ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Площадь многоугольника
Мы уже познакомились с разными фигурами — от простых четырехугольников до самых разнообразных многоугольников.
Пора разобраться с еще одной важной характеристикой: площадью. Ведь фигуры могут быть одинаковыми по форме, но занимать разное место на плоскости. Чтобы уметь сравнивать и вычислять их размеры, нужно понимать, что такое площадь и как ее находить.
Понятие площади
В жизни мы постоянно сталкиваемся с задачами, где важно знать, сколько места занимает та или иная часть пространства на плоскости.
Например, если нужно постелить паркет в комнате с выступами и углами, то знать длину и ширину стен недостаточно. Нужно посчитать именно площадь пола, чтобы понять, сколько дощечек определенного размера потребуется для полного его покрытия.
Если взять меньше — паркет не застелет всю поверхность, а если купить слишком много — останется ненужный запас.
Представьте, у фермера есть участок земли. Если площадь маленькая — хватит места только для грядки с картошкой. А если участок большой — можно посадить пшеницу, разбить сад, а еще устроить загон для коз или даже пастбище для лошадей.
Но чтобы заранее понять, сколько именно семян купить или сколько животных можно прокормить на этом участке, фермеру нужно уметь вычислять площадь своего фермерского участка. Одним словом, именно площадь решает: будет у фермера ужин в виде трех картофелин или целый обед с молоком, яблоками и жареной картошкой.
В жизни не всегда участок земли или комната имеют форму правильного прямоугольника. Иногда нам приходится иметь дело с многоугольниками, поэтому важно уметь вычислять его площадь.
Итак, сформулируем понятие площади многоугольника.
Площадь — это величина той части плоскости, которая занимает определенное пространство.
Измерение площадей
Чтобы узнать площадь фигуры, недостаточно сказать «она большая» или «она маленькая» — нужно уметь измерять площадь. Для этого используют специальные единицы измерения.
За единицу площади принимают квадрат со стороной $1$. Его площадь равна одной квадратной единице.
Если сторона квадрата равна $1$ сантиметру, получаем $1$ квадратный сантиметр ($1 \text{ см}^2$). Если сторона — $1$ метр, то это $1$ квадратный метр ($1 \text{ м}^2$) и так далее.
В жизни мы встречаемся с разными единицами площади:
- поверхность стола или тетради измеряют в квадратных сантиметрах,
- площадь комнаты или школьного двора — в квадратных метрах,
- площадь города или даже государства — в квадратных километрах.
Такой способ измерения удобен, потому что любую фигуру можно мысленно «разделить» на маленькие одинаковые квадраты и посчитать, сколько их поместится внутри, либо во сколько квадратов поместится сама фигура.
Задача
На рисунке изображен план местности. Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Сладкое.
Считать $1$ клетку за $1 \text{ км}^2$. Ответ округлите до целого числа.
Решение
Скрыть
Как видно, озеро располагается по трем квадратам. Назовем их $A$, $B$ и $C$.
Озеро фактически занимает весь квадрат $B$, что составляет $1 \text{ км}^2$, по условию задачи.
Если мы мысленно перенесем «остатки» озера с квадрата $C$ в квадрат $A$, то заполним квадрат $A$ практически полностью.
Значит, площадь нашего озера составит примерно $2 \text{ км}^2$.
Так как нас просят округлить до целого числа, то $2 \text{ км}^2$ и будет являться ответом.
Ответ: $2 \text{ км}^2$.
В данной задаче мы озеро уместили в две клетки, чтобы вычислить его площадь. Обычно приходится действовать наоборот: разбивать ту или иную фигуру на квадраты, а потом заниматься подсчетом их количества.
Задача
Сосчитайте площадь данной фигуры, если площадь одной клетки $1 \text{ см}^2$.
Решение
Скрыть
Количество клеток внутри многоугольника — $38$.
Ответ: $38 \text{ см}^2$.
Свойство площадей многоугольника
Выше мы рассмотрели, как можно вычислить приблизительную площадь какого-либо объекта (пример оз. Сладкое) или сосчитать площадь многоугольника, составленную из точного количества квадратов.
Но на практике бывают более сложные фигуры и задачи. Чтобы разобраться, как их решать, мы обратимся к свойствам площадей многоугольника.
Свойство № 1
Равные многоугольники имеют равные площади.
Что это означает?
Предположим, у вас есть два одинаковых треугольника, вырезанных из картона, и при наложении друг на друга они совпадают полностью, значит, их площади равны.
Свойство № 2
Площадь целого многоугольника равна сумме площадей его частей.
Допустим, у нас есть сложная фигура. Чтобы посчитать ее площадь, мы можем разделить фигуру на простые части и сложить результаты.
То есть площадь фигуры $S = S_1 + S_2 +S_3 + S_4 + S_5$.
И отправная точка, с помощью которой высчитываются все площади, — это квадрат.
Свойство № 3
Площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$.
Он является «кирпичиком» для всех остальных площадей и называется единичный квадрат.
Эти три свойства — основа. Благодаря им можно строить формулы и быть уверенным, что результаты всегда будут правильные.
Вычисление площади методом «шнуровки»
В XIX веке великий математик Карл Фридрих Гаусс придумал способ вычислять площади многоугольников, зная только координаты их вершин.
Формула получила название «шнуровка», потому что при вычислениях нужно перемножать координаты по диагонали и складывать результаты, как будто вы шнуруете кеды.
Посмотрим как работает данный метод. Для этого вычертим многоугольник $ABCDE$ на координатной плоскости, у которого $A(3;4),\ B(5;6),\ C(9;4),\ D(12;8),\ E(5;11)$.
Чтобы воспользоваться «шнуровкой», выпишем координаты всех точек по порядку в столбик. В конце столбика подпишем еще раз координаты точки $A$, так как она является начальной и конечной при вычерчивании фигуры.
Соединим по диагонали, выписанные координаты. Чтобы не запутаться, воспользуемся разным цветом ручки.
Вот у нас и получилась настоящая «шнуровка», как на кедах.
Перемножим и сложим координаты, соединенные черным цветом:
$3 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 9 \cdot 8 + 12 \cdot 11 + 5 \cdot 4 = 262$.
Теперь красным:
$4 \cdot 5 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 12 + 8 \cdot 5 + 11 \cdot 3 = 195$.
А чтобы вычислить площадь, нужно из одной суммы вычесть другую и разделить на два, то есть:
$$S = \dfrac{262 -195}{2} = 33,5\ \text{ед}^2.$$
Следовательно, если многоугольник задан вершинами $A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2) \ldots A_n(x_n;y_n)$, то его площадь по формуле Гаусса (шнуровки) вычисляется так:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot |(x_1y_2 + x_2y_3 + \ldots + x_{n-1}y_n + x_ny_1) -(y_1x_2 + y_2x_3 + \ldots + y_{n-1}x_n + y_nx_1)|$.
В формуле стоят модульные скобки, так как при вычислении площадей одна всегда больше другой, и при их вычитании может получиться отрицательное число. А площадь не может быть отрицательна.
Эта формула удобна тем, что подходит для любых многоугольников, даже очень сложных. Ее применяют в геодезии и компьютерной графике — там, где нужно точно считать площади по картам или моделям.
Вычисление площади по формуле Пика
Иногда многоугольник изображен на клетчатой бумаге так, что его вершины попадают в узлы клетки. В этом случае площадь можно найти очень простым способом — по формуле Пика.
Если $B$ — количество узлов на границе многоугольника (на сторонах и вершинах), а $I$ — количество узлов внутри него, то площадь вычисляется так:
$S = \dfrac{B}{2} + I -1$
Количество узлов на границе (черные точки) многоугольника $B = 14$, количество узлов внутри (красные точки) него $I = 4$. Подставим в формулу цифры и вычислим площадь многоугольника:
$$S = \dfrac{14}{2} + 4 -1 = 10 \ \text{ед}^2.$$
Эта формула необычна тем, что связывает геометрию с арифметикой: вместо длинных вычислений площади можно просто посчитать точки.
Это интересно
О площади люди задумывались издревле. В Древней Руси, например, землю измеряли не квадратными метрами, как сейчас, а «десятинами». Десятина ($1,09 \ \text{гектара} \approx 10900 \ \text{м}^2$) — это участок, который крестьянин мог вспахать за один день с помощью лошадей.
Для крестьян это было не просто число: от площади зависело, сколько зерна удастся посадить, какой урожай собрать и сколько налогов придется платить.
Любопытные факты связаны и с, казалось бы, привычными вещами. Возьмем шахматную доску.
Все знают, что на ней $64$ клетки, но мало кто задумывается, что если посчитать площади всех квадратов, которые можно на ней построить — от крошечных $1 \times 1$ до всего поля $8 \times 8$, — то получится целых $204$ квадрата.
Но еще удивительнее другое: если сложить площади всех этих квадратов, выйдет аж $1968 \ \text{ед}^2$. То есть одна шахматная доска уместила в себе площади целых тридцати с лишним досок!
Этот неожиданный результат показывает, как тесно связаны площадь и комбинаторика.
В современном мире площади тоже поражают воображение. Самое большое здание по площади — Международный выставочный центр в Китае. Его общая площадь больше $1,7$ миллиона квадратных метров. Представьте себе: это более $200$ футбольных полей, сложенных рядом.
А с другой стороны, в Японии можно встретить квартиры размером всего $8$ квадратных метров. В такой квартире помещается кровать, небольшой столик и шкаф — и это вся «жилая площадь».
Как видите, понятие площади помогало крестьянам в древности, встречается в настольных играх, используется в строительстве гигантских сооружений и даже в обустройстве крошечных квартир. Площадь — это та самая «незаметная величина», без которой не обойтись ни в истории, ни в нашей повседневной жизни.
Часто задаваемые вопросы
Площадь — это величина той части плоскости, которую занимает фигура.
В квадратных: $\text{см}^2$, $\text{м}^2$, $\text{км}^2$, га и других.
Потому что с нее удобно начинать измерения: все остальные площади сравниваются именно с этим квадратом.
Она будет равна сумме площадей этих частей.
При ремонте (паркет, плитка, покраска), в сельском хозяйстве (земельные участки), в спорте (размер поля) и во многих других ситуациях.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти