Прямоугольник: свойства и признаки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $24^\\circ$ (см. рисунок). Найдите угол $CAD$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w72rofaixicd.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"66"}},"hints":["$\\angle BAD = 90^\\circ$ разбит диагональю на два угла.","$\\angle CAD = 90^\\circ-24^\\circ = 66^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\\circ$ (см. рисунок). Найдите угол $CAD$ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pkqqgdeig9vv.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"53"}},"hints":["$\\angle BAD = 90^\\circ$ разбит диагональю на два угла.","$\\angle CAD = 90^\\circ-37^\\circ = 53^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"Диагонали прямоугольника $ABCD$ (стороны $AB$ и $BC$ не равны) пересекаются в точке $O$. Треугольник $AOB$ — [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["равнобедренный","разносторонний","прямоугольный, прямой угол при вершине O","прямоугольный, прямой угол при вершине A"],"answer":0}},"hints":["Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.","Значит, $AO = BO = \\frac{AC}{2}$.","Ответ: треугольник $AOB$ равнобедренный."],"step":1},{"id":"2","content":"Диагонали прямоугольника $ABCD$ (стороны $AB$ и $BC$ не равны) пересекаются в точке $O$. Треугольник $BOC$ — [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["равнобедренный","прямоугольный, прямой угол при вершине O","прямоугольный, прямой угол при вершине B","разносторонний"],"answer":0}},"hints":["Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.","Значит, $BO = CO = \\frac{BD}{2}$.","Ответ: треугольник $BOC$ равнобедренный."],"step":1},{"id":"3","content":"Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У прямоугольника все стороны равны","Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам","Диагонали прямоугольника перпендикулярны","Каждая диагональ прямоугольника делит его угол пополам"],"explanations":["Равные стороны у квадрата, а у прямоугольника не обязательно","","Перпендикулярны диагонали ромба, у прямоугольника — только у квадрата","Это свойство ромба"],"answer":[1]}},"hints":["Диагонали прямоугольника — это диагонали параллелограмма: они делятся точкой пересечения пополам."]},{"id":"3","content":"Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Все углы прямоугольника прямые","Если в четырехугольнике два прямых угла, то он — прямоугольник","Диагонали прямоугольника не равны","Диагонали прямоугольника — биссектрисы его углов"],"explanations":["","Два прямых угла бывают у трапеции с боковой стороной, перпендикулярной основаниям","Равны — это свойство прямоугольника","Это свойство ромба"],"answer":[0]}},"hints":["Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом, соседние углы дают $180^\\circ$, значит, все углы прямые."]},{"id":"4","content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ медиана $CM$ проведена к гипотенузе, $AB = 24$. Найдите $CM$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Медиана к гипотенузе равна ее половине.","$CM = 24 : 2 = 12$."],"step":1},{"id":"4","content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ медиана $CM$ проведена к гипотенузе, $AB = 38$. Найдите $CM$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"19"}},"hints":["Медиана к гипотенузе равна ее половине.","$CM = 38 : 2 = 19$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\\angle AOB = 60^\\circ$, меньшая сторона $AB = 7$ (см. рисунок). Найдите диагональ $BD$. [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/itlc8umups4k.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$AO = BO$ как половины равных диагоналей, и $\\angle AOB = 60^\\circ$, значит, треугольник $AOB$ равносторонний: $AO = AB = 7$.","$BD = 2 \\cdot BO = 14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\\angle AOB = 60^\\circ$, меньшая сторона $AB = 9$ (см. рисунок). Найдите диагональ $BD$. [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fkhcedl1cbvh.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$AO = BO$ как половины равных диагоналей, и $\\angle AOB = 60^\\circ$, значит, треугольник $AOB$ равносторонний: $AO = AB = 9$.","$BD = 2 \\cdot BO = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Можно ли утверждать, что $ABCD$ — прямоугольник?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Да, если диагонали пересекаются под прямым углом","Нет: это может быть равнобокая трапеция","Да: диагонали прямоугольника равны","Нет: диагонали четырехугольника не могут быть равными"],"explanations":["Перпендикулярность диагоналей прямоугольника не обеспечивает; она бывает у ромба","","Это свойство прямоугольника, а обратное верно только для параллелограмма","Могут: у прямоугольника и у равнобокой трапеции они равны"],"answer":[1]}},"hints":["Признак прямоугольника требует, чтобы четырехугольник был параллелограммом.","Равнобокая трапеция имеет равные диагонали и не прямоугольник. Ответ: нельзя."],"step":1},{"id":"6","content":"В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$ и $AC = BD$. Можно ли утверждать, что $ABCD$ — прямоугольник?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Да: диагонали прямоугольника равны","Да, если диагонали пересекаются под прямым углом","Нет: такие стороны и диагонали не бывают равными","Нет: это может быть равнобокая трапеция"],"explanations":["Это свойство прямоугольника, а обратное верно только для параллелограмма","Перпендикулярность диагоналей прямого угла не дает: она бывает у ромба","Бывают: у прямоугольника и у равнобокой трапеции они равны",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак прямоугольника требует, чтобы четырехугольник был параллелограммом.","Равнобокая трапеция имеет равные боковые стороны и равные диагонали и не прямоугольник. Ответ: нельзя."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ медиана $CM$ равна половине стороны $AB$, $\\angle A = 35^\\circ$. Найдите $\\angle B$ в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"55"}},"hints":["Медиана равна половине стороны, к которой проведена, значит, $\\angle C = 90^\\circ$.","$\\angle B = 90^\\circ-35^\\circ = 55^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ медиана $CM$ равна половине стороны $AB$, $\\angle B = 28^\\circ$. Найдите $\\angle A$ в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"62"}},"hints":["Медиана равна половине стороны, к которой проведена, значит, $\\angle C = 90^\\circ$.","$\\angle A = 90^\\circ-28^\\circ = 62^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]Ученик рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = BD = 10$. Диагонали равны, значит, $ABCD$ — прямоугольник» (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/np3pgir93vmh.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: равные диагонали — признак прямоугольника","Ошибка в числе: диагонали должны быть $5$","Надо проверить, что диагонали перпендикулярны","Равные диагонали — признак только для параллелограмма, а здесь это не доказано"],"explanations":["У равнобокой трапеции диагонали тоже равны, но она не прямоугольник","Длина диагонали на вывод не влияет","Перпендикулярность нужна ромбу; для прямоугольника — параллелограмм и равные диагонали",""],"answer":[3]}},"hints":["Свойство «диагонали равны» обратимо только для параллелограмма.","На чертеже $ABCD$ — равнобокая трапеция: диагонали равны, а прямоугольника нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]Ученик рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = BD = 12$. Диагонали равны, значит, $ABCD$ — прямоугольник» (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cbkz9kvwpuxv.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо добавить, что стороны равны: тогда будет прямоугольник","Диагонали равны не $12$, а $6$","Ошибки нет: равные диагонали — признак прямоугольника","Равные диагонали — признак только для параллелограмма, а здесь это не доказано"],"explanations":["Равные стороны делают параллелограмм ромбом, а не прямоугольником; не хватает как раз «параллелограмма»","Длина диагонали на вывод не влияет","У равнобокой трапеции диагонали тоже равны, но она не прямоугольник",""],"answer":[3]}},"hints":["Свойство «диагонали равны» обратимо только для параллелограмма.","На чертеже — равнобокая трапеция: диагонали равны, но прямоугольником она не является."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В четырехугольнике $ABCD$ углы $A$, $B$, $C$ прямые. Расставьте шаги доказательства того, что $ABCD$ — прямоугольник, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$, значит, $\\angle D = 360^\\circ-3 \\cdot 90^\\circ = 90^\\circ$","Углы $A$ и $D$ прилежат к стороне $AD$, а $C$ и $D$ — к $CD$: $\\angle A + \\angle D = 180^\\circ$ и $\\angle C + \\angle D = 180^\\circ$, значит, $AB \\parallel DC$ и $AD \\parallel BC$","Противоположные стороны попарно параллельны, значит, $ABCD$ — параллелограмм","У параллелограмма $ABCD$ есть прямой угол, значит, он прямоугольник"]}},"hints":["Сначала найдите четвертый угол, затем покажите параллельность сторон.","Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник по определению."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В четырехугольнике $ABCD$ углы $B$, $C$, $D$ прямые. Расставьте шаги доказательства того, что $ABCD$ — прямоугольник, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$, значит, $\\angle A = 360^\\circ-3 \\cdot 90^\\circ = 90^\\circ$","Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, а $A$ и $D$ — к $AD$: $\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$ и $\\angle A + \\angle D = 180^\\circ$, значит, $AD \\parallel BC$ и $AB \\parallel DC$","Противоположные стороны попарно параллельны, значит, $ABCD$ — параллелограмм","У параллелограмма $ABCD$ есть прямой угол, значит, он прямоугольник"]}},"hints":["Сначала найдите четвертый угол, затем покажите параллельность сторон.","Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник по определению."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Ученик рассуждает: «В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Диагонали перпендикулярны, значит, $\\angle AOB = 90^\\circ$ и $\\angle OAB = 45^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Диагонали прямоугольника не пересекаются в одной точке","Угол $OAB$ равен $90^\\circ$, а не $45^\\circ$","Ошибки нет: диагонали прямоугольника перпендикулярны","Диагонали прямоугольника в общем случае не перпендикулярны"],"explanations":["Пересекаются в одной точке — в середине каждой","Угол $OAB$ — часть прямого угла $A$, поэтому меньше $90^\\circ$","Это свойство ромба, а не прямоугольника",""],"answer":[3]}},"hints":["Перпендикулярны диагонали ромба; у прямоугольника — только если он квадрат.","В обычном прямоугольнике $\\angle AOB \\ne 90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Ученик рассуждает: «В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Диагонали перпендикулярны, значит, $\\angle AOD = 90^\\circ$ и $\\angle ODA = 45^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Диагонали прямоугольника не равны","Диагонали прямоугольника в общем случае не перпендикулярны","Угол $ODA$ равен $90^\\circ$, а не $45^\\circ$","Ошибки нет: диагонали прямоугольника перпендикулярны"],"explanations":["Равны — это свойство прямоугольника","","Угол $ODA$ — часть прямого угла $D$, поэтому меньше $90^\\circ$","Это свойство ромба, а не прямоугольника"],"answer":[1]}},"hints":["Перпендикулярны диагонали ромба; у прямоугольника — только если он квадрат.","В обычном прямоугольнике $\\angle AOD \\ne 90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>