Ромб

Мы уже познакомились с параллелограммом и узнали, что у него есть особые «родственники». Одного из них мы успели изучить — это прямоугольник: параллелограмм, у которого все углы прямые.

На этом уроке мы рассмотрим еще один интересный случай и разберемся, чем он отличается от обычного параллелограмма. Речь пойдет о ромбе.

Определение ромба

Ромб — это еще один вид параллелограмма, который сохраняет все его свойства. Но у него есть свой признак, отличающий его от прямоугольника и от параллелограмма в общем виде.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На чертежах ромб изображают по-разному, и во всех случаях нужно помнить о равенстве его сторон.

Если в ромбе хотя бы один угол равен $90^\circ$, то по свойству параллелограмма противоположный угол будет равен ему.

Два оставшихся угла составляют с ним пару односторонних углов (противоположные стороны также параллельны), поэтому они тоже равны $90^{\circ}$.

Получается, что у такого ромба все углы прямые, и такой ромб «превратится» в квадрат.

{"questions":[{"content":"Какое определение подходит для ромба?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/skai-p-za-kompyuterom-sidyat.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Четырехугольник, у которого все углы прямые.","Параллелограмм, у которого все стороны равны.","Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и углы прямые.","Параллелограмм, у которого диагонали равны."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что ромб — это разновидность параллелограмма.","Главный признак ромба связан не с углами, а со сторонами."]}],"mix":1}

Свойство ромба № 1

У ромба, как и у любого параллелограмма, противоположные стороны параллельны, а противоположные углы равны. Но есть и особые свойства, которые отличают ромб от других параллелограммов.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Доказательство

Скрыть

Дано: ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Доказать: $AC \perp BD$.

$ABCD$, по условию, ромб, значит, все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$.

Так как ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них:

• $AB = CB$ (стороны ромба),
• $AO = CO$, по свойству диагоналей параллелограмма,
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по трем сторонам $\Rightarrow$ $\angle AOB = \angle BOC$.

$\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, значит, каждый из этих углов равен $90^\circ$.

Значит, $AC \perp BD$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $\\angle ABO = 70^{\\circ}$. Найдите $\\angle BAO$.[[choice-4]][[image-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":""},"choice-4":{"type":"choice","options":["$10^{\\circ}$","$20^{\\circ}$","$30^{\\circ}$","$40^{\\circ}$"],"answer":[1]},"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/08/4-01-12.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Вспомните свойство диагоналей ромба.","Диагонали ромба перпендикулярны $\\Rightarrow$ $\\angle AOB = 90^{\\circ}$ и $\\triangle AOB$ — прямоугольный . <br />","Используйте теорему о сумме острых углов прямоугольного треугольника.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\\circ}$, поэтому $\\angle ABO =  90^{\\circ} -70^{\\circ} = 20^{\\circ}$.<br />Ответ: $\\angle ABO = 20^{\\circ}$."]}]}

Свойство ромба № 2

Диагонали ромба не только пересекаются под прямым углом, они еще обладают и другим полезным свойством.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Доказательство

Скрыть

Дано: ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Доказать: $AC$ и $BD$ — биссектрисы.

$ABCD$, по условию, ромб, значит, все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$.

Так как ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них:

• $AB = CB$ (стороны ромба),
• $AO = CO$, по свойству диагоналей параллелограмма,
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по трем сторонам $\Rightarrow$ $\angle ABO = \angle CBO$ $\Rightarrow$ $AC$ — делит $\angle ABC$ на две равные части.

Аналогично доказывается равенство других углов.

Отрезки, которые выходят из вершин фигур и делят углы пополам, являются биссектрисами, значит, $AC$ и $BD$ — биссектрисы.

Что и требовалось доказать.

Задача

В ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $\angle ABC = 130^{\circ}$.

Найдите $\angle OCD$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какое из утверждений о диагоналях любого ромба неверно?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/lawyer-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Пересекаются под прямым углом.","Делят углы ромба пополам.","Равны.","Делятся точкой пересечения пополам."],"explanations":["","","Верно только для квадрата, а не для всякого ромба.",""],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по двум свойствам диагоналей ромба.","Вспомните частным случаем какой фигуры является ромб."]}],"mix":1}

Симметрия ромба и окружности

Ромб очень любит симметрию. Представьте, что вы складываете его как открытку по одной из диагоналей — половинки совпадают. То же самое произойдет и по второй диагонали. Значит, у ромба две оси симметрии — его диагонали.

В точке их пересечения диагоналей $O$, есть еще один эффект: если повернуть ромб вокруг $O$ на $180^{\circ}$, фигура совпадет сама с собой. Это и есть центральная симметрия.

В любой ромб можно вписать окружность: она будет касаться всех четырех сторон. Ее центр находится в точке $O$, потому что диагонали делят углы пополам, а значит, $O$ равноудалена от всех сторон.

Радиус такой окружности удобен: $r=\dfrac{h}{2}$, где $h$ — высота ромба.

А вот описать окружность вокруг обычного ромба (чтобы она прошла через все вершины) не получится.

{"questions":[{"content":"Высота ромба равна $10$ $см$. Чему равен радиус вписанной в этот ромб окружности?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10$ $см$","$20$ $см$","$5$ $см$","$15$ $см$"],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"298"}},"hints":["В ромбе радиус вписанной окружности связан с его высотой.","Используйте формулу $r=\\dfrac{h}{2}$."]}]}

Это интересно

Ромб получил свое имя из греческого rhombos — так древние называли крутилку-шумелку, вроде «вертушки», которая гудит на ветру. Слово перекочевало в математику и закрепилось за знакомой нам фигурой.

Если уложить одинаковые ромбы «елочкой», получится знаменитая «ромбическая мостовая». Смотришь — и глаз видит то выступающие, то проваливающиеся объемные блоки, хотя рисунок совершенно плоский.

Это классическая оптическая иллюзия.

В $1970$-е Роджер Пенроуз предложил мозаики всего из двух ромбов — «тонкого» и «толстого».

По специальным правилам их можно выкладывать бесконечно, и рисунок никогда не повторится. Красиво и очень необычно.

В классической геометрии у ромба есть еще одно интересное свойство: если соединить середины его сторон — получится прямоугольник.

Это частный случай теоремы Вариньона: у любого четырехугольника середины сторон образуют параллелограмм, а у ромба он выходит прямоугольным.

От древней вертушки до неповторяющихся узоров: ромб показывает, как математика живет в орнаментах, архитектуре и наших глазах.

Часто задаваемые вопросы