8 класс Геометрия Площадь Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь составных фигур

Содержание

Формулы площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции уже известны — последнюю мы вывели в уроке «Площадь трапеции и ромба». Но комнаты, участки и детали редко бывают одной из этих фигур. В этом практикуме разберем три способа найти площадь составной фигуры — разрез, достройку и вычитание — и научимся проверять ответ вторым способом.

Задача для начала. Пол дачного домика на плане — буква «Г»: прямоугольник $8 \times 6$ м, у которого нет угла $3 \times 2$ м. В комнате стоит печь, ее основание $1 \times 2$ м, под печью пол не красят. Одной банки краски хватает на $6\ \text{м}^2$. Сколько банок купить? Ответим в последнем разделе.

Режем фигуру на знакомые части

Начнем с клетчатого листа, сторона клетки — $1$ см. Нарисуем Г-образную фигуру: прямоугольник $7 \times 5$ клеток без правого верхнего угла $4 \times 2$. Готовой формулы для такой фигуры нет. Зато ее можно разрезать на прямоугольники.

Проведем горизонтальный разрез: внизу получится прямоугольник $7 \times 3$, вверху — $3 \times 2$. Площадь фигуры равна сумме площадей частей: $7 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 21 + 6 = 27\ \text{см}^2$. Разрежем ту же фигуру вертикально: слева прямоугольник $3 \times 5$, справа $4 \times 3$, и $15 + 12 = 27\ \text{см}^2$. Разрезы разные — площадь одна.

Г-образная фигура разрезана двумя способами: 21 + 6 = 27 и 15 + 12 = 27 квадратных сантиметров — Горизонтальный разрез: 21 + 6. Вертикальный: 15 + 12. Части разные, площадь одна — 27 см²

Способ разреза

Разрежьте фигуру на части без общих внутренних точек — прямоугольники, треугольники, трапеции. Найдите площадь каждой части и сложите.

Почему это верно: площадь многоугольника равна сумме площадей его частей — это свойство площади из урока «Площадь многоугольника». Но у свойства есть условие: части не налегают друг на друга. Каждая клетка фигуры должна попасть ровно в одну часть.

Ошибка

Решавр видит в той же фигуре две полосы: нижнюю $7 \times 3$ и левую $3 \times 5$. Он пишет: «$S = 7 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 21 + 15 = 36\ \text{см}^2$».

Проверка: прямоугольник $7 \times 5$ целиком — это $35$ клеток, а Г-образная фигура меньше его. Значит, $36$ быть не может. Где сломалось рассуждение: полосы перекрываются в левом нижнем углу, квадрат $3 \times 3$ попал в обе полосы и сосчитан дважды. Вычтем его один раз: $36-9 = 27\ \text{см}^2$. Правильный разрез не оставляет общих клеток.

Две перекрывающиеся полосы: квадрат 3 на 3 сосчитан дважды, площадь фигуры 27, а не 36 — Полосы 7 × 3 и 3 × 5 налегают: красный квадрат 3 × 3 сосчитан дважды. 21 + 15 − 9 = 27

Пример 1

Участок — прямоугольник $9 \times 4$ м, к его правой стороне длиной $4$ м примыкает прямоугольный треугольник: один катет — эта сторона, другой катет $5$ м лежит на продолжении нижней стороны участка. Найдите площадь всего участка.

Решение. Участок уже разрезан на две части. Прямоугольник: $9 \cdot 4 = 36\ \text{м}^2$. Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника $4 \times 5$: $\frac12 \cdot 4 \cdot 5 = 10\ \text{м}^2$ (урок «Площадь треугольника»). Части не налегают, поэтому $S = 36 + 10 = 46\ \text{м}^2$.

