Скалярное произведение и угол между векторами

Тренажер помогает научиться находить скалярное произведение векторов в пространстве и применять его для нахождения углов. Он предназначен для учеников 11 класса. В отличие от тренажера 9 класса про скалярное произведение на плоскости, векторы здесь заданы тремя координатами. Нужно знать формулы $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$, а также значения косинуса для углов 0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135° и 180°.

В задачах с координатами на чертеже изображена прямоугольная система координат $Oxyz$ и данные векторы, в задачах с длинами и углом — векторы, отложенные от одной точки. Числа в заданиях каждый раз новые. В тренажере чередуются задачи одного уровня сложности:

• найти скалярное произведение векторов по их координатам;
• найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ по координатам точек;
• найти угол между векторами по их координатам;
• найти угол между векторами по их длинам и скалярному произведению;
• найти скалярное произведение по длинам векторов и углу между ними;
• найти значение $m$, при котором векторы перпендикулярны.

Ответ — целое число; скалярное произведение и значение параметра могут быть отрицательными. Угол записывается в градусах. К любой задаче можно открыть подробное решение.

В результате вы будете уверенно вычислять скалярное произведение в координатах и находить с его помощью углы между векторами и условие перпендикулярности.