Квадрат

Мы уже познакомились с двумя видами параллелограмма — прямоугольником и ромбом. У каждого из них есть свои особенности: у прямоугольника все углы прямые, а у ромба все стороны равны.

Сегодня мы рассмотрим еще одну особенную фигуру — квадрат. Он объединяет в себе свойства и прямоугольника, и ромба, а значит, у него будет сразу целый набор интересных признаков.

Определение квадрата

Квадрат знаком каждому: он встречается в тетрадях в клеточку, из него складывают кубики и мозаики, а на шахматной доске все клетки имеют форму квадрата. Это простая и очень узнаваемая фигура.

А теперь давайте посмотрим на него со стороны геометрии и дадим точное определение.

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

{"questions":[{"content":"Выберите верное утверждение.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны.","Квадрат — это параллелограмм, у которого все углы равны $90^\\circ$.","Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны $90^\\circ$.","Квадрат — это любой прямоугольник."],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/futbolisty-01-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните, что у квадрата должны выполняться два условия одновременно — и про стороны, и про углы.","Квадрат соединяет в себе свойства прямоугольника и ромба."]}],"mix":1}

Свойства квадрата

Так как квадрат — это параллелограмм, он обладает всеми его свойствами. Кроме того, его можно считать и прямоугольником, так как у квадрата все углы по $90^\circ$, и ромбом одновременно, потому что у него равны все стороны.

Таким образом, он объединяет свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба:

• противоположные стороны параллельны;
• все стороны равны;
• все углы равны $90^\circ$;
• диагонали равны;
• диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам;
• диагонали перпендикулярны;
• каждая диагональ является биссектрисой углов.

Итак, подытожим все вышеперечисленное и сформулируем все свойства квадрата.

У квадрата все стороны равны и все углы прямые.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, а также являются биссектрисами его углов.

{"questions":[{"content":"Какое из свойств не относится к квадрату?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У квадрата противоположные стороны параллельны.","У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.","Диагонали квадрата пересекаются в одной точке и делятся пополам.","У квадрата все углы смежные."],"answer":[3]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/pered-telivezirom-telik-03-01.svg","width":"300"}},"hints":["У квадрата стороны и диагонали ведут себя «правильно».","Вспомните, что значит «смежные углы» и бывают ли они у квадрата."]}],"mix":1}

Симметрия квадрата

Квадрат обладает высокой степенью симметрии. У него есть четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, а две — через противоположные вершины.

Это значит, что если его мысленно согнуть по одной из этих осей, то половинки квадрата совпадут.

Кроме того, квадрат имеет центральную симметрию. Центром симметрии служит точка пересечения диагоналей.

Если соединить любую вершину квадрата с этим центром и продолжить отрезок дальше на такое же расстояние, то мы попадем в противоположную вершину. То же самое будет и для любой другой точки квадрата — она перейдёт в точку, симметричную относительно центра.

То есть это ничто иное, как поворот квадрата вокруг центра на $180^\circ$, после которого квадрат полностью совпадает сам с собой.

{"questions":[{"content":"Сколько осей симметрии имеет квадрат?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/vybor2-01-1.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Две","Три","Четыре","Бесконечно много"],"answer":[2]}},"hints":["Подумайте, по каким линиям можно сложить квадрат так, чтобы его половинки совпали.","Такие линии проходят через середины сторон и вершины квадрата.<br />"]}],"mix":1}

Квадрат и окружность

Квадрат — это правильная фигура, потому что у него все стороны и углы равны. Благодаря этому он выделяется среди всех параллелограммов: только около квадрата всегда можно описать окружность и вписать ее внутрь.

Если описать окружность около квадрата, то ее центр будет в точке пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали квадрата.

Если вписать окружность в квадрат, то ее центр также совпадает с точкой пересечения диагоналей, а радиус будет равен половине стороны квадрата.

{"questions":[{"content":"Чему равен радиус окружности, вписанной в квадрат?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/vesnushki-01.svg","width":"298"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Равен половине стороны квадрата.","Равен половине диагонали квадрата.","Равен стороне квадрата.","Равен диагонали квадрата."],"answer":[0]}},"hints":["Радиус вписанной окружности соединяет центр квадрата с серединой его стороны.","Вспомните, что окружность касается сторон квадрата, а не его вершин."]}]}

Интересные факты

У квадрата есть свои секреты. Если соединять середины сторон квадрата снова и снова, каждый раз будет появляться новый квадрат, повернутый относительно предыдущего на $45^\circ$.

Этот процесс можно продолжать бесконечно, получая целую спираль вложенных квадратов.

В математике это относят к теме итеративных построений (повторяющихся шагов).

Иногда это описывают как «построение последовательности вложенных квадратов».

Есть забавная математическая задача на смекалку: Какое количество квадратов в сетке $3 \times 3$?

Кто-то скажет: «$9$», — но самом деле это не так.

Присмотритесь повнимательнее — их $14$, потому что нужно посчитать не только маленькие, а, в том числе, средние и один большой.

В нашей жизни квадрат встречается буквально каждый день. Например, на экранах телефонов и компьютеров изображение складывается из крошечных квадратных пикселей, благодаря которым картинка получается четкой и ровной.

А в Японии квадрат даже стал символом честности и постоянства. У него все стороны одинаковые, значит, все справедливо и надежно.

Как мы видим, квадрат умеет удивлять. Он может прятать внутри себя новые квадраты, встречается на экранах наших телефонов и компьютеров, а в культуре разных стран даже становится символом важных идей. Получается, что за простой формой скрывается много интересного.

Часто задаваемые вопросы