Ответ: $46\ \text{м}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Найдите площадь Г-образной фигуры (размеры в сантиметрах указаны на чертеже). Разрежьте фигуру на два прямоугольника. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zbc3qoylojte.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Проведите горизонтальный разрез: внизу прямоугольник $10 \\times 3$, вверху прямоугольник $4 \\times 5$.","$S = 10 \\cdot 3 + 4 \\cdot 5 = 30 + 20 = 50\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"content":"Фигура — Г из полосы $8 \\times 2$ снизу и полосы $3 \\times 6$ слева; полосы перекрываются в квадрате $3 \\times 2$ в левом нижнем углу. Решавр считает: «$S = 8 \\cdot 2 + 3 \\cdot 6 = 16 + 18 = 34\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо вычесть угол $3 \\times 3$: $S = 34-9 = 25\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площади частей просто складывают","Надо вычесть площадь меньшей полосы: $S = 34-16 = 18\\ \\text{см}^2$","Квадрат $3 \\times 2$ сосчитан дважды: $S = 34-6 = 28\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Общая часть — квадрат $3 \\times 2$, а не $3 \\times 3$","Когда части налегают друг на друга, общую часть считают один раз","Обе полосы входят в фигуру, вычитать целую полосу нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Посмотрите, какая часть попала и в первую полосу, и во вторую.","Общий квадрат $3 \\times 2$ сосчитан дважды: $34-6 = 28\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Достраиваем до прямоугольника и вычитаем лишнее

Иногда резать неудобно: частей получается много или среди них неудобные. Тогда ножницы работают наоборот — приклеим к фигуре недостающую часть, чтобы получился прямоугольник. Его площадь найти легко, а приклеенное потом вычтем.

Возьмем прямоугольник $8 \times 6$, у которого правый верхний угол срезан наискось: срез идет от точки верхней стороны на расстоянии $5$ от угла до точки правой стороны на расстоянии $2$ от угла. Получился пятиугольник. Приклеим срезанный угол обратно — это прямоугольный треугольник с катетами $5$ и $2$.

Пятиугольник площадью 43: достройка до прямоугольника 48 − 5 и разрез на прямоугольник 18 и трапецию 25 — Достроили до прямоугольника 8 × 6 и вычли угол: 48 − 5 = 43. Разрез на прямоугольник и трапецию дает те же 43

Способ достройки

Дополните фигуру до прямоугольника. Из площади прямоугольника вычтите площади добавленных частей.

Пример 2

Найдите площадь пятиугольника, описанного выше: прямоугольник $8 \times 6$ без угла — прямоугольного треугольника с катетами $5$ и $2$.

Решение. Прямоугольник: $8 \cdot 6 = 48$. Добавленный треугольник: $\frac12 \cdot 5 \cdot 2 = 5$. $S = 48-5 = 43$.

Проверка разрезом. Проведем вертикальный разрез через начало среза. Слева прямоугольник $3 \times 6$, его площадь $18$. Справа прямоугольная трапеция с основаниями $6$ и $4$ и высотой $5$: $\frac12 (6 + 4) \cdot 5 = 25$. $18 + 25 = 43$ — ответы совпали.

Ответ: $43$.

Важно

Ни разрез, ни достройка не гарантируют верного ответа: можно сосчитать часть дважды или забыть ее вычесть. Площадь фигуры одна, поэтому лучшая проверка — второй способ. Совпали ответы — ошибки, скорее всего, нет. Не совпали — ищите часть, которая попала в сумму дважды или не была вычтена.

sostavnaya-figura

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Г-образная фигура — это прямоугольник без прямоугольного угла (размеры в сантиметрах на чертеже). Найдите площадь фигуры, достроив ее до прямоугольника. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3lbfqljx74fh.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"51"}},"hints":["Весь прямоугольник: $9 \\cdot 7 = 63\\ \\text{см}^2$. Недостающий угол: $4 \\cdot 3 = 12\\ \\text{см}^2$.","$S = 63-12 = 51\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"content":"Г-образная фигура — прямоугольник $9 \\times 6$ см, из правого верхнего угла которого вырезан прямоугольник $5 \\times 4$ см. Сопоставьте способ и запись площади.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Горизонтальный разрез","Вертикальный разрез","Достройка до прямоугольника $9 \\times 6$"],"items":["$9 \\cdot 2 + 4 \\cdot 4$","$4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 2$","$9 \\cdot 6-5 \\cdot 4$","$9 \\cdot 6 + 5 \\cdot 4$"]}},"instruction":"Сопоставьте способ и запись","hints":["Горизонтальный разрез на высоте $2$: внизу $9 \\times 2$, вверху $4 \\times 4$. Вертикальный разрез: слева $4 \\times 6$, справа $5 \\times 2$.","Достройка: $9 \\cdot 6-5 \\cdot 4$. Все три записи дают $34$; запись со сложением угла лишняя."],"step":1}],"mix":1}

Вырезали часть — ее площадь вычитаем

Третий способ похож на достройку, но здесь прямоугольник дан сразу, а из него что-то вынуто: отверстие в листе, окно в стене, клумба на газоне. Площадь оставшейся части — площадь целого без площади выреза. Самый частый случай — рамка: внешний прямоугольник, из которого вынут внутренний.

