Задание 1. Планиметрия

{"questions":[{"content":"Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $136^{\\circ},$ угол $ABD$ равен $78^{\\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-1]][[image-16]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$58^{\\circ}$","$29^{\\circ}$","$33^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6dt1-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$136-78=58$$","Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны."]},{"content":"Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $118^{\\circ},$ угол $ABD$ равен $61^{\\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-2]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$57^{\\circ}$","$29^{\\circ}$","$78^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6dt1-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$118-61=57$$","Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны."]},{"content":"Центральный угол на $22^{\\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-3]][[image-101]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$22^{\\circ}$","$44^{\\circ}$","$11^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-101":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6dt2-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Вписанный угол равен половине центрального.","Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+22=2x$$ $$x=22$$"]},{"content":"Центральный угол на $18^{\\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-4]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$18^{\\circ}$","$17^{\\circ}$","$9^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6dt2-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Вписанный угол равен половине центрального.","Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+18=2x$$ $$x=18$$"]},{"content":"Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен $42,$ средняя линия равна $3.$ Найдите боковую сторону трапеции.[[fill_choice_big-5]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$21$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/7d-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма оснований будет:$$3\\cdot2=6$$","На боковые стороны трапеции остается: $$42-6 = 36$$","Трапеция равнобедренная, так как вписана в окружность. Найдем боковое ребро:$$36:2=18$$"]},{"content":"Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $72^{\\circ}.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-6]][[image-298]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$36^{\\circ}$","$72^{\\circ}$","$24^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-298":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8dt1-1-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Угол между хордой и касательной равен половине стянутой ими дуги:$$72:2=36$$"]},{"content":"Угол $ACO$ равен $29^{\\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. [[fill_choice_big-7]][[image-339]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$119^{\\circ}$","$58^{\\circ}$","$116^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8dt2-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-29=61$$","Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-61=119$$","Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $119$ градусам."]},{"content":"Угол $ACO$ равен $35^{\\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-8]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$125^{\\circ}$","$60^{\\circ}$","$130^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8dt2-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-35=55$$","Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-55=125$$","Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $125$ градусам."]},{"content":"Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $124.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$[[fill_choice_big-9]][[image-433]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$31$","$62$","$28$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-433":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/10d-01.svg","width":"200"}},"hints":["Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$124:4=31$$"]},{"content":"Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $248.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$[[fill_choice_big-10]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$62$","$124$","$180$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/10d-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$248:4=62$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $79^{\\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-1]][[image-16]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$68^{\\circ}$","$79^{\\circ}$","$11^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/5-01-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $79$ градусам.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-79=11$$","Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$79-11=68$$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $61^{\\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-2]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$32^{\\circ}$","$29^{\\circ}$","$18^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/5-01-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $61$ градусу.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-61=29$$","Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$61-29=32$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $61^{\\circ},$ $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $31^{\\circ}.$ Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-3]][[image-101]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$57^{\\circ}$","$62^{\\circ}$","$55^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-101":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/l7k1-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAB$ равен: $$31+31 = 62$$","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол в треугольнике $ABC$: $$180-61-62=57$$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $73^{\\circ}.$ Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-4]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$28^{\\circ}$","$17^{\\circ}$","$27^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3dt4-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-73=17$$","Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит треугольник $ACM$ — равнобедренный, значит угол $MAC$ равен углу $ACM.$","Найдем искомый угол $MCD.$ Для этого из угла $ACD$ (который равен $45$ градусам, так как $CD$ — биссектриса) вычтем угол $ACM$: $$45-17=28$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $24^{\\circ},$ угол $C$ равен $72^{\\circ}.$ На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложен отрезок $BD,$ равный стороне $BC.$ Найдите угол $D$ треугольника $BCD.$ Ответ дайте в градусах.<br /><br />[[fill_choice_big-5]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$42^{\\circ}$","$84^{\\circ}$","$48^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3dt2-2-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["В треугольнике $ABC$ найдем угол $B$: $$180-24-72 = 84$$","Угол $CBD$ — смежный с углом $CBA$: $$180-84 = 96$$","Треугольник $BCD$ — равнобедренный. Найдем оставшиеся два угла и разделим на $2$:$$180-96 = 84$$ $$84:2=42$$"]},{"content":"Острый угол прямоугольного треугольника равен $28^{\\circ}$. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-6]][[image-298]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$59^{\\circ}$","$28^{\\circ}$","$43^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-298":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3dt3-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $AOC.$ Угол $CAO$ равен $14,$ так как $AD$ — биссектриса. Угол $ACO$ равен $45,$ так как $CE$ — биссектриса. Найдем оставшийся угол: $$180-45-14=121$$","Углы $COA$ и $COD$ — смежные. Найдем $COD$: $$180-121 = 59$$"]},{"content":"В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $6,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $10.$<br />[[fill_choice_big-7]][[image-339]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$22$","$14$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4d-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$","Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$10+6+6=22$$"]},{"content":"В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $5,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $16.$<br /><br />[[fill_choice_big-8]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$26$","$21$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4d-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$","Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$16+5+5=26$$"]},{"content":"Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $182^{\\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $94^{\\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.<br /><br />[[fill_choice_big-9]][[image-433]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$42^{\\circ}$","$88^{\\circ}$","$84^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-433":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/5d-01.svg","width":"200"}},"hints":["Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-182-94=84$$","Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$84:2=42$$"]},{"content":"Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $152^{\\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $74^{\\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.<br /><br />[[fill_choice_big-10]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$67^{\\circ}$","$58^{\\circ}$","$79^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/5d-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-152-74=134$$","Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$134:2=67$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен $48,$ вписана окружность, $AB=11.$ Найдите $CD.$[[fill_choice_big-1]][[image-16]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$24$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/11-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Если в четырехугольник можно вписать окружность, значит, суммы противоположных его сторон равны:$$AD+BC=AB+CD$$","Так как периметр четырехугольника равен $48,$ $$AB+CD=48:2=24$$ $$CD=24-11=13$$"]},{"content":"В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен $36,$ вписана окружность, $AB=6.$ Найдите $CD.$[[fill_choice_big-2]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$18$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/11-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Если в четырехугольник можно вписать окружность, значит, суммы противоположных его сторон равны:$$AD+BC=AB+CD$$","Так как периметр четырехугольника равен $48,$ $$AB+CD=36:2=18$$ $$CD=18-6=12$$"]},{"content":"Площадь треугольника $ABC$ равна $48.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$[[fill_choice_big-3]][[image-101]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$24$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-101":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/12-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.","Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$48:4=12$$"]},{"content":"Площадь треугольника $ABC$ равна $12.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$ [[fill_choice_big-4]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/12-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.","Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$12:4=3$$"]},{"content":"Стороны параллелограмма равны $3$ и $6.$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $4.$ Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.<br /><br />[[fill_choice_big-5]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/13-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Площадь параллелограмма можно найти через произведение основания и высоты, проведенной к этому основанию: $$3\\cdot 4 = 12$$","Эту же площадь можно найти через произведение другой стороны и высоты проведенной к этой стороне:$$x\\cdot 6=12$$ Значит, вторая высота равна $2.$"]},{"content":"Стороны параллелограмма равны $8$ и $12.$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $3.$ Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.<br />[[fill_choice_big-6]][[image-298]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$8$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-298":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/13-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Площадь параллелограмма можно найти через произведение основания и высоты, проведенной к этому основанию: $$8\\cdot 3 = 24$$","Эту же площадь можно найти через произведение другой стороны и высоты проведенной к этой стороне:$$x\\cdot 12=24$$ Значит, вторая высота равна $2.$"]},{"content":"Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $13,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.<br />[[fill_choice_big-7]][[image-339]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$240$","$135$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$","В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=13^2-12^2=25$$ $$CH=5$$","Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\\frac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 5 = 60$$"]},{"content":"Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $15,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.<br />[[fill_choice_big-8]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$108$","$150$","$225$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$","В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=15^2-12^2=81$$ $$CH=9$$","Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\\frac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 9 = 108$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $124^{\\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-9]][[image-433]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$28^{\\circ}$","$56^{\\circ}$","$74^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-433":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-124=56$$","Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$56:2=28$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $158^{\\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-10]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$11^{\\circ}$","$58^{\\circ}$","$79^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-158=22$$","Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$22:2=11$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Основания трапеции равны $6$ и $12.$ Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.[[fill_choice_big-1]][[image-16]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$9$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Больший из отрезков будет являться средней линией треугольника, основание которого совпадает с нижним основанием трапеции.","Средняя линия треугольника равна половине основания: $$12:2=6$$"]},{"content":"Основания трапеции равны $6$ и $11.$ Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.[[fill_choice_big-2]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$5.5$","$8.5$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/6-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Больший из отрезков будет являться средней линией треугольника, основание которого совпадает с нижним основанием трапеции.","Средняя линия треугольника равна половине основания: $$11:2=5.5$$"]},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $54^{\\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3]][[image-101]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$63^{\\circ}$","$54^{\\circ}$","$108^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-101":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/7-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-54 = 126$$ $$126:2 = 63$$"]},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $86^{\\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах. [[fill_choice_big-4]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$47^{\\circ}$","$46^{\\circ}$","$106^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/7-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-86 = 94$$ $$94:2 = 47$$"]},{"content":"Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $70^{\\circ}$ и $23^{\\circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.