Площадь квадрата и прямоугольника

Мы уже познакомились с понятием площади и разобрались, зачем она нужна. Самое время перейти к конкретным фигурам.

Начнем с самых простых и привычных — квадрата и прямоугольника. Их площадь вычисляется довольно легко, в чем вы убедитесь на этом уроке.

Площадь квадрата

С квадратом как с геометрической фигурой мы уже знакомы. Знаем его определение и свойства. То, что площадь квадрата $S = a^2$, также известно еще с начала знакомства с математикой.

Но в геометрии нельзя опираться на какое-либо определение или обстоятельство просто так. Все требует доказательства.

Поэтому сегодня мы рассмотрим фактическое подтверждение, казалось бы, простых вещей — того, что площадь квадрата действительно равна $a^2$.

И в этом нам поможет единичный квадрат — квадрат со стороной $1$, площадь которого по определению равна $1 \ \text{ед}^2$.

Итак, сформулируем и докажем теорему о площади квадрата.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна:
$S = a^2$.

Доказательство

Скрыть

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Разделим каждую его сторону на $a$ равных частей. Тогда внутри квадрата получится сетка из маленьких квадратиков со стороной $1$, что будет являться единичным квадратом, площадь которого $S = 1 \ \text{ед}^2$.

По горизонтали таких квадратиков будет $a$ штук, по вертикали также $a$, следовательно площадь всего квадрата равна:

$$S = a \cdot 1 \cdot a \cdot 1 = a^2.$$

Что и требовалось доказать.

Задача

Сторона квадрата равна $12 \ \text{см}$.

Вычислите его площадь.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Что является основой для доказательства формулы площади квадрата?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii-05.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Прямоугольный треугольник","Единичный квадрат","Диагональ квадрата","Сторона квадрата"],"answer":[1]}},"hints":["В доказательстве мы делили квадрат на одинаковые маленькие фигуры.","Эти фигуры имели площадь, равную $1$."]}],"mix":1}

Площадь прямоугольника

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны. В задачах же чаще встречаются прямоугольники с разными сторонами. Поэтому важно уметь находить и их площадь.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.

Доказательство

Скрыть

Разделим стороны прямоугольника $a$ на $a$ единичных отрезков, а $b$ — на $b$ единичных отрезков и соединим их.

Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, поэтому он разобьется внутри на единичные квадраты.

Следовательно, его площадь будет равна:

$$S = a \cdot 1 \cdot b \cdot 1 = a \cdot b.$$

Что и требовалось доказать.

Задача

Площадь прямоугольника равна $104 \ \text{см}^2$. Одна из сторон $13 \ \text{см}$.

Вычислите другую сторону прямоугольника.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"У прямоугольника одна сторона равна $17 \\ \\text{см}$, а другая — $4 \\ \\text{см}$. Найдите его площадь.[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/hokkey_1-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$21 \\ \\text{см}^2$","$68 \\ \\text{см}^2$","$13 \\ \\text{см}^2$","$46 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните формулу площади прямоугольника.","Формула площади: $S = a \\cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.<br /><br />$$S = 17 \\cdot 4 = 68.$$<br />Ответ: $S = 68 \\ \\text{см}^2$.<br />"]}],"mix":1}

Это интересно

Иногда с площадью квадрата и прямоугольника связаны самые неожиданные истории. В XVII веке в Англии придумали налог на окна: чем больше окон в доме, тем больше налог.

Архитекторы начали делать прямоугольные дома с минимальной площадью стен, чтобы сэкономить на окнах. Получались длинные и узкие постройки с наименьшим количеством окон — математическая оптимизация во имя экономии.

А вот в некоторых областях Италии в XIX веке налог насчитывали по площади пола дома. Итальянцы начали строить здания с огромной высотой потолков, но маленькой площадью основания. Внешне дом выглядел узким, но внутри просторно.

Люди оставались в выигрыше: и налоги экономили, и комфорт сохраняли. Так математика напрямую влияла на внешний вид целых городов.

В Японии налоги с крестьян брали зерном и рассчитывали их по площади рисового поля. И тут возникали казусы: некоторые хитрые крестьяне специально делали поля «рваной» формы, чтобы на глаз они казались меньше.

Проверяющим приходилось перемерять участки и пересчитывать площадь, чтобы никто не жульничал.

В одной английской газете однажды перепутали площадь и длину футбольного поля.

Вместо $7140 \ \text{м}^2$ напечатали $7140 \ \text{м}$ и всерьез заявили, что это «одна из самых длинных площадок в мире».

Читатели долго смеялись: футбольное поле длиной в $7$ километров.

В США один покупатель заказал ковер для квадратной комнаты $12$ футов. Он имел в виду площадь $12$ квадратных футов. Продавец понял по-своему: квадрат со стороной $12$ футов. В итоге ковер получился $144$ квадратных фута и занял не только комнату, но и весь коридор.

Эти истории показывают, что очень важно различать площадь, периметр и длину. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, периметр — длину ее границы, а длина стороны — всего лишь один отрезок. Когда эти понятия путают, получаются курьезы, поэтому математика учит нас не только формулам, но и точности в рассуждениях.

Часто задаваемые вопросы