8 класс Геометрия Четырехугольники Прямоугольник, ромб, квадрат

Центральная симметрия

Содержание

В методе удвоения медианы вы продлевали медиану $AM$ на ее длину и получали параллелограмм. Сегодня этот прием получит имя — центральная симметрия. Определение вы, возможно, встречали в уроке 7 класса; здесь построим образ фигуры, докажем свойства, найдем центры симметрии и координаты образа и сравним с осевой симметрии.

Пол-оборота вокруг булавки

Посмотрите сверху на вращающуюся дверь с четырьмя створками. После пол-оборота створки встают на места друг друга, и дверь выглядит как раньше. А трехлопастный вентилятор после пол-оборота выглядит иначе: лопасти оказываются между прежними положениями. Что особенного в двери? И какие фигуры ведут себя так же? Ответим в конце урока.

Вид сверху: вращающаяся дверь после пол-оборота совпала с собой, трехлопастный вентилятор — нет — После пол-оборота дверь совпала с собой, а вентилятор — нет

Проведем опыт. На клетчатом листе отметьте точку $O$, а точку $A$ — на 3 клетки правее и на 2 клетки выше. Наложите кальку, переведите на нее точку $A$ и приколите кальку булавкой в точке $O$. Поверните кальку на пол-оборота, то есть на $180^\circ$. Точка с кальки ляжет в новое место — назовем его $A_1$ («а-первое»). Оно на 3 клетки левее и на 2 клетки ниже точки $O$.

Опыт с калькой: пол-оборота вокруг булавки O переводит точку A в точку A_1; O — середина отрезка AA_1 — Пол-оборота вокруг булавки $O$: точки $A$, $O$, $A_1$ на одной прямой и $OA_1 = OA$, значит, $O$ — середина $AA_1$

Что видно на чертеже? Калька не растягивается, поэтому расстояние до булавки не меняется: $OA_1 = OA$. Пол-оборота — это развернутый угол, поэтому луч $OA$ перешел в противоположный ему луч, и точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой. Отсюда главное: булавка $O$ — середина отрезка $AA_1$.

Определение

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AA_1$. Точка $O$ симметрична самой себе.

Переход от каждой точки к симметричной ей точке называют центральной симметрией, а точку $O$ — центром симметрии.

Вы уже встречали такую пару. В методе удвоения медианы точка $D$ симметрична вершине $A$ относительно середины $M$ стороны $BC$, а вершины $B$ и $C$ симметричны друг другу относительно той же точки $M$. Пол-оборота вокруг $M$ переводит треугольник $ABC$ в $DCB$.

Подвигайте ползунок: точка $A$ поворачивается вокруг $O$ на угол от $0^\circ$ до $180^\circ$ с шагом $15^\circ$; на табло — $OA$, $OA_1$ и $MO$, где $M$ — середина $AA_1$. При каких углах $OA_1 = OA$? А при каких точка $O$ лежит на отрезке $AA_1$?

centralnaya-simmetriya-povorot

{"questions":[{"content":"Кальку прикололи булавкой в точке $O$ и повернули на пол-оборота. Точка $A$ перешла в точку $A_1$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямая через $O$ перпендикулярна $AA_1$","$O$ — середина отрезка $AA_1$","$OA_1 = OA$, но $A$, $O$, $A_1$ не на одной прямой","Длина $AA_1$ равна длине $OA$"],"explanations":["Это признак осевой симметрии; при центральной точка $O$ лежит на самом отрезке $AA_1$","","Так бывает при повороте на другой угол; при пол-обороте лучи $OA$ и $OA_1$ противоположны","Отрезок $AA_1$ состоит из $OA$ и $OA_1$, поэтому $AA_1 = 2\\,OA$"],"answer":[1]}},"hints":["Пол-оборота — это поворот на $180^\\circ$: луч $OA$ переходит в противоположный луч.","Калька не растягивается, поэтому $OA_1 = OA$, а точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой.","Ответ: $O$ — середина отрезка $AA_1$."],"step":1},{"content":"Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$, $AO = 5$ см. Найдите длину $AA_1$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$O$ — середина отрезка $AA_1$.","$AA_1 = 2\\,AO = 10$ см."],"step":1}],"mix":1}

Образ треугольника — перевернутая копия

Без кальки образ точки строят линейкой и циркулем: проводят прямую $AO$ и на ней по другую сторону от $O$ откладывают отрезок $OA_1 = OA$. Чтобы построить образ треугольника $ABC$, достаточно построить образы трех вершин и соединить их.