<br /><br />[[fill_choice_big-5]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$157^{\\circ}$","$110^{\\circ}$","$93^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Противоположные углы опираются на дуги, образующие целую окружность, значит их сумма равна $180$ градусам.","Найдем два оставшихся угла:$$180-70=110$$ $$180-23=157$$"]},{"content":"Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^{\\circ}$ и $39^{\\circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-6]][[image-298]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$141^{\\circ}$","$98^{\\circ}$","$121^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-298":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Противоположные углы опираются на дуги, образующие целую окружность, значит их сумма равна $180$ градусам.","Найдем два оставшихся угла:$$180-59=121$$ $$180-39=141$$"]},{"content":"Угол $ACO$ равен $21^{\\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-7]][[image-339]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$69^{\\circ}$","$21^{\\circ}$","$42^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8dt2.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-21=69$$","Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $69$ градусам."]},{"content":"Угол $ACO$ равен $18^{\\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-8]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$72^{\\circ}$","$69^{\\circ}$","$88^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8dt2.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-18=72$$","Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $72$ градусам."]},{"content":"Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $87^{\\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-9]][[image-433]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$93^{\\circ}$","$87^{\\circ}$","$90^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-433":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/10-01.svg","width":"200"}},"hints":["Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $87$ градусам.","Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.","Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-87 = 93$$"]},{"content":"Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $56^{\\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-10]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$124^{\\circ}$","$90^{\\circ}$","$88^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/10-01.svg","width":"200"}},"step":1,"hints":["Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $56$ градусам.","Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.","Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-56= 124$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $26^{\\circ}$, стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-1]][[image-16]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$128^{\\circ}$","$77^{\\circ}$","$52^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Треугольник равнобедренный, значит, угол $A$ равен углу $B.$","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол:$$180-26-26=128$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $28^{\\circ}$, стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-2]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$124^{\\circ}$","$128^{\\circ}$","$56^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1-ravnobedrennyj-treugolnik.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Треугольник равнобедренный, значит, угол $A$ равен углу $B.$","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол:$$180-28-28=124$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $156^{\\circ}$. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3]][[image-101]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$78^{\\circ}$","$24^{\\circ}$","$156^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-101":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/2-treugolnik-vneshnij-ugol.svg","width":"351"}},"step":1,"hints":["Внешний угол при вершине $B$ является смежным с углом $CBA.$ Найдем $CBA$:$$180-156=24$$","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, но так как $AB=BC,$ угол $A$ равен углу $C.$ Найдем угол $C$:$$180-24=156$$ $$156:2=78$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $118^{\\circ}$. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах. [[fill_choice_big-4]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$59^{\\circ}$","$78^{\\circ}$","$118^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/2-treugolnik-vneshnij-ugol.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Внешний угол при вершине $B$ является смежным с углом $CBA.$ Найдем $CBA$:$$180-118=62$$","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, но так как $AB=BC,$ угол $A$ равен углу $C.$ Найдем угол $C$:$$180-62=118$$ $$118:2=59$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $22^{\\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $16^{\\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-5]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$38^{\\circ}$","$142^{\\circ}$","$6^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3-01.svg","width":"348"}},"step":1,"hints":["Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-22=142$$","Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-142=38$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $16^{\\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $30^{\\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-6]][[image-298]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$46^{\\circ}$","$36^{\\circ}$","$16^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-298":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.","Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-30=134$$","Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-134=46$$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\\circ}$, угол $B$ равен $81^{\\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-7]][[image-339]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$9^{\\circ}$","$81^{\\circ}$","$46^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-81=9$$","Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\\circ}$, угол $B$ равен $51^{\\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-8]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$39^{\\circ}$","$19^{\\circ}$","$48^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-51=39$$","Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $72^{\\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-9]][[image-433]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$27^{\\circ}$","$12^{\\circ}$","$48^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-433":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/5-01.svg","width":"348"}},"hints":["Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-72=18$$","Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.","Найдем искомый угол: $$45-18=27$$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $67^{\\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-10]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$22^{\\circ}$","$23^{\\circ}$","$45^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/5-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-67=23$$","Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.","Найдем искомый угол: $$45-23=22$$"]}]}