Площадь составных фигур

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Найдите площадь Г-образной фигуры (размеры в сантиметрах указаны на чертеже). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bmxj7em19le5.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Разрежьте на два прямоугольника: $11 \\times 5$ и $5 \\times 3$. Или достройте до $11 \\times 8$ и вычтите угол $6 \\times 3$.","$S = 11 \\cdot 5 + 5 \\cdot 3 = 55 + 15 = 70\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Найдите площадь Г-образной фигуры (размеры в сантиметрах указаны на чертеже). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qgk2ofzpxkli.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Разрежьте на два прямоугольника: $12 \\times 5$ и $5 \\times 4$. Или достройте до $12 \\times 9$ и вычтите угол $7 \\times 4$.","$S = 12 \\cdot 5 + 5 \\cdot 4 = 60 + 20 = 80\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Внешний прямоугольник рамки — $14$ см на $10$ см, ширина рамки $2$ см (чертеж). Найдите площадь рамки в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/74onh7lwmypk.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Внутренний прямоугольник короче на $2 \\cdot 2 = 4$ см по каждой стороне: $10 \\times 6$.","$S = 14 \\cdot 10-10 \\cdot 6 = 140-60 = 80\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Внешний прямоугольник рамки — $13$ см на $9$ см, ширина рамки $2$ см (чертеж). Найдите площадь рамки в квадратных сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vr4kjt1iq8ca.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Внутренний прямоугольник короче на $2 \\cdot 2 = 4$ см по каждой стороне: $9 \\times 5$.","$S = 13 \\cdot 9-9 \\cdot 5 = 117-45 = 72\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Из прямоугольного листа $14$ см на $10$ см вырезали прямоугольник $3$ см на $2$ см. Площадь оставшейся части равна [[fill_choice-1]] квадратных сантиметров.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["88","134","146","140"],"answer":1}},"hints":["Площадь листа без площади выреза: $14 \\cdot 10-3 \\cdot 2$.","$140-6 = 134$. ($146$ — вырез прибавлен, $140$ — не вычтен, $88$ — вычтены стороны выреза из сторон листа.)"],"step":1},{"id":"3","content":"Из прямоугольного листа $15$ см на $9$ см вырезали прямоугольник $4$ см на $3$ см. Площадь оставшейся части равна [[fill_choice-2]] квадратных сантиметров.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["123","135","66","147"],"answer":0}},"hints":["Площадь листа без площади выреза: $15 \\cdot 9-4 \\cdot 3$.","$135-12 = 123$. ($147$ — вырез прибавлен, $135$ — не вычтен, $66$ — вычтены стороны выреза из сторон листа.)"],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-5]]Вершины многоугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь многоугольника в квадратных сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/6ghfwqdkkh2e.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"31"}},"hints":["Фигура — прямоугольник $7 \\times 5$ без уголка: треугольника с катетами $4$ и $2$.","Достройте до прямоугольника $7 \\times 5$ и вычтите срезанный уголок — треугольник с катетами $4$ и $2$: $35-\\frac12 \\cdot 4 \\cdot 2 = 35-4 = 31$. Ответ: $31$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]Вершины многоугольника лежат в узлах сетки, сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь многоугольника в квадратных сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sy5uvg8ijnbo.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Фигура — квадрат $6 \\times 6$ без уголка: треугольника с катетами $4$ и $3$.","Достройте до квадрата $6 \\times 6$ и вычтите срезанный уголок — треугольник с катетами $4$ и $3$: $36-\\frac12 \\cdot 4 \\cdot 3 = 36-6 = 30$. Ответ: $30$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте фигуру на клетчатой бумаге (сторона клетки $1$ см) и ее площадь.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник $6 \\times 4$ клеток","Треугольник: основание $6$ клеток, высота $4$ клеток","Трапеция: основания $6$ и $2$ клеток, высота $4$ клеток"],"items":["$24\\ \\text{см}^2$","$12\\ \\text{см}^2$","$16\\ \\text{см}^2$","$48\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте фигуру и площадь","hints":["Прямоугольник: $S = ab$. Треугольник: $S = \\frac12 ah$. Трапеция: $S = \\frac12 (a + b) h$.","$6 \\cdot 4 = 24$; $\\frac12 \\cdot 6 \\cdot 4 = 12$; $\\frac12 (6 + 2) \\cdot 4 = 16$. Число $48$ лишнее."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте фигуру на клетчатой бумаге (сторона клетки $1$ см) и ее площадь.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник $5 \\times 6$ клеток","Треугольник: основание $5$ клеток, высота $6$ клеток","Трапеция: основания $5$ и $3$ клеток, высота $6$ клеток"],"items":["$30\\ \\text{см}^2$","$15\\ \\text{см}^2$","$24\\ \\text{см}^2$","$60\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте фигуру и площадь","hints":["Прямоугольник: $S = ab$. Треугольник: $S = \\frac12 ah$. Трапеция: $S = \\frac12 (a + b) h$.","$5 \\cdot 6 = 30$; $\\frac12 \\cdot 5 \\cdot 6 = 15$; $\\frac12 (5 + 3) \\cdot 6 = 24$. Число $60$ лишнее."],"step":1},{"id":"6","content":"Стена $6$ м на $3$ м, в ней окно $2$ м на $1$ м и дверь $1$ м на $2$ м. Одной банки краски хватает на $4\\ \\text{м}^2$. Сколько банок нужно купить? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Красят стену без окна и двери: $6 \\cdot 3-2 \\cdot 1-1 \\cdot 2 = 18-4 = 14\\ \\text{м}^2$.","$14 : 4 = 3{,}5$ — банок целое число, округляем вверх: $4$."],"step":1},{"id":"6","content":"Стена $8$ м на $3$ м, в ней окно $2$ м на $2$ м и дверь $1$ м на $2$ м. Одной банки краски хватает на $4\\ \\text{м}^2$. Сколько банок нужно купить? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Красят стену без окна и двери: $8 \\cdot 3-2 \\cdot 2-1 \\cdot 2 = 24-6 = 18\\ \\text{м}^2$.","$18 : 4 = 4{,}5$ — банок целое число, округляем вверх: $5$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-7]]Г-образная фигура составлена из горизонтальной полосы $12 \\times 2$ и вертикальной полосы $5 \\times 9$ (см. чертеж, размеры в сантиметрах), полосы пересекаются в углу. Решавр считает: «$S = 12 \\cdot 2 + 5 \\cdot 9 = 69\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vgmjpulawkov.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Площади полос надо перемножить: $S = 24 \\cdot 45 = 1080\\ \\text{см}^2$","Из большей полосы надо вычесть меньшую: $S = 21\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь фигуры равна сумме площадей полос","Угловой прямоугольник сосчитан дважды: $S = 69-10 = 59\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Площади частей складывают, а не умножают","Обе полосы входят в фигуру целиком, поэтому разность площадей — не ее площадь","Полосы пересекаются, и общий угол попадает в сумму дважды; складывать можно только части без общих точек",""],"answer":[3]}},"hints":["Угловой прямоугольник $5 \\times 2$ входит и в горизонтальную, и в вертикальную полосу. Его площадь $10\\ \\text{см}^2$.","Нужно вычесть его один раз: $S = 69-10 = 59\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-8]]Г-образная фигура составлена из горизонтальной полосы $13 \\times 3$ и вертикальной полосы $4 \\times 10$ (см. чертеж, размеры в сантиметрах), полосы пересекаются в углу. Решавр считает: «$S = 13 \\cdot 3 + 4 \\cdot 10 = 79\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/luyj2y6rkrb2.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Площади полос надо перемножить: $S = 39 \\cdot 40 = 1560\\ \\text{см}^2$","Угловой прямоугольник сосчитан дважды: $S = 79-12 = 67\\ \\text{см}^2$","Из большей полосы надо вычесть меньшую: $S = 1\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь фигуры равна сумме площадей полос"],"explanations":["Площади частей складывают, а не умножают","","Обе полосы входят в фигуру целиком, поэтому разность площадей — не ее площадь","Полосы пересекаются, и общий угол попадает в сумму дважды; складывать можно только части без общих точек"],"answer":[1]}},"hints":["Угловой прямоугольник $4 \\times 3$ входит и в горизонтальную, и в вертикальную полосу. Его площадь $12\\ \\text{см}^2$.","Нужно вычесть его один раз: $S = 79-12 = 67\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Из угла прямоугольного листа $12$ см на $8$ см вырезали прямоугольник $4$ см на $3$ см. Решавр считает: «$S = (12-4) \\cdot (8-3) = 40\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Вырез — угол, а не полоса: надо вычесть его площадь, $S = 12 \\cdot 8-4 \\cdot 3 = 84\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: вырез убавляет обе стороны листа","Вырез надо прибавить: $S = 12 \\cdot 8 + 4 \\cdot 3 = 108\\ \\text{см}^2$","Надо вычесть периметр выреза: $S = 96-14 = 82\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","Убавлять стороны можно, только если вырез идет вдоль всего листа; угловой вырез — нет","Вырез — пустое место: площадь листа его убирает, а не добавляет","Периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных; вычитают площадь выреза"],"answer":[0]}},"hints":["Нарисуйте лист и вырез в углу: остается ли оставшаяся часть прямоугольником?","Оставшаяся часть — не прямоугольник со сторонами $8$ и $5$. Надо вычесть площадь выреза: $S = 12 \\cdot 8-4 \\cdot 3 = 96-12 = 84\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Из угла прямоугольного листа $15$ см на $6$ см вырезали прямоугольник $5$ см на $2$ см. Решавр считает: «$S = (15-5) \\cdot (6-2) = 40\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Надо вычесть периметр выреза: $S = 90-14 = 76\\ \\text{см}^2$","Вырез надо прибавить: $S = 15 \\cdot 6 + 5 \\cdot 2 = 100\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: вырез убавляет обе стороны листа","Вырез — угол, а не полоса: надо вычесть его площадь, $S = 15 \\cdot 6-5 \\cdot 2 = 80\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["Периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных; вычитают площадь выреза","Вырез — пустое место: площадь листа его убирает, а не добавляет","Убавлять стороны можно, только если вырез идет вдоль всего листа; угловой вырез — нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Нарисуйте лист и вырез в углу: остается ли оставшаяся часть прямоугольником?","Оставшаяся часть — не прямоугольник со сторонами $10$ и $4$. Надо вычесть площадь выреза: $S = 15 \\cdot 6-5 \\cdot 2 = 90-10 = 80\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Фасад дома — прямоугольник $8$ м на $5$ м, над ним крыша в виде треугольника с основанием $8$ м и высотой $3$ м. Найдите площадь фасада в квадратных метрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["Площадь фасада — сумма площадей прямоугольника и треугольника.","$S = 8 \\cdot 5 + \\frac12 \\cdot 8 \\cdot 3 = 40 + 12 = 52\\ \\text{м}^2$."],"step":1},{"id":"9","content":"Фасад дома — прямоугольник $10$ м на $4$ м, над ним крыша в виде треугольника с основанием $10$ м и высотой $6$ м. Найдите площадь фасада в квадратных метрах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Площадь фасада — сумма площадей прямоугольника и треугольника.","$S = 10 \\cdot 4 + \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 6 = 40 + 30 = 70\\ \\text{м}^2$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-9]]Участок $20$ м на $12$ м. Вдоль длинной стороны проходит дорожка шириной $2$ м и поперек, вдоль короткой, — вторая, тоже шириной $2$ м (чертеж). Найдите площадь газона (без дорожек) в квадратных метрах. [[input-11]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zdibyxo0jp8x.svg"},"input-11":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Дорожки пересекаются в квадрате $2 \\times 2$: площадь пересечения нельзя вычитать дважды.","Газон — четыре части, вместе равные прямоугольнику $18 \\times 10$: $S = 18 \\cdot 10 = 180\\ \\text{м}^2$. Проверка вычитанием: $240-(40 + 24-4) = 180$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-10]]Участок $18$ м на $10$ м. Вдоль длинной стороны проходит дорожка шириной $2$ м и поперек, вдоль короткой, — вторая, тоже шириной $2$ м (чертеж). Найдите площадь газона (без дорожек) в квадратных метрах. [[input-12]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tsi1kbunhgl8.svg"},"input-12":{"type":"input","answer":"128"}},"hints":["Дорожки пересекаются в квадрате $2 \\times 2$: площадь пересечения нельзя вычитать дважды.","Газон — четыре части, вместе равные прямоугольнику $16 \\times 8$: $S = 16 \\cdot 8 = 128\\ \\text{м}^2$. Проверка вычитанием: $180-(36 + 20-4) = 128$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>