Площадь треугольника

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 14$ см, высота $BH = 5$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH$.","$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 5 = 35\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 9$ см, высота $BH = 8$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH$.","$S = \\frac12 \\cdot 9 \\cdot 8 = 36\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь треугольника равна $45\\ \\text{см}^2$, основание равно $15$ см. Найдите высоту, проведенную к этому основанию, в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$S = \\frac12 a h$, значит, $h = 2S : a$.","$h = 2 \\cdot 45 : 15 = 90 : 15 = 6$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь треугольника равна $56\\ \\text{см}^2$, основание равно $14$ см. Найдите высоту, проведенную к этому основанию, в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$S = \\frac12 a h$, значит, $h = 2S : a$.","$h = 2 \\cdot 56 : 14 = 112 : 14 = 8$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике стороны равны $16$ см и $12$ см. Высота, проведенная к стороне $16$ см, равна $6$ см. Решавр ответил, что высота к стороне $12$ см тоже равна $6$ см, потому что «высота у треугольника одна». Найдите верную высоту к стороне $12$ см в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Высот три, и у каждой своя сторона; общее у них одно — площадь. Сначала найдем ее. Площадь по стороне $16$ и ее высоте: $S = \\frac12 \\cdot 16 \\cdot 6 = 48\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по стороне $12$: $\\frac12 \\cdot 12 \\cdot h = 48$, значит, $h = 2 \\cdot 48 : 12 = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике стороны равны $15$ см и $9$ см. Высота, проведенная к стороне $15$ см, равна $6$ см. Решавр ответил, что высота к стороне $9$ см тоже равна $6$ см, потому что «высота у треугольника одна». Найдите верную высоту к стороне $9$ см в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Высот три, и у каждой своя сторона; общее у них одно — площадь. Сначала найдем ее. Площадь по стороне $15$ и ее высоте: $S = \\frac12 \\cdot 15 \\cdot 6 = 45\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по стороне $9$: $\\frac12 \\cdot 9 \\cdot h = 45$, значит, $h = 2 \\cdot 45 : 9 = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ см и $8$ см, гипотенуза равна $10$ см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["4,8","4.8"]}},"hints":["Площадь по катетам: $S = \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 8 = 24\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по гипотенузе: $\\frac12 \\cdot 10 \\cdot h = 24$, значит, $h = 2 \\cdot 24 : 10 = 4{,}8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $12$ см и $16$ см, гипотенуза равна $20$ см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["9,6","9.6"]}},"hints":["Площадь по катетам: $S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 16 = 96\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь по гипотенузе: $\\frac12 \\cdot 20 \\cdot h = 96$, значит, $h = 2 \\cdot 96 : 20 = 9{,}6$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 8$ см, высота $BH = 5$ см. Решавр считает: «$S = 8 \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: площадь треугольника — основание на высоту","Надо разделить: $S = 8 : 5 = 1{,}6\\ \\text{см}^2$","Надо сложить: $S = 8 + 5 = 13\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = \\frac12 \\cdot 8 \\cdot 5 = 20\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["$8 \\cdot 5$ — площадь параллелограмма с тем же основанием и высотой, а треугольник вдвое меньше","Частное длин — не площадь; нужна половина произведения","Площадь — произведение, а не сумма; к тому же складывать длины и получать площадь нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Это формула площади параллелограмма. Треугольник — половина параллелограмма.","$S = \\frac12 \\cdot 8 \\cdot 5 = 20\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 12$ см, высота $BH = 7$ см. Решавр считает: «$S = 12 \\cdot 7 = 84\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо сложить: $S = 12 + 7 = 19\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь треугольника — основание на высоту","Надо разделить: $S = 12 : 7 = 1{,}7\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 7 = 42\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Площадь — произведение, а не сумма; к тому же складывать длины и получать площадь нельзя","$12 \\cdot 7$ — площадь параллелограмма с тем же основанием и высотой, а треугольник вдвое меньше","Частное длин — не площадь; нужна половина произведения",""],"answer":[3]}},"hints":["Это формула площади параллелограмма. Треугольник — половина параллелограмма.","$S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 7 = 42\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой, $AC = 10$ см, $AB = 5$ см. Высота $BH$ к прямой $AC$ лежит вне треугольника: $BH = 3$ см, $AH = 4$ см (чертеж). Решавр считает: «$S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 5 = 25\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8rqhcogsjygd.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: в формуле можно брать любую сторону","Основание надо брать $HC$: $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 3 = 21\\ \\text{см}^2$","Вместо высоты взята сторона $AB$: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 3 = 15\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = 10 \\cdot 3 = 30\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Сторона $AB$ не перпендикулярна $AC$, это не высота; произведение двух сторон площадь не дает","$HC$ — не сторона треугольника: к ней добавлен лишний отрезок $AH$. Основание — $AC$","","Половина нужна: $10 \\cdot 3$ — площадь параллелограмма, а треугольник вдвое меньше"],"answer":[2]}},"hints":["Формула требует высоту — перпендикуляр к прямой основания; $AB$ — наклонная сторона, а высота $BH$.","Основание — сторона $AC$, а не отрезок $HC$: точка $H$ лежит вне треугольника.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 3 = 15\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой, $AC = 14$ см, $AB = 10$ см. Высота $BH$ к прямой $AC$ лежит вне треугольника: $BH = 6$ см, $AH = 8$ см (чертеж). Решавр считает: «$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 10 = 70\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xdbs38hvh5gy.