Карточки
Тесты
Зави
Ромб: свойства и признаки
Ромб: свойства и признаки
В уроке о параллелограмме вы собирали каркас из палочек с попарно равными противоположными сторонами. Теперь возьмем четыре равные палочки — получится ромб. Разберем, какие свойства дает равенство сторон, как ромб узнать и чем он отличается от похожего на него дельтоида. Простые задачи есть также в уроке «Ромб».
Вопрос для начала. Ромбический домкрат для автомобиля — четыре равных звена на шарнирах, а между двумя противоположными шарнирами проходит винт. Винт крутят, шарниры на его концах сходятся, площадка поднимается. Почему площадка все время остается точно над опорой, а винт — перпендикулярен линии подъема? Ответим в последнем разделе.
Четыре равные палочки всегда дают параллелограмм
Вспомним модель модуля: стороны — палочки, вершины — шарниры. Соберем каркас $ABCD$ из четырех палочек по $4$ дм. Он складывается: угол $A$ может быть $60^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$ или любым другим. Но в каждом положении противоположные палочки попарно равны, поэтому по признаку параллелограмма (противоположные стороны попарно равны) каркас остается параллелограммом.
Определение
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
Что закрепили, то и получили: закрепили равенство сторон, а углы остались свободными. Ромб — параллелограмм, поэтому все свойства параллелограмма достаются ему без доказательства: противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов $180^\circ$, диагонали точкой пересечения делятся пополам. При угле $90^\circ$ ромб становится квадратом — о нем следующий урок.
Равные палочки делают диагонали перпендикулярными
Натянем в каркасе нити-диагонали $AC$ и $BD$, точку их пересечения назовем $O$. Будем складывать каркас и измерять.
| Угол $A$ | $AC$, дм | $BD$, дм | $\angle AOB$ | $\angle BAC$ |
|---|---|---|---|---|
| $60^\circ$ | $\approx 6{,}9$ | $4$ | $90^\circ$ | $30^\circ$ |
| $90^\circ$ | $\approx 5{,}7$ | $\approx 5{,}7$ | $90^\circ$ | $45^\circ$ |
| $120^\circ$ | $4$ | $\approx 6{,}9$ | $90^\circ$ | $60^\circ$ |
Длины диагоналей меняются, а угол между ними все время прямой. И еще: угол $BAC$ всегда равен половине угла $A$. Вообразавр предлагает проверить это при любом угле: меняйте угол $A$ и следите за углами $AOB$ и $BAC$.
Теорема (свойство диагоналей ромба)
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
Каркас только подсказывает, а доказывает рассуждение с равнобедренным треугольником.
Доказательство
Дано: $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: $BD \perp AC$ и $\angle ABO = \angle CBO$.
Шаг 1. $AB = BC$ как стороны ромба, поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
Шаг 2. Ромб — параллелограмм, его диагонали делятся пополам: $AO = OC$. Значит, $BO$ — медиана треугольника $ABC$.
Шаг 3. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой (урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»). Поэтому $BO \perp AC$ и $\angle ABO = \angle CBO$. Для других углов рассуждение то же. Что и требовалось доказать.
Треугольники $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ прямоугольные и равны по трем сторонам. Угол ромба составлен из двух равных острых углов такого треугольника, а острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$. Поэтому если диагональ образует со стороной угол $\alpha$, то углы ромба равны $2\alpha$ и $180^\circ-2\alpha$.
Пример 1
В ромбе $ABCD$ угол $ABD$ равен $34^\circ$. Найдите углы ромба.
Решение. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам: $\angle ABC = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$. Сумма соседних углов $180^\circ$: $\angle BAD = 180^\circ-68^\circ = 112^\circ$. Противоположные углы равны: $\angle BCD = 112^\circ$, $\angle ADC = 68^\circ$.
Проверка. В прямоугольном треугольнике $AOB$ угол $BAO = 90^\circ-34^\circ = 56^\circ$, и это половина угла $A$: $112^\circ : 2 = 56^\circ$.
Ответ: $68^\circ$, $112^\circ$, $68^\circ$, $112^\circ$.
Ошибка
Ученик пишет: «Ромб — параллелограмм, диагонали у него делятся пополам. Значит, диагонали ромба равны».
