Площадь параллелограмма

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В параллелограмме $ABCD$ основание $AD = 12$ см, высота $BH = 5$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/loiopqn0mydo.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$S = AD \\cdot BH$.","$S = 12 \\cdot 5 = 60\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В параллелограмме $ABCD$ основание $AD = 7$ см, высота $BH = 9$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wr8h5hrpcxnz.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["$S = AD \\cdot BH$.","$S = 7 \\cdot 9 = 63\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь параллелограмма равна $72\\ \\text{см}^2$, основание равно $9$ см. Найдите высоту, проведенную к основанию, в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$h = S : a$.","$h = 72 : 9 = 8$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь параллелограмма равна $105\\ \\text{см}^2$, основание равно $15$ см. Найдите высоту, проведенную к основанию, в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$h = S : a$.","$h = 105 : 15 = 7$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]Вершины параллелограмма лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rhtjx1mwxnkp.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $6$ клеток. Высота — расстояние между горизонтальными сторонами: $4$ клетки.","$S = 6 \\cdot 4 = 24$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Вершины параллелограмма лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ciu6kxnowyfo.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Основание — нижняя сторона: $4$ клетки. Высота — расстояние между горизонтальными сторонами: $5$ клеток.","$S = 4 \\cdot 5 = 20$."],"step":1},{"id":"4","content":"В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $DK$ к прямой $AB$ и $DM$ к прямой $BC$. Площадь параллелограмма равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$AB \\cdot DK$","$AD \\cdot DK$","$AB \\cdot AD$","$AB \\cdot DM$"],"answer":0}},"hints":["Высоту умножают на ту сторону, к прямой которой она проведена.","$DK \\perp AB$, поэтому $S = AB \\cdot DK$. ($AD \\cdot DK$ и $AB \\cdot DM$ — высота не к своей стороне, $AB \\cdot AD$ — смежные стороны.)"],"step":1},{"id":"4","content":"В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $CE$ к прямой $AD$ и $CF$ к прямой $AB$. Площадь параллелограмма равна [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$AD \\cdot CF$","$AD \\cdot CD$","$AB \\cdot CE$","$AD \\cdot CE$"],"answer":3}},"hints":["Высоту умножают на ту сторону, к прямой которой она проведена.","$CE \\perp AD$, поэтому $S = AD \\cdot CE$. ($AB \\cdot CE$ и $AD \\cdot CF$ — высота не к своей стороне, $AD \\cdot CD$ — смежные стороны.)"],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-5]]В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB = 14$ см, $AD = 15$ см, угол $A$ равен $30^\\circ$. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wkreppzn8yvc.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"105"}},"hints":["Высота $BH$ — катет против угла $30^\\circ$ в треугольнике $ABH$: $BH = 14 : 2 = 7$.","$S = AD \\cdot BH = 15 \\cdot 7 = 105$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-6]]В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB = 18$ см, $AD = 20$ см, угол $A$ равен $30^\\circ$. Найдите площадь параллелограмма в квадратных сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yg0tcohxnpv5.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Высота $BH$ — катет против угла $30^\\circ$ в треугольнике $ABH$: $BH = 18 : 2 = 9$.","$S = AD \\cdot BH = 20 \\cdot 9 = 180$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Высоты параллелограмма равны $8$ см и $6$ см. Высота $8$ см проведена к стороне $12$ см. Найдите периметр параллелограмма в сантиметрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Площадь по стороне $12$ см и высоте к ней: $S = 12 \\cdot 8 = 96\\ \\text{см}^2$.","Высота $6$ см проведена к другой стороне $b$: $b \\cdot 6 = 96$, значит, $b = 16$ см.","$P = 2 \\cdot (12 + 16) = 56$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Высоты параллелограмма равны $6$ см и $4$ см. Высота $6$ см проведена к стороне $10$ см. Найдите периметр параллелограмма в сантиметрах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Площадь по стороне $10$ см и высоте к ней: $S = 10 \\cdot 6 = 60\\ \\text{см}^2$.","Высота $4$ см проведена к другой стороне $b$: $b \\cdot 4 = 60$, значит, $b = 15$ см.","$P = 2 \\cdot (10 + 15) = 50$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Стороны параллелограмма равны $8$ см и $5$ см. Сопоставьте условие и площадь параллелограмма.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Высота $4$ см к стороне $8$ см","Высота $4$ см к стороне $5$ см","Угол между сторонами $90^\\circ$"],"items":["$32\\ \\text{см}^2$","$20\\ \\text{см}^2$","$40\\ \\text{см}^2$","$26\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте условие и площадь","hints":["Высоту умножают на сторону, к которой она проведена: $8 \\cdot 4 = 32$ и $5 \\cdot 4 = 20$.","При угле $90^\\circ$ параллелограмм — прямоугольник, высота равна стороне: $8 \\cdot 5 = 40$.","Ответ: к стороне $8$ — $32\\ \\text{см}^2$, к стороне $5$ — $20\\ \\text{см}^2$, угол $90^\\circ$ — $40\\ \\text{см}^2$; $26$ — это периметр, лишнее."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Стороны параллелограмма равны $9$ см и $6$ см. Сопоставьте условие и площадь параллелограмма.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Высота $4$ см к стороне $9$ см","Высота $4$ см к стороне $6$ см","Угол между сторонами $90^\\circ$"],"items":["$36\\ \\text{см}^2$","$24\\ \\text{см}^2$","$54\\ \\text{см}^2$","$30\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте условие и площадь","hints":["Высоту умножают на сторону, к которой она проведена: $9 \\cdot 4 = 36$ и $6 \\cdot 4 = 24$.","При угле $90^\\circ$ параллелограмм — прямоугольник, высота равна стороне: $9 \\cdot 6 = 54$.","Ответ: к стороне $9$ — $36\\ \\text{см}^2$, к стороне $6$ — $24\\ \\text{см}^2$, угол $90^\\circ$ — $54\\ \\text{см}^2$; $30$ — это периметр, лишнее."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"$a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ — высоты к ним, $P$ — периметр. По каким данным можно найти площадь?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Хватит данных","Не хватит данных"],"items":[["$a = 8$ см и $h_a = 5$ см","$a = 6$, $b = 10$, угол $30^\\circ$","$a = 5$, $b = 7$, угол $90^\\circ$"],["Только $a = 6$ см и $b = 9$ см","$a = 8$ см и $h_b = 4$ см","$P = 30$ см и $h_a = 5$ см"]]}},"instruction":"Распределите данные по группам","hints":["Площадь — сторона на высоту к этой же стороне: $a$ и $h_a$ хватает. При угле $30^\\circ$ высота к $b$ равна $a : 2$, при угле $90^\\circ$ высота — сама сторона.","По одним сторонам площадь не найти: параллелограмм можно перекосить. $a$ с $h_b$ не хватает — неизвестна $b$; по $P$ и $h_a$ неизвестна сама $a$.","Ответ: хватит — $a$ и $h_a$; $a$, $b$ и угол $30^\\circ$; $a$, $b$ и угол $90^\\circ$. Не хватит — только $a$ и $b$; $a$ и $h_b$; $P$ и $h_a$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"$a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ — высоты к ним, $P$ — периметр. По каким данным можно найти площадь?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Хватит данных","Не хватит данных"],"items":[["$b = 12$ см и $h_b = 3$ см","$a = 8$, $b = 9$, угол $30^\\circ$","$a = 4$, $b = 6$, угол $90^\\circ$"],["Только $a = 7$ см и $b = 5$ см","$b = 10$ см и $h_a = 6$ см","$P = 24$ см и $h_b = 4$ см"]]}},"instruction":"Распределите данные по группам","hints":["Площадь — сторона на высоту к этой же стороне: $b$ и $h_b$ хватает. При угле $30^\\circ$ высота к $b$ равна $a : 2$, при угле $90^\\circ$ высота — сама сторона.","По одним сторонам площадь не найти: параллелограмм можно перекосить. $b$ с $h_a$ не хватает — неизвестна $a$; по $P$ и $h_b$ неизвестна сама $b$.","Ответ: хватит — $b$ и $h_b$; $a$, $b$ и угол $30^\\circ$; $a$, $b$ и угол $90^\\circ$. Не хватит — только $a$ и $b$; $b$ и $h_a$; $P$ и $h_b$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сторона ромба $ABCD$ равна $7$ см, высота $BH$ равна $5$ см. Решавр считает: «$S = 7 \\cdot 7 = 49\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо сложить стороны: $S = 4 \\cdot 7 = 28\\ \\text{см}^2$","Надо умножить высоту на себя: $S = 5 \\cdot 5 = 25\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: у ромба стороны равны, поэтому $S = a^2$","Ромб — не квадрат: нужна сторона на высоту, $S = 7 \\cdot 5 = 35\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["$4 \\cdot 7 = 28$ см — периметр ромба, а не площадь","Высоту умножают на сторону, к которой она проведена: $7 \\cdot 5$","$a^2$ — площадь квадрата; у ромба с непрямым углом высота $5$ меньше стороны $7$",""],"answer":[3]}},"hints":["Ромб — параллелограмм, поэтому площадь — сторона на высоту, проведенную к ней.","$7 \\cdot 7$ — произведение смежных сторон, так считают только квадрат. $S = 7 \\cdot 5 = 35\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сторона ромба $ABCD$ равна $9$ см, высота $BH$ равна $8$ см. Решавр считает: «$S = 9 \\cdot 9 = 81\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо умножить высоту на себя: $S = 8 \\cdot 8 = 64\\ \\text{см}^2$","Ромб — не квадрат: нужна сторона на высоту, $S = 9 \\cdot 8 = 72\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: у ромба стороны равны, поэтому $S = a^2$","Надо сложить стороны: $S = 4 \\cdot 9 = 36\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Высоту умножают на сторону, к которой она проведена: $9 \\cdot 8$","","$a^2$ — площадь квадрата; у ромба с непрямым углом высота $8$ меньше стороны $9$","$4 \\cdot 9 = 36$ см — периметр ромба, а не площадь"],"answer":[1]}},"hints":["Ромб — параллелограмм, поэтому площадь — сторона на высоту, проведенную к ней.","$9 \\cdot 9$ — произведение смежных сторон, так считают только квадрат. $S = 9 \\cdot 8 = 72\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-7]]В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ тупой, высота $BH$ лежит вне параллелограмма. Решавр говорит: «Высота снаружи, поэтому формулу $S = AD \\cdot BH$ применять нельзя». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r3sholyxjvjs.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Формула $S = AD \\cdot BH$ верна и когда высота лежит вне параллелограмма","Ошибки нет: если высота снаружи, площадь находят только по сторонам","Формула верна, но сначала надо перенести высоту внутрь параллелограмма","Формула верна только при остром угле $A$"],"explanations":["","Площадь параллелограмма по одним сторонам не найти: нужна высота, и формула с высотой верна всегда","Переносить ничего не нужно: расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ одно и то же, формула та же","Угол не влияет на формулу: при тупом угле основание высоты лежит на продолжении стороны, а площадь считается так же"],"answer":[0]}},"hints":["Достроим параллелограмм до прямоугольника и вычтем два равных треугольника: получим то же $S = AD \\cdot BH$.","Формула верна при любом положении высоты: внутри, в вершине или вне."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ тупой, точка $H$ лежит на продолжении стороны $DA$ за точку $A$; $AD = 8$ см, $AH = 2$ см, $BH = 5$ см. Решавр считает: «$HD = 10$ см, $S = 10 \\cdot 5 = 50\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Площадь параллелограмма равна $AH \\cdot BH = 2 \\cdot 5 = 10\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: основанием можно брать весь отрезок $HD$","Надо разделить пополам: $S = 10 \\cdot 5 : 2 = 25\\ \\text{см}^2$","Основание — сторона $AD$, а не $HD$: $S = 8 \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["$2 \\cdot 5 = 10$ — это два лишних треугольника, а не сам параллелограмм","$50$ — площадь прямоугольника $HD \\times BH$; в нем два лишних равных треугольника, вместе $2 \\cdot 5 = 10$, и $50-10 = 40$","Пополам делят площадь треугольника, а у параллелограмма площадь — основание на высоту",""],"answer":[3]}},"hints":["Основание — сторона $AD$, к которой проведена высота, а не отрезок $HD$: в $HD$ входит лишний кусок $AH$.","$S = AD \\cdot BH = 8 \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>