Образ треугольника ABC при центральной симметрии с центром O; четырехугольник ABA_1B_1 — параллелограмм, поэтому A_1B_1 параллельна AB и равна ей — Треугольник $A_1B_1C_1$ — образ $ABC$; $ABA_1B_1$ — параллелограмм, поэтому $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = AB$

Треугольник $A_1B_1C_1$ выглядит как копия $ABC$, перевернутая «вверх ногами». Почему стороны остались прежней длины и стали параллельны своим образам? Посмотрите на четырехугольник $ABA_1B_1$. Его диагонали $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам — так построены образы. По признак параллелограмма $ABA_1B_1$ — параллелограмм. Значит, $A_1B_1 = AB$ и $A_1B_1 \parallel AB$. Так же $B_1C_1 = BC$ и $A_1C_1 = AC$.

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трем сторонам, поэтому равны и их углы. Если центр $O$ лежит на прямой $AB$, параллелограмма нет: $A_1$ и $B_1$ тоже на прямой $AB$, и она переходит в себя.

Свойства центральной симметрии

При центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок, угол — в равный угол, треугольник — в равный треугольник.

Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр, — в себя.

Пример 1

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, точка $O$ — середина стороны $AC$. Постройте образ треугольника относительно $O$ и найдите периметр фигуры, которую составляют треугольник и его образ.

Решение. Точка $O$ — середина $AC$, поэтому $A$ и $C$ меняются местами: образ $A$ — точка $C$, образ $C$ — точка $A$. Образ вершины $B$ строим: проводим прямую $BO$ и откладываем $OB_1 = OB$. Образ треугольника $ABC$ — треугольник $CB_1A$. Вместе они составляют четырехугольник $ABCB_1$, его диагонали $AC$ и $BB_1$ делятся точкой $O$ пополам, значит, это параллелограмм.

Симметрия сохраняет длины: $CB_1 = AB = 6$ см и $AB_1 = CB = 8$ см. Периметр $ABCB_1$: $6 + 8 + 6 + 8 = 28$ см. Это и есть удвоение медианы: $BO$ — медиана треугольника $ABC$, а $BB_1 = 2\,BO$.

Ответ: $28$ см.

Булавка O в середине стороны AC: образ точки B — точка B_1, треугольник ABC и его образ образуют параллелограмм ABCB_1 — Булавка в середине $AC$: треугольник и его образ составляют параллелограмм $ABCB_1$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Расположите по порядку действия, которыми находят образ точки $A$ при симметрии относительно центра $O$.[[sorter-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hxbtpsv0hjja.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Проведите прямую $AO$","Продлите ее за точку $O$","Циркулем с центром $O$ и радиусом $OA$ сделайте засечку на продолжении","Обозначьте точку засечки $A_1$"]}},"hints":["Образ лежит на прямой через $A$ и $O$: ее нужно провести первой.","Продолжаем прямую за центр и откладываем на ней $OA_1 = OA$ циркулем.","Точка засечки — образ $A_1$, и $O$ — середина отрезка $AA_1$."],"step":1},{"content":"Точка $O$ не лежит на прямой $AB$, $AB = 7$ см. При симметрии относительно $O$ отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, который [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["перпендикулярен $AB$ и равен $7$ см","параллелен $AB$ и равен $7$ см","лежит на прямой $AB$ и равен $7$ см","параллелен $AB$ и равен $14$ см"],"answer":1}},"hints":["$O$ — середина $AA_1$ и $BB_1$: диагонали четырехугольника $ABA_1B_1$ делятся точкой пересечения пополам.","Значит, $ABA_1B_1$ — параллелограмм: $A_1B_1 \\parallel AB$ и $A_1B_1 = AB$.","Ответ: параллелен $AB$ и равен $7$ см."],"step":1}],"mix":1}

Фигура, которая после пол-оборота ложится сама на себя

Воткнем булавку в середину отрезка $AB$ и повернем кальку на пол-оборота. Концы $A$ и $B$ поменяются местами, а весь отрезок ляжет сам на себя. Окружность ляжет на себя вокруг своего центра. У таких фигур есть особая точка.

Определение

Точка $O$ называется центром симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно $O$ точка тоже принадлежит фигуре. Говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Четыре фигуры с центром симметрии O: отрезок, параллелограмм, окружность и буква Z; точка K и симметричная ей K_1 лежат на одной прямой с O, OK равно OK_1 — У отрезка, параллелограмма, окружности и буквы $Z$ есть центр симметрии: пара точек $K$ и $K_1$ лежит на прямой через $O$ по разные стороны на равных расстояниях

Самый важный пример — параллелограмм $ABCD$. Его диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $A$ и $C$ симметричны относительно $O$, и $B$ и $D$ — тоже. Отрезок переходит в отрезок с концами в образах концов, поэтому сторона $AB$ переходит в сторону $CD$, а $BC$ — в $DA$. Весь параллелограмм ложится сам на себя.

Центр симметрии параллелограмма

Точка пересечения диагоналей параллелограмма — его центр симметрии.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке, это и есть его середина. Значит, точка пересечения медиан — центр симметрии треугольника».

Проверим. Треугольник $ABC$: $A(1;\,6)$, $B(-3;\,0)$, $C(5;\,0)$, медианы пересекаются в точке $G(1;\,2)$. Вершина $A$ на 4 клетки выше $G$, значит, ее образ $A_1(1;\,-2)$ — на 4 клетки ниже, вне треугольника, под стороной $BC$. Пол-оборота не положил треугольник на себя.

Где сломалось рассуждение: центр симметрии — не «середина на вид», а середина отрезков между точками и их образами. Вершина должна перейти в вершину, то есть вершины разбиваются на пары. У треугольника их три, поэтому центра симметрии у него нет.

Ошибка: образ треугольника ABC относительно точки пересечения медиан G не совпал с ABC, точка A_1 вышла за сторону BC — Пол-оборота вокруг точки пересечения медиан выносит вершину $A_1$ за сторону $BC$: у треугольника центра симметрии нет

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Где находится центр симметрии параллелограмма $ABCD$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wdyrfzht3cgi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["В точке пересечения высот","В точке пересечения диагоналей","В вершине тупого угла","В середине большей стороны"],"explanations":["Высоты не связаны с серединами диагоналей","","Вершина переходит в противоположную вершину, а не в себя","Середина стороны не является серединой отрезка «вершина — образ»"],"answer":[1]}},"hints":["Центр — середина любого отрезка между вершиной и ее образом.","Вершина $A$ переходит в $C$, значит, $O$ — середина $AC$; так же $O$ — середина $BD$.","Ответ: в точке пересечения диагоналей."],"step":1},{"content":"Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ равна $10$ см, $O$ — центр симметрии. Найдите длину $AO$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$O$ — середина диагонали $AC$.","$AO = AC : 2 = 5$ см."],"step":1},{"content":"Решавр утверждает: «Центр симметрии треугольника — точка пересечения его медиан». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Центр симметрии треугольника — середина большей стороны","Центр симметрии треугольника — точка пересечения высот","Центр симметрии есть, но только у равностороннего треугольника","Центра симметрии у треугольника нет"],"explanations":["Середина стороны не переводит треугольник в себя","Высоты тоже не пересекаются в такой точке: центра у треугольника нет","У равностороннего треугольника есть оси симметрии, а центра нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Если $O$ — центр симметрии, то образ каждой вершины — тоже вершина, а $O$ — середина отрезка между ними.","У треугольника три вершины: они не разбиваются на пары. Точка пересечения медиан не делит пополам ни одну из них.","Ответ: у треугольника центра симметрии нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Зеркало или булавка

Вы знаете еще осевую симметрию. Там лист перегибают по прямой, как будто ставят зеркало, а здесь кальку поворачивают вокруг булавки. Отсюда разница в построении и в том, что происходит с фигурой.

	Осевая симметрия (зеркало)	Центральная симметрия (булавка)
Что остается на месте	Все точки оси — прямой $a$	Одна точка — центр $O$
Что делаем с калькой	Перегибаем по прямой	Поворачиваем на пол-оборота
Где лежит образ $A_1$	На перпендикуляре к оси, ось делит $AA_1$ пополам	На прямой $AO$, центр $O$ — середина $AA_1$
Обход вершин	Меняется на противоположный	Сохраняется
Примеры фигур	Угол, равнобедренный треугольник	Параллелограмм, буквы Z, N, S

Слева зеркальный образ треугольника: обход вершин меняется на противоположный; справа образ при пол-обороте: обход вершин сохраняется — Зеркало меняет обход вершин, булавка — нет: слева обход у образа по часовой стрелке, справа — снова против

Ошибка

Точка $A$ — на 4 клетки правее и на 3 клетки выше точки $O$. Решавр строит точку, симметричную $A$ относительно $O$, и ставит ее на 4 клетки левее $O$ и на 3 клетки выше — «по другую сторону».

Проверим определение. Отрезок от $A$ до точки Решавра горизонтальный, его середина — на 3 клетки выше $O$. Точка $O$ не середина этого отрезка, значит, точки не симметричны относительно $O$.

Где сломалось рассуждение: Решавр отразил точку в вертикальной прямой, проходящей через $O$, — построил осевую симметрию. Булавка переводит луч в противоположный, поэтому меняются оба направления: верная точка $A_1$ — на 4 клетки левее и на 3 клетки ниже $O$.

Ошибка: образ точки A построен зеркально, середина отрезка не совпала с O; верный образ A_1 лежит на прямой AO за точкой O — Точка Решавра симметрична $A$ относительно прямой, а не точки $O$: середина ее отрезка с $A$ не совпадает с $O$

Интересный факт: две перпендикулярные оси дают центр

Скрыть

Если у фигуры есть две перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения — центр симметрии. Направим оси координат по осям симметрии. Отражение в первой оси переводит точку $(x;\,y)$ в $(-x;\,y)$, отражение во второй — в $(-x;\,-y)$. Это и есть точка, симметричная $(x;\,y)$ относительно начала координат. Поэтому у прямоугольника, ромба, квадрата, окружности и буквы $H$ есть и оси, и центр.

{"questions":[{"content":"Точка $A$ — на 2 клетки правее и на 5 клеток выше точки $O$. Решавр поставил $A_1$ на 2 клетки левее и на 5 клеток выше $O$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$A_1$ должна быть на 4 клетки левее и на 10 клеток ниже $O$","$A_1$ должна быть на 5 клеток левее и на 2 клетки ниже $O$","$A_1$ должна быть на 2 клетки левее и на 5 клеток ниже $O$","Ошибки нет: точка $A_1$ по другую сторону от $O$"],"explanations":["Удвоили сдвиги: от $O$ надо отложить столько же, сколько от $O$ до $A$","Переставили сдвиги: от $O$ надо отложить те же 2 и 5","","Середина отрезка $AA_1$ лежит выше $O$, поэтому $O$ не середина"],"answer":[2]}},"hints":["Центр должен быть серединой отрезка $AA_1$. Отрезок Решавра горизонтален, его середина — на 5 клеток выше $O$, а не в точке $O$.","Решавр отразил точку в вертикальной прямой через $O$: изменил только горизонтальное направление. Пол-оборот меняет оба.","Ответ: $A_1$ — на 2 клетки левее и на 5 клеток ниже $O$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какая из букв (в стандартном начертании без засечек) имеет центр симметрии, но не имеет ни одной оси симметрии?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Буква Z","Буква T","Буква E","Буква H"],"explanations":["","У буквы T есть ось, а центра нет","У буквы E есть ось, а центра нет","У буквы H есть и центр, и две оси"],"answer":[0]}},"hints":["Центр есть, если буква совпадает с собой после пол-оборота; ось — если совпадает при отражении.","Z совпадает при пол-обороте, а зеркало ее меняет.","Ответ: Z."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"У каких фигур есть только ось симметрии, у каких — только центр, а у каких — и то и другое? Буквы — в обычном начертании без засечек.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Только ось симметрии","Только центр симметрии","И ось, и центр"],"items":[["Острый угол","Равнобедренный треугольник"],["Буква Z","Буква N","Буква S"],["Прямоугольник","Окружность","Буква H"]]}},"instruction":"Распределите фигуры по группам","hints":["Ось — прямая, при перегибании по которой фигура совпадает с собой; центр — точка, при пол-обороте вокруг которой фигура совпадает с собой.","Угол и равнобедренный треугольник совпадают с собой только при перегибании; буквы Z, N, S — только при пол-обороте.","Прямоугольник, окружность и буква $H$ совпадают с собой и при перегибании, и при пол-обороте."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Булавка на координатной плоскости

Вернемся к опыту из начала урока. Пусть булавка в начале координат $O(0;\,0)$, а $A(3;\,2)$. От $O$ до $A$ — 3 шага вправо и 2 вверх, значит, до образа — 3 шага влево и 2 вниз: $A_1(-3;\,-2)$. Обе координаты сменили знак.

Если центр не в начале координат, рассуждаем так же: сделаем шаг от точки $A$ до центра $O$ и повторим этот шаг еще раз. По оси абсцисс шаг равен $x_0-x$, поэтому $x_1 = x_0 + (x_0-x) = 2x_0-x$. По оси ординат так же.

Правило

Точка, симметричная точке $A(x;\,y)$ относительно центра $O(x_0;\,y_0)$, имеет координаты

$$A_1(2x_0-x;\;2y_0-y)$$

Относительно начала координат: $A_1(-x;\,-y)$. Центр по паре симметричных точек — середина отрезка: $x_0 = \dfrac{x + x_1}{2}$, $y_0 = \dfrac{y + y_1}{2}$.

Пример 2

Найдите координаты точки, симметричной точке $A(-2;\,3)$ относительно точки $O(1;\,1)$.

Решение. Шаг от $A$ до $O$: по оси абсцисс $1-(-2) = 3$, по оси ординат $1-3 = -2$. Повторяем шаг от $O$: $x_1 = 1 + 3 = 4$, $y_1 = 1 + (-2) = -1$. По формуле так же: $2 \cdot 1-(-2) = 4$, $2 \cdot 1-3 = -1$.

Проверка: середина отрезка от $(-2;\,3)$ до $(4;\,-1)$ — точка $\left(\dfrac{-2 + 4}{2};\,\dfrac{3 + (-1)}{2}\right) = (1;\,1)$, это $O$.

Ответ: $A_1(4;\,-1)$.

Пример 3

Точки $C(-3;\,1)$ и $C_1(5;\,-3)$ симметричны относительно точки $O$, точки $D(0;\,2)$ и $D_1(2;\,-4)$ — тоже. Найдите центр $O$.

Решение. Центр — середина отрезка $CC_1$: $x_0 = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1$, $y_0 = \dfrac{1 + (-3)}{2} = -1$. Проверим по второй паре: середина $DD_1$ — точка $\left(\dfrac{0 + 2}{2};\,\dfrac{2 + (-4)}{2}\right) = (1;\,-1)$. Совпала: на рисунке это точка пересечения отрезков $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $O(1;\,-1)$.

Центр симметрии по двум парам точек: O — общая середина отрезков CC_1 и DD_1; точка, выбранная на глаз, мимо — Центр — общая середина отрезков $CC_1$ и $DD_1$; точка, выбранная «на глаз», не середина ни одного из них

Ошибка

В примере 3 Решавр ставит центр «на глаз» — в точку $(1;\,0)$: «она как раз посередине рисунка».

Проверим. Шаг от $C(-3;\,1)$ до $(1;\,0)$ — 4 клетки вправо и 1 вниз. Повторим его: получим $(5;\,-1)$, а не $C_1(5;\,-3)$. Значит, точки $C$ и $C_1$ не симметричны относительно $(1;\,0)$.

Где сломалось рассуждение: центр нельзя выбирать по виду фигуры. Он обязан быть серединой отрезка для каждой пары симметричных точек — его вычисляют или строят, а потом проверяют по второй паре.

{"questions":[{"content":"Точки $C(-2;\\,3)$ и $C_1(4;\\,-1)$ симметричны относительно точки $O$. Решавр берет $O(1;\\,0)$: «она посередине рисунка». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Центр — точка $(2;\\,2)$","Центр — точка $(3;\\,-2)$","Центр — точка $(1;\\,1)$, середина $CC_1$","Решавр прав: точка $(1;\\,0)$ посередине рисунка"],"explanations":["Это сумма координат без деления пополам","Это половина разности координат, а не их полусумма","","Центр выбирают не на глаз: шаг от $C$ до $(1;\\,0)$, повторенный дважды, дает $(4;\\,-3)$, а не $C_1$"],"answer":[2]}},"hints":["Центр — середина отрезка $CC_1$: $\\left(\\dfrac{-2 + 4}{2};\\,\\dfrac{3 + (-1)}{2}\\right) = (1;\\,1)$.","Проверка точки Решавра: шаг от $C$ до $(1;\\,0)$ — 3 вправо и 3 вниз, повторенный дважды он дает $(4;\\,-3)$, а не $C_1$.","Ответ: центр — точка $(1;\\,1)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Точка $A_1$ симметрична точке $A(3;\\,1)$ относительно точки $O(1;\\,2)$. Чему равна сумма координат точки $A_1$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$O$ — середина $AA_1$: $x_{A_1} = 2x_O-x_A$, $y_{A_1} = 2y_O-y_A$.","$x_{A_1} = 2 \\cdot 1-3 = -1$, $y_{A_1} = 2 \\cdot 2-1 = 3$.","Сумма: $-1 + 3 = 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Точки $A(1;\\,2)$ и $A_1(5;\\,6)$ симметричны относительно точки $O$. Чему равна сумма координат точки $O$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$O$ — середина отрезка $AA_1$.","$O\\left(\\dfrac{1 + 5}{2};\\,\\dfrac{2 + 6}{2}\\right) = O(3;\\,4)$.","Сумма: $3 + 4 = 7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почему у параллелограмма центр есть, а у трапеции нет

Вернемся к двери. Четыре створки — это два отрезка, которые пересекаются на оси двери и делятся ею пополам. Конец каждой створки после пол-оборота встает на конец противоположной: ось двери — середина каждой такой пары, то есть центр симметрии. У трехлопастного вентилятора против лопасти нет другой лопасти — центра симметрии нет.

