ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Прямоугольник
Мы уже познакомились с параллелограммом и его свойствами. Прямоугольник тоже относится к параллелограммам. Он обладают всеми его свойствами, но при этом имеет дополнительные признаки.
На этом уроке мы рассмотрим прямоугольник более детально и увидим, чем прямоугольник отличается от других параллелограммов.
Определение прямоугольника
С прямоугольником мы знакомы практически с самого детства — его форму имеют страницы тетрадей и книг, экраны большинства устройств, окна наших квартир и домов. Прямоугольные фигуры чаще всего попадаются нам в повседневной жизни.
Именно поэтому в самом начале обучения, когда мы еще учились читать и считать, с нами всегда рядом находился прямоугольник. Он помог нам познакомиться с такими понятиями как периметр и площадь еще в начальной школе.
Но прямоугольник интересен не только тем, что часто встречается в повседневной жизни. С точки зрения геометрии он относится к особой группе фигур и является частным случаем параллелограмма.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Если прямоугольник — это параллелограмм, значит, он обладает всеми его свойствами:
- противоположные стороны равны и параллельны,
- диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойство прямоугольника
Одним из отличительных признаков прямоугольника является равенство его диагоналей. Это свойство выполняется для любого прямоугольника и напрямую связано с тем, что его углы прямые. Рассмотрим доказательство этого утверждения.
В прямоугольнике диагонали равны.
Доказательство
Скрыть
Дано: $ABCD$ — прямоугольник.
Доказать: $AC = BD$.
Проведем диагонали $AC$ и $BD$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $DCB$.
- $ \triangle ABC$ и $ \triangle DCB$ — прямоугольные, так как $ABCD$ — прямоугольник, по условию.
- По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, значит, $AB = CD$.
- $AD$ — общая сторона для обоих треугольников.
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle ACD$ по двум катетам $ \Rightarrow$ $AC = BD$ как соответствующие элементы в равных треугольниках.
Что и требовалось доказать.
Задача
В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ составляет с прилежащей стороной $AD$ угол $40^\circ$.
Найдите угол между диагоналями прямоугольника.
Решение
Скрыть
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
По свойству диагоналей прямоугольника $AC = BD$, а $AO = OD = OC$, $ \Rightarrow$ треугольники $AOD$ и $DOC$ — равнобедренные.
Угол $CAD = 40^\circ$, по условию $ \Rightarrow$ $ADO = 40^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ $ \Rightarrow$ $AOD = 180^\circ -2 \cdot 40^\circ = 100^\circ$ (тупой).
Углы $AOD$ и $COD$ — смежные, значит, $\angle COD = 180^\circ -100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$.
Обратите внимание
Если в задаче не указывается какой конкретно угол между диагоналями нужно найти, значит, в ответ нужно записать величину острого угла. Это такое геометрическое положение, которое нужно знать.
Задачи такого типа часто используются в тестах, поэтому нужно обратить внимание на градусную меру получившегося угла, прежде чем дать ответ.
Обратное свойство
Свойство равенства диагоналей можно использовать и в обратном направлении, оно помогает распознать, что перед нами прямоугольник.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Доказательство
Скрыть
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, в котором $AC = BD$.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DCB$:
- $BC$ — общая сторона,
- $AB = DC$, по свойству параллелограмма,
- $AC = BD$, по условию.
$\triangle ABC = \triangle DCB$ по трем сторонам.
Тогда $\angle ABC = \angle DCB$. Но эти углы являются внутренними односторонними при прямых $AB \parallel CD$ и секущей $BC$, значит, они в сумме дают $180^\circ$.
Из равенства $\angle ABC = \angle DCB$ следует, что $\angle ABC =\angle DCB = 90^\circ$.
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, все углы равны $90^\circ$, следовательно, параллелограмм $ABCD$ — прямоугольник.
Что и требовалось доказать.
Задача
В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и равны по $7$ $см$. Угол $ACD$ равен $60^\circ$.
Найдите периметр треугольника $AOB$.
Решение
Скрыть
Так как в параллелограмме $ABCD$ диагонали равны, то $ABCD$ — прямоугольник. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам:
$AO = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5$ $см$, $OB = OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5$ $см$.
$ABCD$ — прямоугольник $ \Rightarrow$ $\triangle ACD$ прямоугольный.
$\angle ACD = 60^\circ$, по условию, значит, $\angle ACD = 30^\circ$.
Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы, поэтому $CD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5$ $см$.
Противоположные стороны прямоугольника равны, следовательно $AB = 3,5$ $см$.
В $\triangle AOB$ имеем $AO = OB = AB = 3,5$ $см$.
Периметр: $P_{\triangle AOB} = AO + OB + AB = 3 \cdot 3,5 = 10,5$ $см$.
Ответ: $P_{\triangle AOB} = 10,5$ $см$.
Симметрия прямоугольника
Прямоугольник — это фигура с высокой степенью симметрии. Его стороны и углы расположены так, что фигура полностью совмещается сама с собой при некоторых отражениях и поворотах. Рассмотрим подробнее, какие виды симметрии есть у прямоугольника.
Прямоугольник обладает двумя видами симметрии:
- Осевая симметрия — две оси симметрии проходят через середины противоположных сторон.
- Центральная симметрия — центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.
Благодаря этим свойствам прямоугольник можно отразить относительно этих осей или повернуть на $180^\circ$ вокруг центра, и он совместится сам с собой.
Окружности, связанные с прямоугольником
Прямоугольник можно рассматривать не только как частный случай параллелограмма, но и как фигуру, с которой связаны окружности.
Через его вершины можно провести описанную окружность, а при определенных условиях и вписанную. Эти свойства связаны с симметрией прямоугольника и равенством его углов.
Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность. Центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, а ее радиус равен половине длины диагонали прямоугольника.
Доказательство
Скрыть
В любом прямоугольнике диагонали делятся пополам, значит, $OA = OC = \dfrac{AC}{2}$ и $OB = OD = \dfrac{BD}{2}$.
В прямоугольнике диагонали равны: $AC = BD$. Следовательно, $OA = OC = OB = OD$, значит, точка $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $ \Rightarrow$ она является центром окружности, проходящей через $A$, $B$, $C$ и $D$.
Тогда радиус равен $R = OA = OC = OB = OD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$.
Что и требовалось доказать.
В обычный прямоугольник (с разными длинами сторон) вписать окружность невозможно, так как касания должны происходить одновременно с четырьмя сторонами, что требует равенства длин сторон.
Интересные факты
Представьте себе прямоугольник и точку где-то внутри него. Если соединить эту точку с вершинами прямоугольника, получатся четыре отрезка разной длины.
Так вот, оказывается, что если сложить квадраты длин двух отрезков, которые идут к противоположным вершинам, то получится то же самое, как если сложить квадраты длин двух других отрезков, идущих к оставшимся противоположным вершинам.
Формула выглядит так: $AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$,
где $P$ — любая точка внутри прямоугольника, а $A$, $B$, $C$, $D$ — его вершины.
Данный факт носит свое название: «Британская флаговая теорема».
Почему именно британская? Потому что, если нарисовать все эти отрезки и провести оси симметрии, то получится картинка, похожая на рисунок британского флага.
Еще один необычный факт связан с так называемым «золотым прямоугольником». Это прямоугольник, у которого отношение длины к ширине примерно равно 1,618 — числу, известному как золотое сечение.
Интересно, что если из такого прямоугольника вырезать квадрат, то оставшаяся часть снова будет золотым прямоугольником, только меньшего размера.
Повторяя этот процесс, можно построить спираль, похожую на узоры в раковинах, цветах и даже в строении галактик.
Художники и архитекторы любят золотой прямоугольник, потому что он «приятен глазу» — его форма выглядит гармоничной и сбалансированной.
Итак, прямоугольник — это не просто фигура с прямыми углами, а форма, в которой скрыто множество интересных свойств и удивительных закономерностей. Изучая их, мы видим, что даже самые привычные фигуры могут таить в себе неожиданные открытия.
Часто задаваемые вопросы
Да, это одно из его свойств.
Нет. Вписать окружность можно только в квадрат, у которого все стороны равны.
Да. Центр такой окружности находится в точке пересечения диагоналей.
Две. Каждая из которых проходит через середины противоположных сторон.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти