Ромб: свойства и признаки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Периметр ромба равен $52$. Найдите его сторону. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Все стороны ромба равны.","$52 : 4 = 13$."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр ромба равен $36$. Найдите его сторону. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Все стороны ромба равны.","$36 : 4 = 9$."],"step":1},{"id":"2","content":"В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $84^\\circ$. Найдите угол $BAC$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$.","$\\angle BAC = 84^\\circ : 2 = 42^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"В ромбе $ABCD$ угол $B$ равен $124^\\circ$. Найдите угол $ABD$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"62"}},"hints":["Диагональ $BD$ — биссектриса угла $B$.","$\\angle ABD = 124^\\circ : 2 = 62^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 16$, $BD = 12$. Тогда $AO =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$8$","$16$","$6$"],"answer":0}},"hints":["Ромб — параллелограмм, поэтому диагонали точкой пересечения делятся пополам.","$AO = AC : 2 = 16 : 2 = 8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 7$, $AO = 10$. Тогда $BD =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$7$","$14$","$20$"],"answer":1}},"hints":["Ромб — параллелограмм, поэтому диагонали точкой пересечения делятся пополам: $OD = BO$.","$BD = 2 \\cdot 7 = 14$."],"step":1},{"id":"4","content":"В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $64^\\circ$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Сопоставьте угол и его величину. Одна величина лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle BAO$","$\\angle AOB$","$\\angle BCD$"],"items":["$32^\\circ$","$90^\\circ$","$64^\\circ$","$116^\\circ$"]}},"instruction":"Сопоставьте угол и величину","hints":["Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$: $\\angle BAO = 64^\\circ : 2 = 32^\\circ$. Диагонали перпендикулярны: $\\angle AOB = 90^\\circ$.","Противоположные углы ромба равны: $\\angle BCD = \\angle A = 64^\\circ$. Лишнее — $116^\\circ$: это соседний угол $B$."],"step":1},{"id":"4","content":"В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $140^\\circ$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Сопоставьте угол и его величину. Одна величина лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\angle ABO$","$\\angle BOC$","$\\angle ADC$"],"items":["$70^\\circ$","$90^\\circ$","$140^\\circ$","$40^\\circ$"]}},"instruction":"Сопоставьте угол и величину","hints":["Диагональ $BD$ — биссектриса угла $B$: $\\angle ABO = 140^\\circ : 2 = 70^\\circ$. Диагонали перпендикулярны: $\\angle BOC = 90^\\circ$.","Противоположные углы ромба равны: $\\angle ADC = \\angle ABC = 140^\\circ$. Лишнее — $40^\\circ$: это соседний угол $A$."],"step":1},{"id":"5","content":"Ромб $ABCD$ не является квадратом, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Распределите треугольники.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Равнобедренный, но не прямоугольный","Прямоугольный, но не равнобедренный"],"items":[["$\\triangle ABD$","$\\triangle CBD$","$\\triangle ABC$"],["$\\triangle AOB$","$\\triangle BOC$","$\\triangle COD$"]]}},"instruction":"Распределите треугольники","hints":["Одна диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника: две их стороны — стороны ромба. Прямого угла в них нет, ведь угол ромба не прямой.","Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольники с вершиной $O$ прямоугольные. Их катеты — половины разных диагоналей, а у ромба, не являющегося квадратом, диагонали не равны."],"step":1},{"id":"5","content":"В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $60^\\circ$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Распределите треугольники.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Равносторонний","Прямоугольный"],"items":[["$\\triangle ABD$","$\\triangle CBD$"],["$\\triangle AOB$","$\\triangle AOD$","$\\triangle COD$"]]}},"instruction":"Распределите треугольники","hints":["Диагональ $BD$ делит ромб на два треугольника с равными сторонами $AB = AD$ и углом $60^\\circ$ между ними: они равносторонние.","Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольники с вершиной $O$ прямоугольные, а равносторонними они быть не могут."],"step":1},{"id":"6","content":"В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $100^\\circ$. Найдите угол $ACB$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Угол $C$ равен $\\angle A = 180^\\circ-100^\\circ = 80^\\circ$.","Диагональ $AC$ делит угол $C$ пополам: $\\angle ACB = 80^\\circ : 2 = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $130^\\circ$. Найдите угол $ACB$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Угол $C$ равен $\\angle A = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$.","Диагональ $AC$ делит угол $C$ пополам: $\\angle ACB = 50^\\circ : 2 = 25^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $ABD$ равен углу $ADB$. Что можно утверждать?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — квадрат","$ABCD$ — прямоугольник","$ABCD$ — ромб","Ничего определенного"],"explanations":["Для квадрата нужен еще прямой угол, а он не дан","Равные углы при диагонали не дают прямого угла; прямоугольником параллелограмм был бы при равных диагоналях","","Треугольник $ABD$ равнобедренный, поэтому $AB = AD$, а параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб"],"answer":[2]}},"hints":["Углы $ABD$ и $ADB$ прилежат к стороне $BD$ треугольника $ABD$. Они равны, значит, треугольник равнобедренный: $AB = AD$.","Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб."],"step":1},{"id":"7","content":"В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Что можно утверждать?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — равнобокая трапеция","$ABCD$ — ромб","$ABCD$ — прямоугольник","Ничего определенного"],"explanations":["Параллелограмм не может быть трапецией","","Биссектриса не дает прямых углов","Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, откуда $AB = BC$ и параллелограмм — ромб"],"answer":[1]}},"hints":["Накрест лежащие углы $\\angle CAD = \\angle ACB$, а $\\angle CAB = \\angle CAD$, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$.","Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб."],"step":1},{"id":"8","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC = CD$. Можно ли утверждать, что $ABCD$ — ромб?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Да: три стороны равны — значит, равна и четвертая","Нет: это может быть равнобокая трапеция","Да: $AB = CD$, противоположные стороны равны","Нет: такого четырехугольника не существует"],"explanations":["Не следует: у равнобокой трапеции три стороны могут быть равны, а основание $AD$ длиннее","","Одна пара равных противоположных сторон не дает параллелограмма: у равнобокой трапеции боковые стороны тоже равны","Существует: например, сам ромб или трапеция с тремя равными сторонами"],"answer":[1]}},"hints":["У ромба равны все четыре стороны, а о стороне $AD$ ничего не сказано.","Подходит равнобокая трапеция с основанием $AD$, у которой боковые стороны равны меньшему основанию: $AB = BC = CD$, а $AD$ длиннее. Ответ: нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$ и $CB = CD$. Можно ли утверждать, что $ABCD$ — ромб?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Да: $AB = AD$ — значит, и все остальные равны","Нет: такого четырехугольника не существует","Нет: это может быть дельтоид","Да: две пары равных сторон — это ромб"],"explanations":["Из равенства двух сторон равенство остальных не следует","Существует: дельтоид, например со сторонами $5$, $5$, $8$, $8$","","Ромб требует равенства всех четырех сторон"],"answer":[2]}},"hints":["У ромба равны все четыре стороны, а здесь равны только соседние пары.","Дельтоид со сторонами $5$, $5$, $8$, $8$ подходит под условие и не ромб. Ответ: нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $60^\\circ$, $AB = 6$. Диагонали ромба равны, поэтому $AC = BD = 6$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["У ромба, не квадрата, диагонали разные: $BD = 6$, $AC$ больше","Ошибка в $BD$: диагональ ромба не может равняться стороне","Ошибки нет: у ромба диагонали всегда равны между собой","Ошибка в $BD$: она равна $3$, половине стороны $AB$"],"explanations":["","Может: треугольник $ABD$ равносторонний, поэтому $BD = AB = 6$; неверно только $AC = 6$","Равные диагонали у прямоугольника; у ромба с острым углом одна диагональ короче другой","В равностороннем треугольнике $ABD$ сторона $BD = AB = 6$"],"answer":[0]}},"hints":["Треугольник $ABD$ равносторонний, поэтому $BD = 6$.","Диагонали ромба равны только у квадрата; здесь угол $A$ не прямой, и $AC > BD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $60^\\circ$, $AB = 10$. Диагонали ромба равны, поэтому $AC = BD = 10$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: у ромба диагонали всегда равны между собой","Ошибка в $BD$: она равна $5$, половине стороны $AB$","У ромба, не квадрата, диагонали разные: $BD = 10$, $AC$ больше","Ошибка в $AC$: обе диагонали ромба равны его стороне $10$"],"explanations":["Равные диагонали у прямоугольника; у ромба с острым углом одна диагональ короче другой","В равностороннем треугольнике $ABD$ сторона $BD = AB = 10$","","Только короткая диагональ при угле $60^\\circ$; вторая диагональ длиннее"],"answer":[2]}},"hints":["Треугольник $ABD$ равносторонний, поэтому $BD = 10$.","Диагонали ромба равны только у квадрата; здесь $AC > BD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали перпендикулярны, значит, $ABCD$ — ромб». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что диагонали ромба равны","Признак верен только для параллелограмма, а здесь это не проверено","Ошибки нет: перпендикулярные диагонали — признак ромба","Перпендикулярность диагоналей надо было доказать, а не брать из условия"],"explanations":["Диагонали ромба не равны (кроме квадрата)","","Для дельтоида признак не работает: нужен параллелограмм","Она дана в условии"],"answer":[1]}},"hints":["Признак ромба верен для параллелограмма.","Дельтоид имеет перпендикулярные диагонали и не ромб — параллелограммом он не является."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали перпендикулярны, а точка их пересечения $O$ — середина $BD$. Значит, $ABCD$ — ромб». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Надо еще доказать, что диагонали ромба равны между собой","Ошибки нет: перпендикулярность и середина $BD$ дают ромб","Пополам должна делиться и $AC$, иначе это дельтоид, а не ромб","Ошибка в том, что у ромба диагонали не перпендикулярны"],"explanations":["Равные диагонали — признак прямоугольника; ромб с равными диагоналями — уже квадрат","У дельтоида $AC \\perp BD$ и $BO = OD$, но $AO \\ne OC$ и соседние стороны разные — это не ромб","","Перпендикулярны: это свойство ромба; ошибка в том, что не доказан параллелограмм"],"answer":[2]}},"hints":["Признак ромба через перпендикулярные диагонали верен для параллелограмма, а у параллелограмма пополам делятся обе диагонали.","Здесь пополам делится только $BD$. У дельтоида $AC \\perp BD$ и $BO = OD$, но $AO \\ne OC$ — это не ромб."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>