Центральная симметрия

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Точки $M$ и $M_1$ симметричны относительно точки $O$, $MO = 3{,}4$ см. Найдите длину $MM_1$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["6,8","6.8"]}},"hints":["$O$ — середина отрезка $MM_1$.","$MM_1 = 2 \\cdot 3{,}4 = 6{,}8$ см."],"step":1},{"id":"1","content":"Точки $P$ и $P_1$ симметричны относительно точки $S$, $SP_1 = 8{,}5$ см. Найдите длину $PP_1$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["$S$ — середина отрезка $PP_1$.","$PP_1 = 2 \\cdot 8{,}5 = 17$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны вершины трапеции $A(0;\\,0)$, $B(2;\\,4)$, $C(6;\\,4)$, $D(10;\\,0)$. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Середина $AC$ — точка $(3;\\,2)$, середина $BD$ — точка $\\left(\\dfrac{2 + 10}{2};\\,\\dfrac{4 + 0}{2}\\right) = (6;\\,2)$.","Обе точки лежат на прямой $y = 2$, расстояние равно $6-3 = 3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Даны вершины трапеции $A(-2;\\,0)$, $B(0;\\,3)$, $C(2;\\,3)$, $D(8;\\,0)$. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Середина $AC$ — точка $\\left(\\dfrac{-2 + 2}{2};\\,\\dfrac{0 + 3}{2}\\right) = (0;\\,1{,}5)$, середина $BD$ — точка $\\left(\\dfrac{0 + 8}{2};\\,\\dfrac{3 + 0}{2}\\right) = (4;\\,1{,}5)$.","Обе точки лежат на прямой $y = 1{,}5$, расстояние равно $4-0 = 4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Найдите абсциссу точки $A_1$, симметричной точке $A(5;\\,-2)$ относительно точки $O(1;\\,3)$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["$O$ — середина $AA_1$: $x_{A_1} = 2x_O-x_A$.","$x_{A_1} = 2 \\cdot 1-5 = -3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите абсциссу точки $B_1$, симметричной точке $B(-4;\\,6)$ относительно точки $O(2;\\,-1)$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$O$ — середина $BB_1$: $x_{B_1} = 2x_O-x_B$.","$x_{B_1} = 2 \\cdot 2 + 4 = 8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Точки $A(-1;\\,4)$ и $A_1(7;\\,-2)$ симметричны относительно точки $O$. Найдите абсциссу точки $O$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$O$ — середина отрезка $AA_1$.","$x_O = \\dfrac{-1 + 7}{2} = 3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Точки $B(2;\\,-5)$ и $B_1(-6;\\,3)$ симметричны относительно точки $O$. Найдите абсциссу точки $O$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["$O$ — середина отрезка $BB_1$.","$x_O = \\dfrac{2 + (-6)}{2} = -2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Какая из фигур имеет центр симметрии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равнобедренная трапеция","Прямоугольник","Угол","Равнобедренный треугольник"],"explanations":["У нее есть ось симметрии, но центра нет","","У угла есть ось (биссектриса), но центра нет","У него есть ось симметрии, но центра нет"],"answer":[1]}},"hints":["Центр есть, если пол-оборот совмещает фигуру с собой.","Прямоугольник — частный случай параллелограмма: центр — точка пересечения диагоналей.","Ответ: прямоугольник."],"step":1},{"id":"5","content":"Какая из фигур имеет центр симметрии?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Правильный пятиугольник","Прямоугольная трапеция","Равносторонний треугольник","Ромб"],"explanations":["У него пять осей, а центра нет: число вершин нечетное","У нее нет ни оси, ни центра симметрии","У него есть три оси, но центра нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр есть, если пол-оборот совмещает фигуру с собой.","Ромб — параллелограмм: центр — точка пересечения диагоналей.","Ответ: ромб."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр строит точку $C_1$, симметричную $C$ относительно $O$: откладывает $OC_1 = OC$ на перпендикуляре к прямой $CO$ в точке $O$. Что неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Точка $C_1$ должна лежать на прямой $CO$ за точкой $O$","Нужно отложить $OC_1 = 2\\,OC$","Точку $C_1$ нужно отложить по ту же сторону от $O$, что и $C$","Ошибки нет: так строят образ точки"],"explanations":["","Тогда $O$ не станет серединой $CC_1$","Тогда $C_1 = C$: точки совпадут, а $O$ не будет серединой","Так получается поворот на $90^\\circ$, а не на $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Центр должен быть серединой отрезка $CC_1$, то есть $C$, $O$ и $C_1$ лежат на одной прямой.","На перпендикуляре точка $C_1$ при $OC_1 = OC$ дает равные расстояния, но не середину $CC_1$.","Ответ: $C_1$ нужно откладывать на продолжении $CO$ за точку $O$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Точка $B$ — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки $O$. Решавр строит точку $B_1$, симметричную $B$ относительно $O$, и ставит ее на 3 клетки левее и на 1 клетку выше $O$. Что неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$B_1$ должна быть на 1 клетку левее и на 3 клетки ниже $O$","$B_1$ должна быть на 6 клеток левее и на 2 клетки ниже $O$","$B_1$ должна быть на 3 клетки правее и на 1 клетку ниже $O$","$B_1$ должна быть на 3 клетки левее и на 1 клетку ниже $O$"],"explanations":["Переставили сдвиги: от $O$ надо отложить те же 3 и 1","Удвоили сдвиги: от $O$ надо отложить столько же, сколько от $O$ до $B$","Это отражение в горизонтальной прямой через $O$, а не пол-оборот",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр должен быть серединой отрезка $BB_1$. Отрезок Решавра горизонтален, его середина лежит на 1 клетку выше $O$, а не в самой точке $O$.","Решавр отразил точку в вертикальной прямой через $O$ — это осевая симметрия. Пол-оборот меняет направление по обеим осям.","Ответ: $B_1$ — на 3 клетки левее и на 1 клетку ниже $O$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько из букв H, S, X, L, T, O (в стандартном начертании без засечек) имеют центр симметрии? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Центр есть, если после пол-оборота буква совпадает с собой.","H, S, X, O совпадают с собой; L и T — нет.","Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько из букв S, N, H, E, Y, Z (в стандартном начертании без засечек) имеют центр симметрии? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Центр есть, если после пол-оборота буква совпадает с собой.","S, N, H, Z совпадают с собой; E и Y — нет.","Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Выберите все верные утверждения о преобразовании: пол-оборот вокруг точки $O$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["У окружности бесконечно много центров симметрии","Каждая точка плоскости совпадает со своим образом","Центр симметрии отрезка — его середина","Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит в себя"],"explanations":["Центр окружности единственный — ее центр","Со своим образом совпадает только центр","",""],"answer":[2,3]}},"hints":["Центр отрезка — середина; прямая через центр переходит в себя.","Образ точки совпадает с ней только у центра; у окружности центр один.","Верны: «Центр симметрии отрезка — его середина» и «Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит в себя»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Какие из утверждений о симметрии относительно точки верны? Выберите все.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Образ прямой, не проходящей через центр симметрии, параллелен этой прямой","У любого треугольника есть центр симметрии","Центр симметрии окружности — ее центр","Образ отрезка при центральной симметрии вдвое длиннее отрезка"],"explanations":["","У треугольника центра симметрии нет","","Центральная симметрия сохраняет длины"],"answer":[0,2]}},"hints":["Центр окружности — ее центр симметрии; образ прямой, не проходящей через центр, параллелен ей.","Треугольник центра не имеет; длины сохраняются.","Верны: «Центр симметрии окружности — ее центр» и «Образ прямой, не проходящей через центр симметрии, параллелен этой прямой»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При симметрии относительно точки $O$ точка $A$ переходит в точку $A_1$. Тогда точка $O$ — [[fill_choice-1]] отрезка $AA_1$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["середина","точка серединного перпендикуляра, но не середина","конец","любая точка"],"answer":0}},"hints":["По определению образ $A_1$ лежит на прямой $AO$ по другую сторону от $O$, и $OA_1 = OA$.","Значит, $O$ лежит на отрезке $AA_1$ и делит его пополам.","Ответ: середина."],"step":1},{"id":"9","content":"Точки $M$ и $M_1$ симметричны относительно точки $Q$. Значит, точка $Q$ лежит на отрезке $MM_1$ и делит его [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["под прямым углом","на любые две части","в отношении $1 : 2$","пополам"],"answer":3}},"hints":["По определению $M_1$ лежит на прямой $MQ$ по другую сторону от $Q$, и $QM_1 = QM$.","Значит, $Q$ — середина $MM_1$.","Ответ: пополам."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте каждую фигуру с видами симметрии, которые у нее есть.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Параллелограмм с неравными сторонами и непрямыми углами","Равнобедренный треугольник (не равносторонний)","Квадрат","Разносторонний треугольник"],"items":["Только центр симметрии","Только ось симметрии","И центр, и оси симметрии","Ни центра, ни оси симметрии"]}},"instruction":"Соотнесите фигуру и ее симметрию","hints":["Центр симметрии есть, если фигура совпадает с собой после пол-оборота; ось — если совпадает при перегибании по прямой.","Параллелограмм с неравными сторонами и непрямыми углами: пол-оборот вокруг точки пересечения диагоналей совмещает его с собой, а перегиб — нет. Равнобедренный треугольник: ось — высота к основанию, центра нет. Квадрат: центр и четыре оси. Разносторонний треугольник: ни центра, ни оси.","Ответ: параллелограмм — только центр; равнобедренный треугольник — только ось; квадрат — и центр, и оси; разносторонний треугольник — ни того, ни другого."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте каждую букву (печатную, без засечек) с видами симметрии, которые у нее есть.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Буква «И»","Буква «А»","Буква «Х»","Буква «Я»"],"items":["Только центр симметрии","Только ось симметрии","И центр, и оси симметрии","Ни центра, ни оси симметрии"]}},"instruction":"Соотнесите букву и ее симметрию","hints":["Центр симметрии есть, если буква совпадает с собой после пол-оборота; ось — если совпадает при перегибании по прямой.","«И» после пол-оборота совпадает с собой, оси нет. «А» имеет вертикальную ось, после пол-оборота встает вверх ногами. «Х» имеет и центр, и две оси. «Я» не имеет ни центра, ни оси.","Ответ: «И» — только центр; «А» — только ось; «Х» — и центр, и оси; «Я» — ни того, ни другого."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>