Карточки
Тесты
Зави
Прямоугольник: свойства и признаки
Прямоугольник: свойства и признаки
В уроке о параллелограмме вы узнали, что параллелограмм можно складывать. Прямоугольник — параллелограмм, у которого закрепили прямой угол. Разберем, какие свойства это дает, по каким признакам прямоугольник узнают и как он помогает решать задачи о прямоугольном треугольнике. Простые задачи есть также в уроке «Прямоугольник».
Вопрос для начала. Фундамент дома размечают колышками и шнуром. Угольника размером с дом нет, есть только рулетка. Как одной рулеткой проверить, что углы фундамента прямые? Ответим в последнем разделе.
Закрепили один прямой угол — прямыми стали все четыре
Вспомним модель модуля: стороны четырехугольника — палочки, вершины — шарниры. Возьмем каркас параллелограмма $ABCD$ из палочек $AB = CD = 4$ дм и $AD = BC = 6$ дм. Каркас складывается: длины палочек и параллельность противоположных палочек сохраняются, а угол $A$ меняется. На рисунке три положения: $\angle A = 60^\circ$, $90^\circ$ и $120^\circ$.
В среднем положении угол $A$ прямой — и остальные углы тоже прямые. Это не случайность рисунка. У параллелограмма соседние углы в сумме дают $180^\circ$, а противоположные равны. Если $\angle A = 90^\circ$, то $\angle B = \angle D = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ$ и $\angle C = \angle A = 90^\circ$.
Определение
Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть прямой угол.
Свойство (углы прямоугольника)
Все углы прямоугольника прямые.
Что закрепили, то и получили: один прямой угол в каркасе-параллелограмме закрепляет все четыре. Прямоугольник остается параллелограммом, поэтому у него есть все свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Важно
Одним прямым углом закрепляются все углы только у параллелограмма. У трапеции с боковой стороной, перпендикулярной основаниям (прямоугольной), два прямых угла, а два других не прямые: $AB$ и $CD$ не параллельны.
Прямой угол делает диагонали равными
Натянем в каркасе две нити между противоположными шарнирами — это диагонали $AC$ и $BD$. Будем складывать каркас и измерять их длины.
При $\angle A = 60^\circ$ диагональ $BD$ примерно $5{,}3$ дм, а $AC$ — примерно $8{,}7$ дм. При $\angle A = 120^\circ$ диагонали поменялись ролями. Посередине, при $\angle A = 90^\circ$, обе диагонали примерно по $7{,}2$ дм. Проверьте сами: меняйте угол шарнира и следите за разностью диагоналей.
Теорема (свойство диагоналей прямоугольника)
Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство
Дано: $ABCD$ — прямоугольник. Доказать: $AC = BD$.
Шаг 1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $DCA$. $AB = DC$ как противоположные стороны параллелограмма, $AD$ — общая сторона.
Шаг 2. $\angle BAD = \angle CDA = 90^\circ$ как углы прямоугольника.
Шаг 3. $\triangle ABD = \triangle DCA$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $BD = CA$. Что и требовалось доказать.
Где в доказательстве нужен прямой угол? В шаге 2 углы $A$ и $D$ должны быть равны. В сложенном каркасе это соседние углы, например $60^\circ$ и $120^\circ$: равенства нет, рассуждение не проходит, и диагонали на рисунке разные. Соседние углы параллелограмма равны только тогда, когда оба прямые.
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения $O$ пополам, поэтому $OA = OB = OC = OD$. Треугольники $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ равнобедренные — на этом построены многие задачи.
Пример 1
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = 40^\circ$. Найдите углы, которые диагональ $AC$ образует со сторонами $AB$ и $AD$.
Решение. $OA = OB$ как половины равных диагоналей, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный и углы при его основании $AB$ равны: $\angle OAB = (180^\circ-40^\circ) : 2 = 70^\circ$. Угол $A$ прямоугольника прямой, поэтому $\angle OAD = 90^\circ-70^\circ = 20^\circ$.
Ответ: $70^\circ$ и $20^\circ$.
Ошибка
Ученик пишет: «Диагонали прямоугольника перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$ и $\angle OAB = 45^\circ$».
Проверка на числах. В примере 1 $\angle AOB = 40^\circ$, а диагональ $AC$ делит прямой угол $A$ на $70^\circ$ и $20^\circ$ — не пополам.
Где сломалось. Перпендикулярные диагонали, которые делят углы пополам, — свойство ромба, у которого закреплены равные палочки (следующий урок). В прямоугольнике закрепили угол, а не длины сторон. Его диагонали перпендикулярны, только если соседние стороны тоже равны, то есть у квадрата.
Три способа убедиться, что перед вами прямоугольник
Свойство говорит, что есть у каждого прямоугольника. Признак — обратный ход: по какому условию узнать, что четырехугольник — прямоугольник. В модели каркаса вопрос звучит так: что закрепить, чтобы каркас наверняка стал прямоугольным?
Теорема (признаки прямоугольника)
1. Если у параллелограмма есть прямой угол, то он — прямоугольник.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник.
3. Если у четырехугольника три угла прямые, то он — прямоугольник.
Первый признак — это определение. Второй — свойство диагоналей, прочитанное наоборот: в сложенном каркасе диагонали разные и сравниваются только при прямом угле. Теперь закрепляем не угол, а равенство диагоналей, и получаем прямой угол. Докажем это.
Доказательство (признак 2)
Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC = BD$. Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.
Шаг 1. В треугольниках $ABD$ и $DCA$: $AB = DC$ как противоположные стороны параллелограмма, $BD = CA$ по условию, $AD$ — общая сторона. Треугольники равны по трем сторонам, поэтому $\angle BAD = \angle CDA$.
Шаг 2. Углы $A$ и $D$ — соседние углы параллелограмма: они односторонние при параллельных $AB$ и $DC$ и секущей $AD$, поэтому $\angle A + \angle D = 180^\circ$.
Шаг 3. Два равных угла в сумме дают $180^\circ$, значит, каждый равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Что и требовалось доказать.
Третий признак. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$ (урок о четырехугольнике), поэтому четвертый угол равен $360^\circ-3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$. Углы $A$ и $B$ — односторонние при прямых $AD$, $BC$ и секущей $AB$, их сумма $180^\circ$, значит, $AD \parallel BC$. Так же из углов $A$ и $D$ получаем $AB \parallel DC$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.
Важно
В признаке 2 слово «параллелограмм» обязательно: шаг 2 опирается на $AB \parallel DC$. Что получается без него, разберем в последнем разделе.
Пример 2
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и $OA = OB$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.
Решение. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AC = 2 \cdot OA$ и $BD = 2 \cdot OB$. Так как $OA = OB$, получаем $AC = BD$. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник (признак 2).
Ответ: $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.
Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника
Диагональ разрезает прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Сделаем обратный ход: возьмем прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и достроим его до прямоугольника. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную $BC$, через точку $B$ — прямую, параллельную $AC$. Они пересекутся в точке $D$.
У четырехугольника $ACBD$ противоположные стороны параллельны, значит, это параллелограмм, а угол $C$ прямой — прямоугольник. Его диагонали — гипотенуза $AB$ и отрезок $CD$. Они равны и в точке пересечения делятся пополам. Эта точка — середина $M$ гипотенузы, поэтому $CM$ — медиана треугольника $ABC$ и $CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$.
Теорема (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
В уроке «Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства» ее доказывали двумя равнобедренными треугольниками. Достраивание дает второе доказательство и подсказывает обратную теорему: медиана — половина одной диагонали каркаса, гипотенуза — другая, а равные диагонали бывают только при прямом угле.
Теорема (обратная)
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, лежащий против этой стороны, прямой.
Доказательство
Дано: в треугольнике $ABC$ медиана $CM$, $CM = \frac{1}{2}AB$. Доказать: $\angle ACB = 90^\circ$.
Шаг 1. Продлим $CM$ за точку $M$ и отложим $MD = MC$.
Шаг 2. В четырехугольнике $ACBD$ диагонали $AB$ и $CD$ точкой $M$ делятся пополам: $AM = MB$, $CM = MD$. По признаку из урока о параллелограмме $ACBD$ — параллелограмм.
Шаг 3. $CD = 2 \cdot CM = AB$, то есть диагонали параллелограмма равны. По признаку 2 $ACBD$ — прямоугольник, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенуза $AB = 16$, $\angle B = 60^\circ$, $CM$ — медиана. Найдите $CM$ и периметр треугольника $BMC$.
Решение. Медиана к гипотенузе равна ее половине: $CM = 16 : 2 = 8$. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $MB = 8$. Треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB = MC$), углы при основании $BC$ равны: $\angle MCB = \angle B = 60^\circ$. Третий угол тоже $60^\circ$, треугольник равносторонний, $BC = 8$. Периметр: $8 + 8 + 8 = 24$.
Проверка. $\angle A = 90^\circ-60^\circ = 30^\circ$, а катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $BC = 8$ — сходится.
Ответ: $CM = 8$, периметр $24$.
Равные диагонали без параллелограмма ничего не гарантируют
Уберем из признака 2 слово «параллелограмм»: «четырехугольник с равными диагоналями — прямоугольник». Это утверждение часто считают верным. Проверим на клетчатой бумаге.
Ошибка
Ученик пишет: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны, значит, $ABCD$ — прямоугольник».
Проверка на числах. Отметим на одной линии сетки точки $A$ и $D$ в 8 клетках друг от друга. На 4 клетки выше отметим $B$ — на 2 клетки правее $A$ — и $C$ — на 2 клетки левее $D$. Диагональ $AC$ идет на 6 клеток вправо и 4 вверх, диагональ $BD$ — на 6 клеток вправо и 4 вниз. Опустим на $AD$ перпендикуляры $CH$ и $BK$ по линиям сетки. Прямоугольные треугольники $AHC$ и $DKB$ равны по двум катетам: $AH = DK = 6$, $HC = KB = 4$, поэтому $AC = BD$. Но угол $A$ не прямой: сторона $AB$ идет не вверх по линии сетки, а с наклоном. Это равнобокая трапеция: $BC \parallel AD$, $AB = CD$, но $AB \nparallel CD$.
Где сломалось. В доказательстве признака шаг 1 проходит и здесь: треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по трем сторонам, $\angle A = \angle D$. Ломается шаг 2: «$\angle A + \angle D = 180^\circ$» требует $AB \parallel DC$. У трапеции углы $A$ и $D$ прилежат к одному основанию: они равны, но острые.
В модели каркаса у трапеции параллельна только одна пара палочек. Равные диагонали закрепили лишь равенство углов при основании, а прямого угла не дали. Что закрепили, то и получили. Сравним диагонали фигур модуля.
Пример 4
Вернемся к фундаменту. Колышки $A$, $B$, $C$, $D$ отмечают углы дома размером 12 × 8 м. Как проверить рулеткой, что углы прямые?
Решение. Сначала измеряем противоположные стороны: $AB = CD = 12$ м, $BC = AD = 8$ м. Противоположные стороны попарно равны, значит, $ABCD$ — параллелограмм (признак из урока о параллелограмме). Затем измеряем диагонали: $AC = 14{,}7$ м, $BD = 14{,}1$ м. Они не равны, поэтому углы не прямые: каркас-параллелограмм слегка сложен. Колышки сдвигают, не меняя сторон, пока диагонали не сравняются (около $14{,}4$ м). Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
Ответ: сравнить противоположные стороны, затем диагонали. Одних диагоналей мало: это может быть равнобокая трапеция.
Вывод
Прямые углы нужны в рамах, полках, фундаментах. Свойства дают углы и отрезки без транспортира, признаки позволяют проверить прямоугольность рулеткой, а достраивание до прямоугольника решает задачи о медиане. Чтобы вспомнить главное, представьте каркас-параллелограмм, у которого закрепили прямой угол.
Часто задаваемые вопросы
Свойство: «если это прямоугольник, то…» — диагонали равны, углы прямые. Признак: «если выполнено условие, то это прямоугольник». Признак «диагонали равны» верен только для параллелограмма.
Да. Квадрат — параллелограмм с прямым углом, у которого к тому же равны соседние стороны. Все свойства прямоугольника у него есть.
Диагонали перпендикулярны, только если соседние стороны равны, — это квадрат. В примере 1 угол между диагоналями $40^\circ$.
Одинаковые шаги по клеткам у противоположных сторон — параллелограмм. Затем проверьте один прямой угол: если стороны идут по линиям сетки, он прямой; наклонный угол так не проверить.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий