Площадь трапеции

Мы уже узнали, как находить площади прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника и ромба. Теперь очередь дошла до трапеции — последнего фигур, образованных ломаными линиями.

Для нее тоже есть удобная и понятная формула площади, и сегодня мы с ней познакомимся.

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции, как и площадь других фигур, связана произведением основания и высоты.

Но у трапеции оснований два, поэтому сначала нужно найти их среднее арифметическое, чтобы узнать усредненную длину оснований:

$$\dfrac{a + b}{2}.$$

Именно эта величина играет роль «условного основания», которое и умножается на высоту.

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:
$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$.

Доказательство

Скрыть

Дано: трапеция $ABCD$, $AD = a$ и $BC = b$ — основания, $CH = h$ — высота.

Доказать: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$.

Построим около данной трапеции вторую, равную ей, симметрично отразив ее относительно высоты. В результате получим параллелограмм $ABA_1B_1$.

Получается, что противоположные стороны параллелограмма $A_1B$ и $AB_1$ равны сумме оснований трапеции:

$$A_1B = AB_1 = a + b.$$

Высота трапеции $h$, равна высоте параллелограмма, поэтому площадь параллелограмма $S_{ABA_1B_1} = (a + b) \cdot h$.

Так как трапеция $ABCD$ составляет его половину, то

$$S_{ABCD} = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}.$$

Более привычная запись выглядит так:

$$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h.$$

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Основания трапеции равны $8 \\ \\text{см}$ и $14 \\ \\text{см}$, а ее высота $10 \\ \\text{см}$. Найдите площадь трапеции.[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$110 \\ \\text{см}^2$","$220 \\ \\text{см}^2$","$1120 \\ \\text{см}^2$","$160 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/3-01-17.svg","width":"300"}},"hints":["Найдите среднее арифметическое оснований.","Умножьте его на высоту.","$S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h =  \\dfrac{8 + 14}{2} \\cdot 5 = 55$.<br /><br />Ответ: $55 \\ \\text{см}^2$."]}]}

Средняя линия трапеции

Для доказательства формулы площади трапеции мы определили, что $\dfrac{a + b}{2}$ — это среднее арифметическое двух ее оснований.

Данное утверждение верно с алгебраической точки зрения. Оно вновь помогает нам увидеть, что площадь фигуры — это произведение основания и высоты.

С геометрической точки зрения такая величина $\dfrac{a + b}{2}$ называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, он параллелен ее основаниям и равен их полусумме.

$$MN = \dfrac{a + b}{2}.$$

Поэтому, для площади трапеции также справедлива следующая формулировка.

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Задача

В равнобокой трапеции $ABCD$ угол $A$ равен $45^ \circ$, меньшее основание — $15 \ \text{см}$.

Отрезок $AH$, образованный пересечением высоты $BH$ и большим основанием, равен $3 \ \text{см}$.

Найдите площадь трапеции.

Решение

Скрыть

Дано: $ABCD$ — равнобокая трапеция, $\angle A = 45^\circ$, $BC = 15 \ \text{см}$, $AH = 3 \ \text{см}$.

Найти: $S_{ABCD}$.

Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AD$ $\Rightarrow$ $\triangle ABH$ прямоугольный.

$A = 45^\circ$, по условию $\Rightarrow$ $B = 45^\circ$ (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

Следовательно, $\triangle ABH$ $\Rightarrow$ $AH = BH = 3 \ \text{см}$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH_1$.

Трапеция, по условию задачи, равнобокая, значит, $AH = H_1D$, а $BC = HH_1 = 15 \ \text{см}$ $\Rightarrow$ $AD = AH + HH_1 + H_1D = 3 + 3 + 15 = 21 \ \text{см}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot BH = \dfrac{21 + 15}{2} \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54 \ \text{см}^2$.

Ответ: $S = 54 \ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"Что называется средней линией трапеции?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/08/1-poprygunchik-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.","Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.","Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.","отрезок, соединяющий середины двух любых сторон трапеции."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что средняя линия проходит не по основаниям, а по боковым сторонам.","Она соединяет середины боковых сторон."]}]}

Площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями

У трапеции есть особый случай для нахождения ее площади. Это касается равнобедренной трапеции и того, что ее диагонали пересекаются под прямым углом.

Если в равнобокой трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. Следовательно, площадь трапеции равна квадрату высоты:
$S = h^2$.

Доказательство

Скрыть

Дано: $ABCD$ — равнобокая трапеция, $AC \perp BD$.

Доказать: площадь трапеции равна квадрату ее высоты.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть она пересечется с продолжением основания $AD$ в точке $K$.

Рассмотрим $\triangle ACK$ — он является прямоугольным, так как $\angle AOD = \angle ACK = 90^ \circ$ как соответственные углы при $BD \parallel CK$ и секущей $AC$.

Также $\triangle ACK$ — равнобедренный, так как $\angle CAK = 45^ \circ$ ($\triangle AOD$ — прямоугольный, по условию пересечения диагоналей, и равнобедренный, по свойству диагоналей равнобокой трапеции).

Проведем высоту $CH$. Высота равнобедренного треугольника также является и медианой $\Rightarrow$ $AH = HK = \dfrac{1}{2} \cdot AK$.

$AK = AD + DK$, $DK = BC$, так как $DBCK$ — параллелограмм по построению, то $AK = AD + BC$ $\Rightarrow$ $AH = \dfrac{1}{2} \cdot (AD + BC)$.

Отрезок, равный полусумме оснований трапеции, является ее средней линией. Значит, $AH$ равен по длине средней линии трапеции.

Медиана, выпущенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы $\Rightarrow$ $CH = AH$. Следовательно, средняя линия трапеции равна ее высоте.

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты, а так как они равны, то площадь можно вычислить так: $S = h^2$.

Что и требовалось доказать.

Эту формулу нужно запомнить, потому что, не владея данной информацией, вы не сможете решить задачу, связанную с этой темой. Либо вам самим придется выводить формулу через приведенное выше доказательство.

{"questions":[{"content":"В равнобокой трапеции диагонали перпендикулярны. Основания равны $10 \\ \\text{см}$ и $2 \\ \\text{см}$. Найдите площадь трапеции.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$12 \\ \\text{см}^2$","$20 \\ \\text{см}^2$","$10 \\ \\text{см}^2$","$36 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[3]}},"hints":["При перпендикулярных диагоналях в равнобедренной трапеции средняя линия равна высоте.","Поэтому $S = h^2$, либо $S =  \\left(\\dfrac{a + b}{2}\\right)^2$.<br />Следовательно, $S =   \\left(\\dfrac{10 + 2}{2}\\right)^2 = 36$.<br /><br />Ответ: $36 \\ \\text{см}^2$."]}]}

Площадь трапеции через вписанную окружность

Мы уже знакомы с темой вписанных окружностей в какую либо фигуру. Давайте вспомним условие, при котором окружность можно вписать в четырехугольник. Ведь трапеция является таковым.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны:
$a +b = c + d$.

Если выполняется данное условие, то площадь трапеции можно вычислить по формуле:
$S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Задача

В трапецию вписана окружность радиусом $11 \ \text{см}$.

Найдите ее площадь, если основания трапеции равны $12 \ \text{см}$ и $17 \ \text{см}$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В трапецию вписана окружность. Какая из формул позволяет вычислить ее площадь?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/sporyat-vzroslyi-i-molodoi-01-1.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$S = p \\cdot r$, где $p$ — полупериметр трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности.","$S = P \\cdot r$, где $P$ — периметр трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности.","$S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot r$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности.","$S = \\dfrac{c + d}{2} \\cdot r$, $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности."],"answer":[0]}},"hints":["Формула площади связана с полусуммой всех сторон трапеции.","Полусумма всех сторон фигуры и есть полупериметр, поэтому $S = p \\cdot r$, где $p$ — полупериметр трапеции, а $r$ — радиус вписанной окружности."]}]}

Это интересно

Площадь трапеции — не просто школьная формула, а явление с богатой историей и забавными применениями.

Египетские землемеры ещё до Евклида умели считать площадь трапеций, потому что именно такие фигуры получались у полей после разливов Нила.

Землемеры считали площади затопленных полей именно как площади трапеций — от этого зависели налоги и урожай.

В Китае формула трапеции встречается во II веке до н. э. в книге «Математика в девяти книгах». В нем известная нам формула записана словами: «Сложи верх и низ, умножь на половину высоты».

При строительстве мостов в Древнем Риме поперечные сечения часто делали трапециевидными: нижнее основание — пошире, верхнее — уже. Площадь такого сечения помогала оценивать прочность конструкции моста.

Когда астрономы вычисляют освещенную часть планеты или луны при частичном затмении, часть фигуры сводят к трапеции и считают ее площадь — такой способ применяли ещё в XVII веке.

При измерении толщины льда на реке спасатели используют трапециевидный профиль (верхний срез — больше, нижний — меньше). Зная площадь сечения, легко рассчитать прочность льда на целый участок.

Даже в музыке встречается трапеция — правда, не на сцене, а в компьютере. Когда компьютер считает, насколько громко звучала песня за какое-то время, он рисует график — линию, похожую на горки.

Чтобы посчитать общую громкость, он делит этот график на кусочки-трапеции и складывает их площади. Так получается число, которое показывает силу звука.

Получается, что у трапеции и ее площади есть своя «карьерная лестница»: от измерений полей в древности до вычислений в современных компьютерах.

Часто задаваемые вопросы