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Вместо высоты взята сторона $AB$: $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = 14 \\cdot 6 = 84\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: в формуле можно брать любую сторону","Основание надо брать $HC$: $S = \\frac12 \\cdot 22 \\cdot 6 = 66\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","Половина нужна: $14 \\cdot 6$ — площадь параллелограмма, а треугольник вдвое меньше","Сторона $AB$ не перпендикулярна $AC$, это не высота; произведение двух сторон площадь не дает","$HC$ — не сторона треугольника: к ней добавлен лишний отрезок $AH$. Основание — $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["Формула требует высоту — перпендикуляр к прямой основания; $AB$ — наклонная сторона, а высота $BH$.","Основание — сторона $AC$, а не отрезок $HC$: точка $H$ лежит вне треугольника.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой, высота $BH$ лежит вне треугольника, на продолжении стороны $CA$. Известно: $AC = 8$ см, $AH = 3$ см, $BH = 5$ см. Решавр нашел $HC = 3 + 8 = 11$ см и $S = \\frac12 \\cdot 11 \\cdot 5$. Найдите верную площадь в квадратных сантиметрах. [[input-9]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/k08iqbnnmmua.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Основание треугольника — его сторона $AC$, а высота к ней — $BH$. Отрезок $HC$ — не сторона треугольника.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 8 \\cdot 5 = 20\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой, высота $BH$ лежит вне треугольника, на продолжении стороны $CA$. Известно: $AC = 6$ см, $AH = 2$ см, $BH = 7$ см. Решавр нашел $HC = 2 + 6 = 8$ см и $S = \\frac12 \\cdot 8 \\cdot 7$. Найдите верную площадь в квадратных сантиметрах. [[input-10]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ute4qkjipqmf.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Основание треугольника — его сторона $AC$, а высота к ней — $BH$. Отрезок $HC$ — не сторона треугольника.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 7 = 21\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вершина $B$ треугольника $ABC$ перемещается по прямой, параллельной стороне $AC$. Площадь треугольника при этом [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["не меняется","уменьшается, если стороны становятся длиннее","растет при удалении от середины основания","растет, потому что боковые стороны растут"],"answer":0}},"hints":["Основание $AC$ не меняется. Расстояние от вершины $B$ до прямой $AC$ равно расстоянию между параллельными прямыми — оно тоже не меняется.","Значит, высота и основание те же, и $S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot h$ не меняется."],"step":1},{"id":"8","content":"Вершина $C$ треугольника $ABC$ перемещается по прямой, параллельной стороне $AB$. Площадь треугольника при этом [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["уменьшается, если стороны становятся длиннее","растет, потому что боковые стороны растут","растет при удалении от середины основания","не меняется"],"answer":3}},"hints":["Основание $AB$ не меняется. Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ равно расстоянию между параллельными прямыми — оно тоже не меняется.","Значит, высота и основание те же, и $S = \\frac12 \\cdot AB \\cdot h$ не меняется."],"step":1},{"id":"9","content":"Площадь треугольника $ABC$ равна $48\\ \\text{см}^2$. Сопоставьте треугольник и его площадь.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Треугольник $ABM$, $M$ — середина $BC$","Треугольник $ABN$, $N$ — середина $AM$","Треугольник $ABK$, $K$ на $BC$, $BK = \\frac13 BC$"],"items":["$24\\ \\text{см}^2$","$12\\ \\text{см}^2$","$16\\ \\text{см}^2$","$48\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте треугольник и площадь","hints":["У треугольников $ABC$, $ABM$ и $ABK$ общая высота из $A$ к прямой $BC$, поэтому их площади относятся как основания $BC$, $BM$, $BK$. Треугольник $ABN$ найдем через $ABM$: $N$ — середина $AM$, значит, отрезок $BN$ — медиана треугольника $ABM$ и делит его на две равновеликие части.","$ABM$: основание вдвое меньше, $48:2 = 24$. $ABN$: $N$ — середина $AM$, значит, вдвое меньше $ABM$: $24:2 = 12$. $ABK$: основание втрое меньше, $48:3 = 16$.","Ответ: $24$, $12$, $16$; число $48$ лишнее."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Площадь треугольника $ABC$ равна $72\\ \\text{см}^2$. Сопоставьте треугольник и его площадь.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Треугольник $ABM$, $M$ — середина $BC$","Треугольник $ABN$, $N$ — середина $AM$","Треугольник $ABK$, $K$ на $BC$, $BK = \\frac13 BC$"],"items":["$36\\ \\text{см}^2$","$18\\ \\text{см}^2$","$24\\ \\text{см}^2$","$72\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте треугольник и площадь","hints":["У треугольников $ABC$, $ABM$ и $ABK$ общая высота из $A$ к прямой $BC$, поэтому их площади относятся как основания $BC$, $BM$, $BK$. Треугольник $ABN$ найдем через $ABM$: $N$ — середина $AM$, значит, отрезок $BN$ — медиана треугольника $ABM$ и делит его на две равновеликие части.","$ABM$: основание вдвое меньше, $72:2 = 36$. $ABN$: $N$ — середина $AM$, значит, вдвое меньше $ABM$: $36:2 = 18$. $ABK$: основание втрое меньше, $72:3 = 24$.","Ответ: $36$, $18$, $24$; число $72$ лишнее."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]Вершины треугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-11]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tvk8x4tnarqt.svg"},"input-11":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $7$ клеток. Высота — расстояние от верхней вершины до нее: $4$ клеток.","$S = \\frac12 \\cdot 7 \\cdot 4 = 14$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]Вершины треугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-12]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xga9lfrlin6d.svg"},"input-12":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $6$ клеток. Высота — расстояние от верхней вершины до нее: $5$ клеток.","$S = \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 5 = 15$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>