Проверка на числах. Каркас из палочек по $4$ дм, $\angle A = 60^\circ$. Треугольник $ABD$ равнобедренный с углом $60^\circ$ между боковыми сторонами, значит, равносторонний: $BD = 4$ дм. В прямоугольном треугольнике $AOB$ угол $BAO$ равен $30^\circ$, а угол $ABO$ — $60^\circ$. Против большего угла лежит большая сторона, поэтому $AO > BO$ и $AC > BD$. Измерение дает $AC \approx 6{,}9$ дм.
Где сломалось. «Делятся пополам» значит, что каждая диагональ разделена на две равные части, а не что диагонали равны между собой. Равенство диагоналей закрепляет прямой угол (урок о прямоугольнике). У ромба они равны только при угле $90^\circ$, то есть у квадрата.
Диагонали ромба служат его осями симметрии
Перегнем ромб по прямой $BD$ (урок «Осевая симметрия»). Прямая $BD$ перпендикулярна $AC$ и делит ее пополам, поэтому вершина $A$ попадает точно в $C$. Сторона $AB$ ложится на $CB$, сторона $AD$ — на $CD$: половины совпадают. Так же при перегибе по $AC$ вершина $B$ попадает в $D$.
Свойство (симметрия ромба)
Прямые, на которых лежат диагонали ромба, — его оси симметрии. У ромба, который не является квадратом, осей симметрии две.
Сравним с параллелограммом со сторонами $4$ и $6$ дм. При перегибе по диагонали $BD$ углы $ABD$ и $CBD$ не равны, поэтому сторона $AB$ не ложится на $CB$: вершина $A$ уходит за пределы фигуры (красный пунктир на рисунке), половины не совпадают. Что закрепили, то и получили: равные палочки дали ромбу две оси. А пол-оборота кальки вокруг точки $O$ совмещает с собой и ромб, и любой параллелограмм.
Три способа убедиться, что перед вами ромб
Признак — обратный ход: по какому условию узнать, что четырехугольник — ромб. В модели каркаса вопрос такой: что закрепить в параллелограмме, чтобы он наверняка стал ромбом? Свойства подсказывают ответ: перпендикулярные диагонали или диагональ, которая делит угол пополам.
Теорема (признаки ромба)
1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он — ромб.
2. Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то он — ромб.
3. Если у четырехугольника все стороны равны, то он — ромб.
Доказательство (признаки 1 и 2)
Признак 1. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC \perp BD$. Диагонали параллелограмма делятся пополам: $AO = OC$. Прямоугольные треугольники $AOB$ и $COB$ равны по двум катетам ($AO = OC$, $BO$ — общий), поэтому $AB = CB$. Противоположные стороны параллелограмма равны: $CD = AB$, $DA = BC$. Все стороны равны — $ABCD$ ромб.
Признак 2. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAC = \angle DAC$. Углы $DAC$ и $BCA$ равны как накрест лежащие при $AD \parallel BC$ и секущей $AC$. Значит, $\angle BAC = \angle BCA$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Дальше — как в признаке 1.
Признак 3: у четырехугольника с равными сторонами противоположные стороны попарно равны. По признаку из урока о параллелограмме это параллелограмм, а с равными сторонами — ромб. Так устроен каркас из первого раздела.
Важно
В признаках 1 и 2 слово «параллелограмм» обязательно: равенство $AO = OC$ и параллельность $AD \parallel BC$ взяты из него. Что бывает без него, разберем в последнем разделе.
Пример 2
Докажите, что середины сторон прямоугольника — вершины ромба.
Решение. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ прямоугольника $ABCD$. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AK = KB = CM = MD$ и $BL = LC = DN = NA$. Углы $A$, $B$, $C$, $D$ прямые. Прямоугольные треугольники $AKN$, $BKL$, $CML$, $DMN$ равны по двум катетам, значит, $NK = KL = LM = MN$. У четырехугольника $KLMN$ все стороны равны — по признаку 3 это ромб.
Ответ: $KLMN$ — ромб, что и требовалось доказать.
Перпендикулярные диагонали без параллелограмма ничего не гарантируют
Уберем из признака 1 слово «параллелограмм»: «если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он — ромб». Это самая частая ошибка темы. Проверим на клетчатой бумаге.
Ошибка
Ученик пишет: «Диагонали четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны, значит, $ABCD$ — ромб».
Проверка на числах. Отметим на одной линии сетки точки $A$ и $C$ в $11$ клетках друг от друга и точку $O$ на $3$ клетки правее $A$. Точки $B$ и $D$ отметим на $4$ клетки выше и ниже $O$. Диагонали $AC$ и $BD$ идут по линиям сетки — они перпендикулярны. Но $AO = 3$, а $OC = 8$: диагональ $AC$ точкой $O$ пополам не делится. У параллелограмма диагонали делятся пополам, значит, $ABCD$ — не параллелограмм и не ромб. Это дельтоид (урок о параллелограмме): $AB = AD$ и $CB = CD$, потому что точки $B$ и $D$ симметричны относительно $AC$.
Где сломалось. В доказательстве признака 1 равенство $AO = OC$ взято из свойства параллелограмма. Здесь $AO \ne OC$, и равенство треугольников $AOB$ и $COB$ не получается: общий катет $BO$ есть, а катеты $AO = 3$ и $OC = 8$ разные.
Дельтоид обманывает и в признаке 2: его диагональ $AC$ — ось симметрии и делит углы $A$ и $C$ пополам. В модели каркаса у дельтоида равны только соседние палочки: $AB = AD$ и $CB = CD$. Две пары равных палочек — не четыре равные, параллелограмма нет. Что закрепили, то и получили.
Пример 3
Вернемся к домкрату. $A$ — шарнир на опоре, $C$ — шарнир под площадкой, винт соединяет шарниры $B$ и $D$, звенья по $20$ см. Почему площадка остается над опорой? На сколько она поднимется, если винтом уменьшить угол $BAD$ со $120^\circ$ до $60^\circ$?
Решение. Четыре звена равны, поэтому по признаку 3 каркас $ABCD$ — ромб в любом положении. Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой $O$ пополам: прямая $AC$ перпендикулярна винту $BD$ и проходит через его середину. Шарниры $B$ и $D$ сходятся симметрично относительно этой прямой, а опора $A$ и площадка $C$ все время лежат на ней.
При $\angle BAD = 120^\circ$ угол $ABC$ равен $60^\circ$, треугольник $ABC$ равнобедренный с углом $60^\circ$, то есть равносторонний: $AC = 20$ см. При $\angle BAD = 60^\circ$ равносторонним становится треугольник $ABD$: короткой диагональю стал винт, $BD = 20$ см. Это тот же ромб, повернутый на четверть оборота, поэтому теперь $AC$ — длинная диагональ ромба со стороной $20$ см. По таблице раздела 2 при стороне $4$ дм она около $6{,}9$ дм, у вдвое меньшего ромба — около $34{,}6$ см.
Ответ: площадка движется по прямой $AC$ — оси симметрии ромба, перпендикулярной винту; она поднимется примерно на $34{,}6-20 = 14{,}6$ см.
Вывод
Ромб встречается в домкратах, раздвижных решетках, узорах паркета. Свойства дают углы ромба без транспортира, признаки позволяют доказать, что фигура — ромб, а дельтоид напоминает: без параллелограмма перпендикулярные диагонали ничего не гарантируют. Чтобы вспомнить главное, представьте каркас из четырех равных палочек.
Часто задаваемые вопросы
У ромба равны все четыре стороны, и он параллелограмм. У дельтоида равны две пары соседних сторон, а противоположные стороны не параллельны, если это не ромб. Диагонали перпендикулярны у обоих, но у дельтоида пополам делится только одна.
Да: квадрат — параллелограмм, у которого все стороны равны. Все свойства ромба у него есть, а диагонали еще и равны. Подробно — в следующем уроке.
Да. Пусть угол $A$ острый. Высоты $BH$ и $BK$, проведенные из вершины $B$ к сторонам $AD$ и $CD$, отсекают прямоугольные треугольники $ABH$ и $CBK$. В них $AB = CB$ и $\angle A = \angle C$, поэтому треугольники равны по гипотенузе и острому углу (урок «Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства») и $BH = BK$.
Четыре равные стороны сами дают параллелограмм: противоположные стороны попарно равны. Перпендикулярные диагонали параллелограмма не дают: у дельтоида они перпендикулярны, а параллельных сторон нет.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий