Площадь трапеции и ромба

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 12$ см и $BC = 8$ см, высота $BH = 7$ см. Найдите площадь трапеции в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qufm1y6b6nic.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot BH$.","$S = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 7 = 70\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 11$ см и $BC = 9$ см, высота $BH = 8$ см. Найдите площадь трапеции в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c9dgmenhgm7v.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot BH$.","$S = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 8 = 80\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь трапеции равна $66\\ \\text{см}^2$, основания равны $13$ см и $9$ см. Найдите высоту в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$S = \\frac12 (a + b) h$, значит, $h = 2S : (a + b)$.","$h = 2 \\cdot 66 : 22 = 132 : 22 = 6$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь трапеции равна $75\\ \\text{см}^2$, основания равны $17$ см и $13$ см. Найдите высоту в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$S = \\frac12 (a + b) h$, значит, $h = 2S : (a + b)$.","$h = 2 \\cdot 75 : 30 = 150 : 30 = 5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Средняя линия трапеции равна $11$ см, высота равна $6$ см. Площадь трапеции равна [[fill_choice-1]] квадратных сантиметров.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["17","66","132","33"],"answer":1}},"hints":["Средняя линия $m = \\frac{a + b}{2}$, поэтому $S = \\frac12 (a + b) h = m \\cdot h$.","$S = 11 \\cdot 6 = 66$. ($33$ — лишняя половина, $17$ — сумма вместо произведения, $132$ — удвоено.)"],"step":1},{"id":"3","content":"Средняя линия трапеции равна $8$ см, высота равна $9$ см. Площадь трапеции равна [[fill_choice-2]] квадратных сантиметров.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["72","144","36","17"],"answer":0}},"hints":["Средняя линия $m = \\frac{a + b}{2}$, поэтому $S = \\frac12 (a + b) h = m \\cdot h$.","$S = 8 \\cdot 9 = 72$. ($36$ — лишняя половина, $17$ — сумма вместо произведения, $144$ — удвоено.)"],"step":1},{"id":"4","content":"Площадь трапеции равна $60\\ \\text{см}^2$, высота равна $5$ см, одно основание на $6$ см больше другого. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Сумма оснований: $a + b = 2S : h = 120 : 5 = 24$ см.","Основания отличаются на $6$ см: меньшее $(24-6) : 2 = 9$ см, большее $9 + 6 = 15$ см.","Проверка: $\\frac12 (15 + 9) \\cdot 5 = 60$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Площадь трапеции равна $56\\ \\text{см}^2$, высота равна $4$ см, одно основание на $8$ см больше другого. Найдите большее основание в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Сумма оснований: $a + b = 2S : h = 112 : 4 = 28$ см.","Основания отличаются на $8$ см: меньшее $(28-8) : 2 = 10$ см, большее $10 + 8 = 18$ см.","Проверка: $\\frac12 (18 + 10) \\cdot 4 = 56$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Диагонали ромба равны $14$ см и $6$ см. Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["$S = \\frac12 d_1 d_2$.","$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Диагонали ромба равны $12$ см и $9$ см. Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["$S = \\frac12 d_1 d_2$.","$S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 9 = 54\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"6","content":"По каким данным можно найти площадь ромба?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Хватит данных","Не хватит данных"],"items":[["Диагонали $8$ см и $5$ см","Сторона $6$ см и высота $4$ см","Диагональ $9$ см и $d_2 = 4$ см"],["Только сторона $7$ см","Только диагональ $10$ см","Только периметр $20$ см"]]}},"instruction":"Распределите данные по группам","hints":["Площадь ромба находят по двум диагоналям: $S = \\frac12 d_1 d_2$, или по стороне и высоте к ней: $S = a h$.","Одной стороны, одной диагонали или периметра мало: ромб можно сделать более «плоским» или «вытянутым» при тех же данных.","Ответ: хватит — две диагонали и сторона с высотой; не хватит — по одной величине."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"По каким данным можно найти площадь ромба?