Площадь

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Прямоугольник $ABCD$ имеет стороны $1$ см и $15$ см, прямоугольник $MNKL$ — стороны $5$ см и $5$ см. Решавр рассуждает: «У первого периметр больше ($32$ см и $20$ см), значит, и площадь больше». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо сравнить длинные стороны: $15 > 5$, значит, площадь первого больше","Ошибки нет: чем больше периметр, тем больше площадь","Площадь не определяется периметром: $S_1 = 15\\ \\text{см}^2$, $S_2 = 25\\ \\text{см}^2$","Периметры сосчитаны неверно: у второго прямоугольника он больше"],"explanations":["Площадь зависит от обеих сторон, а не от самой длинной","Это контрпример: периметр больше у первого, а площадь — у второго","","Периметры верны: $32$ см и $20$ см"],"answer":[2]}},"hints":["Периметры: $32$ и $20$ — Решавр сосчитал верно. Но площадь — другая величина: $S = ab$.","$S_1 = 1 \\cdot 15 = 15\\ \\text{см}^2$, $S_2 = 5 \\cdot 5 = 25\\ \\text{см}^2$ — у второго площадь больше."],"step":1},{"id":"1","content":"Прямоугольник $ABCD$ имеет стороны $2$ см и $14$ см, прямоугольник $MNKL$ — стороны $6$ см и $6$ см. Решавр рассуждает: «У первого периметр больше ($32$ см и $24$ см), значит, и площадь больше». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Периметры сосчитаны неверно: у второго прямоугольника он больше","Надо сравнить длинные стороны: $14 > 6$, значит, площадь первого больше","Ошибки нет: чем больше периметр, тем больше площадь","Площадь не определяется периметром: $S_1 = 28\\ \\text{см}^2$, $S_2 = 36\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Периметры верны: $32$ см и $24$ см","Площадь зависит от обеих сторон, а не от самой длинной","Это контрпример: периметр больше у первого, а площадь — у второго",""],"answer":[3]}},"hints":["Периметры: $32$ и $24$ — Решавр сосчитал верно. Но площадь — другая величина: $S = ab$.","$S_1 = 2 \\cdot 14 = 28\\ \\text{см}^2$, $S_2 = 6 \\cdot 6 = 36\\ \\text{см}^2$ — у второго площадь больше."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь прямоугольника равна $96\\ \\text{см}^2$, одна сторона равна $12$ см. Найдите периметр прямоугольника в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Вторая сторона: $b = S : a = 96 : 12 = 8$ см.","$P = 2 \\cdot (12 + 8) = 40$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь прямоугольника равна $84\\ \\text{см}^2$, одна сторона равна $7$ см. Найдите периметр прямоугольника в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"38"}},"hints":["Вторая сторона: $b = S : a = 84 : 7 = 12$ см.","$P = 2 \\cdot (7 + 12) = 38$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Площадь квадрата равна $49\\ \\text{см}^2$. Периметр квадрата равен [[fill_choice-1]] сантиметрам.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["49","98","14","28"],"answer":3}},"hints":["Сторона квадрата $a$ такова, что $a \\cdot a = 49$, значит, $a = 7$ см.","$P = 4 \\cdot 7 = 28$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Площадь квадрата равна $81\\ \\text{см}^2$. Периметр квадрата равен [[fill_choice-2]] сантиметрам.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["162","36","18","81"],"answer":1}},"hints":["Сторона квадрата $a$ такова, что $a \\cdot a = 81$, значит, $a = 9$ см.","$P = 4 \\cdot 9 = 36$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны параллелограмма равны $12$ см и $8$ см, высота к стороне $12$ см равна $6$ см. Найдите высоту, проведенную к стороне $8$ см, в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Площадь параллелограмма не зависит от того, какую сторону взять основанием: $S = 12 \\cdot 6 = 72\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь равна $8 \\cdot h$, значит, $h = 72 : 8 = 9$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Стороны параллелограмма равны $15$ см и $10$ см, высота к стороне $15$ см равна $4$ см. Найдите высоту, проведенную к стороне $10$ см, в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Площадь параллелограмма не зависит от того, какую сторону взять основанием: $S = 15 \\cdot 4 = 60\\ \\text{см}^2$.","Та же площадь равна $10 \\cdot h$, значит, $h = 60 : 10 = 6$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 14$ см, высота $BH = 9$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["Площадь равна половине произведения основания на высоту.","$S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 9 = 63\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ основание $AC = 16$ см, высота $BH = 7$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Площадь равна половине произведения основания на высоту.","$S = \\frac12 \\cdot 16 \\cdot 7 = 56\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой, $AC = 7$ см. Высота $BH$ к прямой $AC$ равна $6$ см, $CH = 3$ см (чертеж). Решавр: «Точка $H$ лежит вне стороны $AC$, поэтому основание — $AH = 10$ см, $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 6 = 30\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jlbgw9org9mp.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Высота вне треугольника не годится, площадь найти нельзя","Ошибки нет: высота опущена на $AH$, значит, основание $AH$","Основание — сторона $AC$: $S = \\frac12 \\cdot 7 \\cdot 6 = 21\\ \\text{см}^2$","Надо взять отрезок $CH$: $S = \\frac12 \\cdot 3 \\cdot 6 = 9\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Годится: высота — перпендикуляр к прямой, содержащей сторону, он может лежать вне треугольника","$30\\ \\text{см}^2$ — площадь треугольника $ABH$; в нем лишний треугольник $CBH$","","$CH$ — не сторона треугольника $ABC$; это площадь лишнего треугольника $CBH$"],"answer":[2]}},"hints":["Высота может падать на продолжение стороны, но основанием треугольника остается его сторона $AC$; $AH$ — не сторона.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 7 \\cdot 6 = 21\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой, $AC = 9$ см. Высота $BH$ к прямой $AC$ равна $4$ см, $CH = 5$ см (чертеж). Решавр: «Точка $H$ лежит вне стороны $AC$, поэтому основание — $AH = 14$ см, $S = \\frac12 \\cdot 14 \\cdot 4 = 28\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0fuaahr6l00v.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Высота вне треугольника не годится, площадь найти нельзя","Ошибки нет: высота опущена на $AH$, значит, основание $AH$","Основание — сторона $AC$: $S = \\frac12 \\cdot 9 \\cdot 4 = 18\\ \\text{см}^2$","Надо взять отрезок $CH$: $S = \\frac12 \\cdot 5 \\cdot 4 = 10\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Годится: высота — перпендикуляр к прямой, содержащей сторону, он может лежать вне треугольника","$28\\ \\text{см}^2$ — площадь треугольника $ABH$; в нем лишний треугольник $CBH$","","$CH$ — не сторона треугольника $ABC$; это площадь лишнего треугольника $CBH$"],"answer":[2]}},"hints":["Высота может падать на продолжение стороны, но основанием треугольника остается его сторона $AC$; $AH$ — не сторона.","$S = \\frac12 \\cdot AC \\cdot BH = \\frac12 \\cdot 9 \\cdot 4 = 18\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Площадь трапеции равна $60\\ \\text{см}^2$, основания равны $13$ см и $7$ см. Найдите высоту трапеции в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$S = \\frac12 \\cdot (a + b) \\cdot h$, полусумма оснований: $\\frac12 \\cdot (13 + 7) = 10$ см.","$h = 60 : 10 = 6$ см."],"step":1},{"id":"7","content":"Площадь трапеции равна $84\\ \\text{см}^2$, основания равны $15$ см и $9$ см. Найдите высоту трапеции в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$S = \\frac12 \\cdot (a + b) \\cdot h$, полусумма оснований: $\\frac12 \\cdot (15 + 9) = 12$ см.","$h = 84 : 12 = 7$ см."],"step":1},{"id":"8","content":"Диагонали ромба равны $16$ см и $5$ см. Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Площадь ромба — половина произведения диагоналей.","$S = \\frac12 \\cdot 16 \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"8","content":"Диагонали ромба равны $9$ см и $14$ см. Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["Площадь ромба — половина произведения диагоналей.","$S = \\frac12 \\cdot 9 \\cdot 14 = 63\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"9","content":"Сопоставьте фигуру и ее площадь.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник $8$ на $5$ см без квадрата со стороной $2$ см","Рамка шириной $1$ см: внешний прямоугольник $9$ на $5$ см","Два прямоугольника рядом: $4 \\times 3$ и $2 \\times 5$ см"],"items":["$36\\ \\text{см}^2$","$24\\ \\text{см}^2$","$22\\ \\text{см}^2$","$40\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте фигуру и площадь","hints":["Если вырез или внутренняя часть убраны — площади вычитают, если фигура составлена из частей без общих точек — складывают.","$8 \\cdot 5-2 \\cdot 2 = 36$; $9 \\cdot 5-7 \\cdot 3 = 24$; $4 \\cdot 3 + 2 \\cdot 5 = 22$. Число $40$ — вырез не вычтен, лишнее."],"step":1},{"id":"9","content":"Сопоставьте фигуру и ее площадь.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник $9$ на $6$ см без квадрата со стороной $3$ см","Рамка шириной $1$ см: внешний прямоугольник $10$ на $6$ см","Два прямоугольника рядом: $5 \\times 3$ и $2 \\times 4$ см"],"items":["$45\\ \\text{см}^2$","$28\\ \\text{см}^2$","$23\\ \\text{см}^2$","$54\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте фигуру и площадь","hints":["Если вырез или внутренняя часть убраны — площади вычитают, если фигура составлена из частей без общих точек — складывают.","$9 \\cdot 6-3 \\cdot 3 = 45$; $10 \\cdot 6-8 \\cdot 4 = 28$; $5 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 = 23$. Число $54$ — вырез не вычтен, лишнее."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-3]]Г-образная фигура (чертеж): нижняя полоса $10 \\times 3$ см и левая полоса шириной $4$ см во всю высоту фигуры, $9$ см. Решавр считает: «$S = 10 \\cdot 3 + 4 \\cdot 9 = 66\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gwsvzlbqajwn.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо перемножить габариты: $S = 10 \\cdot 9 = 90\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь фигуры равна сумме площадей полос","Надо вычесть угол дважды: $S = 66-24 = 42\\ \\text{см}^2$","Угол $4 \\times 3$ сосчитан дважды: $S = 66-12 = 54\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Это описанный прямоугольник: в фигуре нет выреза $6 \\times 6$ см","Складывать площади можно только у частей без общих точек; у полос есть общий угол","Угол лишний в сумме только один раз: одна его копия должна остаться",""],"answer":[3]}},"hints":["Посмотрите на левый нижний угол: прямоугольник $4 \\times 3$ входит и в нижнюю, и в левую полосу.","Его площадь $12\\ \\text{см}^2$ попала в сумму дважды: $S = 66-12 = 54\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-4]]Г-образная фигура (чертеж): нижняя полоса $11 \\times 2$ см и левая полоса шириной $3$ см во всю высоту фигуры, $8$ см. Решавр считает: «$S = 11 \\cdot 2 + 3 \\cdot 8 = 46\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/v5jctbyryhiu.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Угол $3 \\times 2$ сосчитан дважды: $S = 46-6 = 40\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь фигуры равна сумме площадей полос","Надо перемножить габариты: $S = 11 \\cdot 8 = 88\\ \\text{см}^2$","Надо вычесть угол дважды: $S = 46-12 = 34\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","Складывать площади можно только у частей без общих точек; у полос есть общий угол","Это описанный прямоугольник: в фигуре нет выреза $8 \\times 6$ см","Угол лишний в сумме только один раз: одна его копия должна остаться"],"answer":[0]}},"hints":["Посмотрите на левый нижний угол: прямоугольник $3 \\times 2$ входит и в нижнюю, и в левую полосу.","Его площадь $6\\ \\text{см}^2$ попала в сумму дважды: $S = 46-6 = 40\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>