С параллелограммом то же самое: его диагонали делятся пополам одной точкой, как створки двери. А у трапеции? Возьмем трапецию $ABCD$: $A(0;\,0)$, $B(2;\,4)$, $C(6;\,4)$, $D(8;\,0)$. Середина диагонали $AC$ — точка $P(3;\,2)$, середина $BD$ — точка $Q(5;\,2)$. Это разные точки: нет булавки, которая была бы серединой обеих диагоналей.

У трапеции нет центра симметрии: середины диагоналей P и Q различны; образ трапеции относительно P не совпадает с ней — основание 8 не помещается на основании 4 — У трапеции середины диагоналей $P$ и $Q$ различны; пол-оборота вокруг $P$ выносит образ $CD_1$ основания $AD$ за вершину $B$

Докажем, что центра нет ни в какой точке. Если бы он был, основание $AD$ перешло бы в сторону той же трапеции, параллельную $AD$ и равную ей. Параллельна $AD$ только сторона $BC$, но $BC = 4$, а $AD = 8$. Остался случай, когда $AD$ переходит в саму себя: тогда центр — середина $AD$, но вершина $B$ уйдет под основание $AD$, за пределы трапеции. Попробуйте булавку в точке $P$: образ $D$ — точка $D_1(-2;\,4)$, и отрезок $CD_1$ длиной 8 не помещается на стороне $BC$. Так для любой трапеции: ее основания не равны.

{"questions":[{"content":"Ученик говорит: «Центр симметрии трапеции — точка пересечения диагоналей, как у параллелограмма». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: у трапеции есть центр","Центр трапеции — середина ее средней линии","Диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам","Центр есть только у равнобедренной трапеции"],"explanations":["У трапеции основания не равны, и центра симметрии нет","Середины диагоналей различны: ни одна точка не является серединой обеих","","У равнобедренной трапеции есть ось, а основания не равны, поэтому центра нет"],"answer":[2]}},"hints":["Центр симметрии должен быть серединой отрезка между вершиной и ее образом, то есть серединой обеих диагоналей сразу.","У трапеции середины диагоналей — разные точки, а точка пересечения диагоналей делит их не пополам.","Ответ: диагонали трапеции точкой пересечения не делятся пополам."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какая из фигур не имеет центра симметрии?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Равносторонний треугольник","Окружность","Параллелограмм","Отрезок"],"explanations":["","Центр окружности — ее центр","Центр параллелограмма — точка пересечения диагоналей","Центр отрезка — его середина"],"answer":[0]}},"hints":["Центр симметрии — точка, при пол-обороте вокруг которой фигура совпадает с собой.","Отрезок, параллелограмм и окружность совпадают с собой; у треугольника такой точки нет.","Ответ: равносторонний треугольник."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Пол-оборота достраивает параллелограмм, поэтому длины и углы сохраняются, а прямая переходит в параллельную. Тем же пол-оборотом в следующих уроках докажем теорему Фалеса и свойства средней линии; задачи на клетках и на верные утверждения о симметрии есть в ОГЭ.

Часто задаваемые вопросы

Как проверить построение образа без кальки?

Проверьте два условия определения. Линейкой убедитесь, что точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой, а циркулем — что $OA_1 = OA$. Если не выполнено хотя бы одно условие, $O$ не середина $AA_1$.

Может ли у фигуры быть несколько центров симметрии?

Может. У прямой центр симметрии — любая ее точка: пол-оборота вокруг точки прямой кладет прямую на себя. А у отрезка, окружности и параллелограмма центр ровно один.

Почему у параллелограмма есть центр, но нет осей?

Центр дает свойство диагоналей: они делятся пополам. Ось требует, чтобы при перегибании стороны совпали, а у параллелограмма с неравными сторонами и непрямыми углами этого нет. Оси появляются у прямоугольника и ромба.

Награды за урок