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Хватит данных","Не хватит данных"],"items":[["Диагонали $12$ см и $7$ см","Сторона $5$ см и высота $3$ см","Диагональ $6$ см и $d_2 = 10$ см"],["Только сторона $9$ см","Только диагональ $14$ см","Только периметр $32$ см"]]}},"instruction":"Распределите данные по группам","hints":["Площадь ромба находят по двум диагоналям: $S = \\frac12 d_1 d_2$, или по стороне и высоте к ней: $S = a h$.","Одной стороны, одной диагонали или периметра мало: ромб можно сделать более «плоским» или «вытянутым» при тех же данных.","Ответ: хватит — две диагонали и сторона с высотой; не хватит — по одной величине."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Диагонали ромба равны $10$ см и $8$ см. Решавр считает: «$S = 10 \\cdot 8 = 80\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо сложить диагонали: $S = 10 + 8 = 18\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь ромба — произведение диагоналей","Надо взять полусумму: $S = \\frac12 (10 + 8) = 9\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 8 = 40\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Площадь — произведение, а не сумма длин","$80\\ \\text{см}^2$ — площадь прямоугольника, в который ромб вписан; ромб занимает половину","Полусумма диагоналей — не площадь; нужна половина произведения",""],"answer":[3]}},"hints":["Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников с катетами $\\frac{d_1}{2}$ и $\\frac{d_2}{2}$; вместе они дают половину произведения диагоналей.","$S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 8 = 40\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Диагонали ромба равны $12$ см и $6$ см. Решавр считает: «$S = 12 \\cdot 6 = 72\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо сложить диагонали: $S = 12 + 6 = 18\\ \\text{см}^2$","Надо взять полусумму: $S = \\frac12 (12 + 6) = 9\\ \\text{см}^2$","Забыта половина: $S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 6 = 36\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь ромба — произведение диагоналей"],"explanations":["Площадь — произведение, а не сумма длин","Полусумма диагоналей — не площадь; нужна половина произведения","","$72\\ \\text{см}^2$ — площадь прямоугольника, в который ромб вписан; ромб занимает половину"],"answer":[2]}},"hints":["Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников с катетами $\\frac{d_1}{2}$ и $\\frac{d_2}{2}$; вместе они дают половину произведения диагоналей.","$S = \\frac12 \\cdot 12 \\cdot 6 = 36\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-3]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 9$ см и $BC = 5$ см, боковая сторона $AB = 5$ см, высота $BH = 4$ см. Решавр считает: «$S = \\frac12 (9 + 5) \\cdot 5 = 35\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0077qshv1z9x.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: боковая сторона — тоже сторона трапеции","Нет $\\frac12$: $S = (9 + 5) \\cdot 4 = 56\\ \\text{см}^2$","Надо еще прибавить высоту: $S = 35 + 4 = 39\\ \\text{см}^2$","Вместо высоты взята боковая сторона: $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 4 = 28\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Боковая сторона не перпендикулярна основаниям, это не высота: площадь она не определяет","Половина нужна: это площадь параллелограмма из двух трапеций, а трапеция вдвое меньше","Высота заменяет боковую сторону в произведении, а не добавляется к нему",""],"answer":[3]}},"hints":["В формулу входит высота — перпендикуляр между основаниями. Боковая сторона $AB$ наклонная и длиннее высоты.","$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 4 = 28\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-4]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 12$ см и $BC = 6$ см, боковая сторона $AB = 10$ см, высота $BH = 8$ см. Решавр считает: «$S = \\frac12 (12 + 6) \\cdot 10 = 90\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1nnrjppy6nmc.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Нет $\\frac12$: $S = (12 + 6) \\cdot 8 = 144\\ \\text{см}^2$","Надо еще прибавить высоту: $S = 90 + 8 = 98\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: боковая сторона — тоже сторона трапеции","Вместо высоты взята боковая сторона: $S = \\frac12 \\cdot 18 \\cdot 8 = 72\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Половина нужна: это площадь параллелограмма из двух трапеций, а трапеция вдвое меньше","Высота заменяет боковую сторону в произведении, а не добавляется к нему","Боковая сторона не перпендикулярна основаниям, это не высота: площадь она не определяет",""],"answer":[3]}},"hints":["В формулу входит высота — перпендикуляр между основаниями. Боковая сторона $AB$ наклонная и длиннее высоты.","$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 18 \\cdot 8 = 72\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"9","content":"В трапеции основания равны $10$ см и $4$ см, высота равна $6$ см. Решавр считает: «$S = (10 + 4) \\cdot 6 = 84\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо взять разность оснований: $S = \\frac12 \\cdot (10-4) \\cdot 6 = 18\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: основания складывают и умножают на высоту","Основания сложили, но не разделили пополам: $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$","Надо перемножить основания: $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 4 \\cdot 6 = 120\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Основания складывают: средняя линия — полусумма оснований","$84\\ \\text{см}^2$ — площадь параллелограмма из двух трапеций, а не одной","","Основания входят суммой, а не произведением"],"answer":[2]}},"hints":["Две равные трапеции вместе дают параллелограмм с основанием $a + b$; площадь одной трапеции — половина.","$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 6 = 42\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"9","content":"В трапеции основания равны $13$ см и $7$ см, высота равна $4$ см. Решавр считает: «$S = (13 + 7) \\cdot 4 = 80\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: основания складывают и умножают на высоту","Надо взять разность оснований: $S = \\frac12 \\cdot (13-7) \\cdot 4 = 12\\ \\text{см}^2$","Основания сложили, но не разделили пополам: $S = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 4 = 40\\ \\text{см}^2$","Надо перемножить основания: $S = \\frac12 \\cdot 13 \\cdot 7 \\cdot 4 = 182\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["$80\\ \\text{см}^2$ — площадь параллелограмма из двух трапеций, а не одной","Основания складывают: средняя линия — полусумма оснований","","Основания входят суммой, а не произведением"],"answer":[2]}},"hints":["Две равные трапеции вместе дают параллелограмм с основанием $a + b$; площадь одной трапеции — половина.","$S = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 4 = 40\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ основания $AD = 10$ см и $BC = 6$ см, угол $A$ прямой, боковые стороны $AB = 3$ см и $CD = 5$ см (чертеж). Решавр считает: «$S = \\frac12 (10 + 6) \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tnp0ljpoifuv.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Взята наклонная сторона $CD$; высота — $AB$: $S = \\frac12 \\cdot 16 \\cdot 3 = 24\\ \\text{см}^2$","Надо взять обе боковые стороны: $S = \\frac12 (10 + 6) \\cdot 8 = 64\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: $CD$ тоже соединяет основания","Нет $\\frac12$: $S = (10 + 6) \\cdot 3 = 48\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","Боковые стороны не складывают: высота — одна сторона $AB$","Соединяет, но наклонно; высота — перпендикуляр, здесь это сторона $AB$ при прямом угле $A$","Половина нужна: это площадь параллелограмма из двух копий трапеции"],"answer":[0]}},"hints":["Высота трапеции — перпендикуляр между основаниями. Угол $A$ прямой, значит, сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и сама является высотой; $CD$ наклонная.","$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot AB = \\frac12 \\cdot 16 \\cdot 3 = 24\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ основания $AD = 13$ см и $BC = 7$ см, угол $A$ прямой, боковые стороны $AB = 8$ см и $CD = 10$ см (чертеж). Решавр считает: «$S = \\frac12 (13 + 7) \\cdot 10 = 100\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vq5ommvpf5h0.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Надо взять обе боковые стороны: $S = \\frac12 (13 + 7) \\cdot 18 = 180\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: $CD$ тоже соединяет основания","Нет $\\frac12$: $S = (13 + 7) \\cdot 8 = 160\\ \\text{см}^2$","Взята наклонная сторона $CD$; высота — $AB$: $S = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 8 = 80\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Боковые стороны не складывают: высота — одна сторона $AB$","Соединяет, но наклонно; высота — перпендикуляр, здесь это сторона $AB$ при прямом угле $A$","Половина нужна: это площадь параллелограмма из двух копий трапеции",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота трапеции — перпендикуляр между основаниями. Угол $A$ прямой, значит, сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и сама является высотой; $CD$ наклонная.","$S = \\frac12 (AD + BC) \\cdot AB = \\frac12 \\cdot 20 \\cdot 8 = 80\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>