продолжение стороны $AD$.

Так как высоты, проведенные к одному основанию, равны, то $BH = CK = h$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$. У них:

1. $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма,
2. $BH = CK$ как высоты параллелограмма, опущенные к одному основанию.

Следовательно, $ \triangle ABH = \triangle DCK$ по катету и гипотенузе $ \Rightarrow $ $AH = DK$ $ \Rightarrow $ $BCKH$ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника $S_{BCKH} = BH \cdot HK$, $HK = AD = a$ $ \Rightarrow $ $S_{ABCD} = AD \cdot BH = a \cdot h$.

Что и требовалось доказать.

Задача

В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD = 12$, сторона $CD = 8$. Высота, опущенная на большее основание, равна $6$.

Найдите высоту, опущенную на меньшее основание.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выберите верную формулу площади параллелограмма, если $a$ — основание, $h$ — высота, опущенная на это основание.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/obrazavr_shkaf-s-odezhdoj-01-1.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$S = a \\cdot h$","$S = a + h$","$S = 2a + 2h$","$S = \\dfrac{1}{2} a \\cdot h$"],"answer":[0]}},"hints":["Формула такая же, как у площади прямоугольника, только вместо второй стороны берется соответствующая высота.","Площадь параллелограмма:<br />$S = a \\cdot h$."]}]}

Равновеликие фигуры

Мы доказали формулу площади параллелограмма, используя прямоугольник. В доказательстве было видно, что основания прямоугольника и параллелограмма, как и их высоты, были равны, поэтому оказались равны и их площади.

Но бывает так, что у двух фигур разные составляющие по длине, а площади все равно оказываются равными.

Например, если взять квадрат со стороной $6 \ \text{см}$, то его площадь будет равна $S = 6^2 = 36 \ \text{см}^2$. А если взять параллелограмм, у которого основание $9 \ \text{см}$, а высота — $4 \ \text{см}$, то его площадь также будет равна $S = 9 \cdot 4 = 36 \ \text{см}^2$.

То есть, получается, что их площади равны. Такая ситуация иногда встречается в геометрии и имеет свое название.

Фигуры, которые имеют одинаковую по величине площадь, называются равновеликими.

Данное определение стоит запомнить, чтобы при решении задач понимать, о чем идет речь в условии.

Задача

Площадь квадрата равна $64 \ \text{см}^2$. Найдите высоту параллелограмма с основанием $16 \ \text{см}$, если он равновелик квадрату.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какие фигуры являются равновеликими?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/bank-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["У которых площади равны.","У которых стороны равны.","Которые одинаково выглядят.","Которые можно наложить друг на друга, и они совпадут."],"answer":[0]}},"hints":["Не все равновеликие фигуры похожи по форме.","Равновеликие фигуры могут быть разного вида, но занимать одинаковую площадь."]}]}

Это интересно

О том, как находить площадь параллелограмма, знали еще в Древней Греции.

Евклид в своих «Началах» доказывал, что параллелограмм можно перестроить в прямоугольник с таким же основанием и высотой — поэтому их площади равны.

Для древних это было важным открытием: разные фигуры могут иметь одинаковую площадь, если у них одинаковое основание и высота.

В Древнем Вавилоне площадь параллелограмма использовали для подсчетов налогов на землю. Поля редко были прямоугольными, поэтому переписчики и землемеры измеряли их как параллелограммы, чтобы проще считать урожай и налоги.

Формула площади параллелограмма встречается и в быту. Например, при расчетах строительных материалов.

Современная архитектура любит диагонали, наклонные фасады и стеклянные панели под углом — всё это геометрически параллелограммы или их производные.

Так простая школьная формула $S = a \cdot h$ напрямую помогает и строителям, и хозяевам домов.

Сегодня эта же формула применяется и в науке.

В физике ее используют в «правиле параллелограмма» при сложении сил, а в линейной алгебре она связана с определителем матрицы и помогает вычислять площади в разных координатных системах.

Так простая формула площади параллелограмма объединяет древние измерения земли, современные строительные задачи и даже серьезные научные расчеты.

Часто задаваемые вопросы