Способ вычитания

Из площади целого вычтите площадь выреза.

Пример 3

Рамка для фотографии: внешний размер $30 \times 20$ см, ширина рамки $3$ см. Найдите площадь рамки.

Решение. Внутренний прямоугольник короче на ширину рамки с обеих сторон: $30-2 \cdot 3 = 24$ см и $20-2 \cdot 3 = 14$ см. Площадь рамки: $30 \cdot 20-24 \cdot 14 = 600-336 = 264\ \text{см}^2$.

Проверка разрезом. Рамка — две длинные полосы $30 \times 3$ и две короткие $14 \times 3$ между ними: $2 \cdot 90 + 2 \cdot 42 = 180 + 84 = 264\ \text{см}^2$.

Ответ: $264\ \text{см}^2$.

Рамка шириной 3: внешний прямоугольник 30 на 20, внутренний 24 на 14, площадь рамки 264 квадратных сантиметра — Стороны внутреннего прямоугольника короче на две ширины рамки: 24 × 14, а не 27 × 17. 600 − 336 = 264 см²

Частая ошибка в рамке — вычесть ширину только один раз и взять внутренний прямоугольник $27 \times 17$. Тогда получится $600-459 = 141\ \text{см}^2$ — почти вдвое меньше. Проверка разрезом сразу покажет расхождение.

Ошибка

Из листа фанеры $10 \times 7$ дм вырезали прямоугольное окошко $3 \times 2$ дм. Решавр находит площадь оставшейся фанеры: «Лист — прямоугольник, $S = 10 \cdot 7 = 70\ \text{дм}^2$».

Проверка: положим окошко обратно — получится целый лист, $70\ \text{дм}^2$. Значит, лист с отверстием меньше $70$ на площадь окошка: $70-3 \cdot 2 = 64\ \text{дм}^2$. Где сломалось рассуждение: внешний контур остался прямоугольным, и Решавр принял фигуру за целый прямоугольник. Вырез — пустое место, его площадь нужно вычесть.

Лист 10 на 7 дециметров с окошком 3 на 2: площадь 70 − 6 = 64 квадратных дециметра — Внешний контур тот же, но окошко 3 × 2 пустое: 70 − 6 = 64 дм², а не 70

{"questions":[{"content":"Чтобы найти площадь рамки, нужно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["сложить площади внешнего и внутреннего прямоугольников","сложить периметры внешнего и внутреннего прямоугольников","из площади внешнего прямоугольника вычесть площадь внутреннего","умножить ширину рамки на площадь внешнего прямоугольника"],"answer":2}},"hints":["Рамка — это внешний прямоугольник, из которого вынут внутренний.","Значит, из площади внешнего вычитают площадь внутреннего. Периметры в площади не участвуют, а сложение площадей дало бы лишнее."],"step":1},{"content":"Внешний прямоугольник рамки — $10$ см на $8$ см, ширина рамки $2$ см. Найдите площадь рамки в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Внутренний прямоугольник короче на ширину рамки с каждой стороны: $10-2 \\cdot 2 = 6$ и $8-2 \\cdot 2 = 4$.","$S = 10 \\cdot 8-6 \\cdot 4 = 80-24 = 56\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"content":"Стену $5 \\times 3$ м с окном $2 \\times 1{,}5$ м нужно покрасить. Решавр считает площадь покраски: «$S = 5 \\cdot 3 = 15\\ \\text{м}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо вычесть периметр окна: $S = 15-7 = 8\\ \\text{м}^2$","Надо прибавить окно: $S = 15 + 3 = 18\\ \\text{м}^2$","Ошибки нет: окно — часть стены","Окно не вычтено: $S = 15-2 \\cdot 1{,}5 = 12\\ \\text{м}^2$"],"explanations":["Периметр — длина в метрах; из площади вычитают площадь окна","Окно — пустое место в стене, его не добавляют, а вычитают","Окно не красят, его площадь из стены вычитают",""],"answer":[3]}},"hints":["Окно не красят: это вырез в стене.","$S = 5 \\cdot 3-2 \\cdot 1{,}5 = 15-3 = 12\\ \\text{м}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

На клетчатой бумаге способ подсказывает рисунок

В задании 18 ОГЭ фигура нарисована на клетчатой бумаге, вершины лежат в узлах сетки. Размеры считают по клеткам. Выбор способа зависит от сторон фигуры. Если все стороны идут по линиям сетки, фигуру режут на прямоугольники. Если стороны наклонные, удобнее достроить фигуру до прямоугольника по линиям сетки: лишние части по углам окажутся прямоугольными треугольниками, а их катеты считаются по клеткам.

Пример 4

Сторона клетки равна $1$ см. Треугольник $ABC$ вписан в прямоугольник $6 \times 5$ клеток: вершина $A$ — левый нижний угол, вершина $B$ — на правой стороне, на $2$ клетки выше нижнего угла, вершина $C$ — на верхней стороне, на $2$ клетки правее левого угла. Найдите площадь треугольника.

Решение. Все стороны треугольника наклонные, поэтому достроим его до прямоугольника $6 \times 5$, площадь $30$. Лишнее — три прямоугольных треугольника по углам. Нижний: катеты $6$ и $2$, площадь $6$. Правый верхний: катеты $3$ и $4$, площадь $6$. Левый: катеты $5$ и $2$, площадь $5$. $S = 30-(6 + 6 + 5) = 30-17 = 13\ \text{см}^2$.

Ответ: $13$.

Треугольник ABC на клетчатой бумаге 6 на 5: 30 − 17 = 13 клеток — Треугольник с наклонными сторонами: прямоугольник 6 × 5 минус три угловых треугольника, 30 − 17 = 13

Если у фигуры на сетке две стороны параллельны линиям сетки, проверьте, не трапеция ли это: тогда хватит одной формулы. Ответ в задании 18 записывают числом, без единиц.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Вершины пятиугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь пятиугольника в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7xpvtrftpsi8.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Разрежьте фигуру на прямоугольник и треугольник: внизу прямоугольник $6 \\times 3$, сверху треугольник с основанием $6$ и высотой $2$.","$S = 6 \\cdot 3 + \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 2 = 18 + 6 = 24$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Сторона клетки равна $1$ см. Треугольник вписан в прямоугольник $5 \\times 4$ клеток: одна вершина — левый нижний угол прямоугольника, вторая — на правой стороне, на $1$ клетку выше нижнего угла, третья — на верхней стороне, на $1$ клетку правее левого угла. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pqe2s5mddv3i.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":["9,5","9.5"]}},"hints":["Стороны наклонные: достройте до прямоугольника $5 \\times 4$, его площадь $20$. Лишнее — три прямоугольных треугольника с катетами $5$ и $1$, $3$ и $4$, $4$ и $1$.","Их площади: $2{,}5$, $6$ и $2$, вместе $10{,}5$.","$S = 20-10{,}5 = 9{,}5\\ \\text{см}^2$."],"step":1}],"mix":1}

Пол дачи двумя способами

Вернемся к полу дачного домика. Фигура составная, и в ней есть вырез — основание печи. Применим два способа и сравним ответы.

Пример 5

Пол — прямоугольник $8 \times 6$ м без угла $3 \times 2$ м; основание печи $1 \times 2$ м не красят. Одной банки краски хватает на $6\ \text{м}^2$. Сколько банок нужно купить?

Способ 1 — разрез. Горизонтальный разрез дает прямоугольники $8 \times 4$ и $5 \times 2$: $32 + 10 = 42\ \text{м}^2$. Без печи: $42-2 = 40\ \text{м}^2$.

Способ 2 — достройка. Прямоугольник $8 \times 6$: $48\ \text{м}^2$. Вычтем недостающий угол и печь: $48-6-2 = 40\ \text{м}^2$. Ответы совпали.

Банки. $40 : 6 = 6{,}66\ldots$ Шести банок хватит только на $36\ \text{м}^2$, поэтому покупать нужно целое число банок с округлением вверх.

Ответ: $7$ банок.

План пола дачи 8 на 6 метров без угла 3 на 2 и печью 1 на 2: два способа, площадь 40 квадратных метров — Разрез: 32 + 10 − 2. Достройка: 48 − 6 − 2. Два способа — один ответ, 40 м²

В таких задачах сначала решите, какие части входят в фигуру, а какие вынуты, и только потом считайте. Округление в ответе зависит от смысла: краски должно хватить, поэтому банок берут с запасом.

{"questions":[{"content":"Стена $7$ м на $3$ м, в ней окно $2$ м на $1$ м и дверь $1$ м на $2$ м. Одной банки краски хватает на $5\\ \\text{м}^2$. Сколько банок нужно купить? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Красят стену без окна и двери: $7 \\cdot 3-2 \\cdot 1-1 \\cdot 2 = 21-4 = 17\\ \\text{м}^2$.","$17 : 5 = 3{,}4$ — три банки не хватит, значит, нужно $4$ банки."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Участок $16$ м на $9$ м. На нем клумба $4$ м на $3$ м и дорожка шириной $1$ м вдоль всей длинной стороны (клумбы и дорожка не пересекаются). Найдите площадь газона (без клумбы и дорожки) в квадратных метрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"116"}},"hints":["Газон — участок без клумбы и без дорожки: из площади участка вычитают обе части.","$S = 16 \\cdot 9-4 \\cdot 3-16 \\cdot 1 = 144-12-16 = 116\\ \\text{м}^2$. Проверка разрезом: газон без дорожки — $16 \\cdot 8 = 128$, минус клумба $12$: $116$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Ученик нашел площадь Г-образной фигуры разрезом и получил $50\\ \\text{см}^2$, а достройкой — $56\\ \\text{см}^2$. Какой вывод верный?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Верен больший ответ: при достройке ничего не теряется","Оба ответа верны: способы дают разную площадь","Надо взять среднее: $(50 + 56) : 2 = 53\\ \\text{см}^2$","В одном из способов ошибка: площадь у фигуры одна"],"explanations":["При достройке тоже ошибаются: например, забывают вычесть угол","Площадь фигуры не зависит от способа; разрез и достройка обязаны совпасть","Среднее двух ответов не исправляет ошибку; нужно найти, где она",""],"answer":[3]}},"hints":["У фигуры одна площадь, поэтому разные способы обязаны дать одно число.","Раз ответы разные, в одном из способов ошибка: часть сосчитана дважды или не вычтена."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Составные фигуры встречаются везде, где нужно посчитать материал: краску, плитку, газон, ткань. В ОГЭ это задание 18 о клетчатой бумаге и задачи о площадях четырехугольников. Чтобы вспомнить главное, представьте ножницы: фигуру режут на знакомые части или приклеивают к ней недостающую часть, а второй способ проверяет первый.

Часто задаваемые вопросы

Какой способ выбрать, если подходят все?

Тот, где меньше частей и проще числа. Для Г-образной фигуры разрез и достройка одинаково короткие, для фигуры с наклонными сторонами на клетках почти всегда удобнее достройка. Второй способ все равно пригодится — для проверки.

Можно ли сложить периметры частей, чтобы получить периметр фигуры?

Нет. Линия разреза входит в периметр каждой из двух частей, но границей фигуры не является. Периметр составной фигуры считают обходом ее границы, а складывать можно только площади частей без общих внутренних точек.

Почему при вычитании нельзя уменьшить стороны листа на стороны выреза?

Так получается прямоугольник, у которого убрана целая полоса вдоль каждой стороны, а не маленький вырез. Например, лист $10 \times 7$ с вырезом $3 \times 2$: $(10-3) \cdot (7-2) = 35$, а верная площадь $64$. Вычитать нужно площадь выреза.

Что делать, если два способа дали разные ответы?

Ошибка точно есть хотя бы в одном из них: площадь фигуры одна. Проверьте, не попала ли какая-то часть в сумму дважды, не забыт ли вырез и у треугольников ли взята половина произведения катетов.

Награды за урок