Задание 5. Вероятности сложных событий

{"questions":[{"content":"Между городами ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.7.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $49$ включительно.[[image-1]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/avtobus-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.8$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.7-0.1=0.6$$"]},{"content":"Между городами ежедневно ходит электричка. Вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров, равна $0.56.$ Вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.16.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $50$ до $199$ включительно.[[image-50]][[fill_choice_big-78]]","widgets":{"image-50":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/poezd-stancziya-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-78":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.72$","$0.32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.56-0.16=0.4$$"]},{"content":"Вероятность того, что на контрольной по математике учащийся верно решит больше $25$ задач, равна $0.65.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, равна $0.45.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $25$ задач.<br />[[image-135]][[fill_choice_big-156]]","widgets":{"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/klass-parta-uchitel-uchenik.svg","width":"300"},"fill_choice_big-156":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.5$","$0.65$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $25$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.65-0.45=0.2$$"]},{"content":"Вероятность того, что на контрольной по физике учащийся верно решит больше $17$ задач, равна $0.32.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач, равна $0.55.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $17$ задач.[[image-255]][[fill_choice_big-284]]","widgets":{"image-255":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2-3.svg","width":"0300"},"fill_choice_big-284":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.23$","$0.88$","$0.29$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $17$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.55-0.32=0.23$$"]},{"content":"При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\\space000$ граммов, равна $0.9.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $2 \\space 500$ граммов, равна $0.95.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $2 \\space 500$ граммов, но меньше, чем $3\\space000$ граммов.[[image-432]][[fill_choice_big-469]]","widgets":{"image-432":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/01/svecha-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-469":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.85$","$0.05$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \\space 500$ граммов:$$1-0.95=0.05$$","Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\\space000$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \\space 500$ граммов:$$0.9-0.05=0.85$$"]},{"content":"При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов, равна $0.99.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $900$ граммов, равна $0.94.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $900$ граммов, но меньше, чем $950$ граммов.[[image-656]][[fill_choice_big-822]]","widgets":{"image-656":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/12/obrazavr-carrying-acake.svg","width":"300"},"fill_choice_big-822":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.93$","$0.06$","$0.55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$1-0.94=0.06$$","Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$0.99-0.06=0.93$$"]},{"content":"В магазине два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна $0.31.$ Такая же вероятность того, что чай закончится во втором автомате. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.[[image-1048]][[fill_choice_big-1104]]","widgets":{"image-1048":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/magazin.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1104":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.48$","$0.7$","$0.55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончится чай, а затем прибавить вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.31-0.31+0.1=0.48$$"]},{"content":"В магазине два автомата продают газированные напитки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся газированные напитки, равна $0.25.$ Такая же вероятность того, что газированные напитки закончатся во втором автомате. Вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, равна $0.15.$ Найдите вероятность того, что к концу дня газированные напитки останутся в обоих автоматах.[[image-1075]][[fill_choice_big-1133]]","widgets":{"image-1075":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/shop-assistant.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1133":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.65$","$0.85$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончатся газированные напитки, а затем прибавить вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.25-0.25+0.15=0.65$$"]},{"content":"В люстре три лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.4.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[image-1694]][[fill_choice_big-1838]]","widgets":{"image-1694":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/have-u-got-ideas.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1838":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.936$","$0.16$","$0.064$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.4 \\cdot 0.4 \\cdot 0.4 = 0.936$$"]},{"content":"В люстре две лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.8.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[image-1729]][[fill_choice_big-1875]]","widgets":{"image-1729":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/gostinnaya.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1875":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.36$","$0.64$","$0.16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.8 \\cdot 0.8   = 0.36$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.[[image-1]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/futbol.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.375$","$0.861$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$","Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно два раза в трех из восьми случаев:$$\\frac{3}{8} = 0.375$$"]},{"content":"Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий все три раза.[[image-50]][[fill_choice_big-78]]","widgets":{"image-50":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/futbolisty-01-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-78":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.375$","$0.18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$","Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно три раза в одном из восьми случаев:$$\\frac{1}{8} = 0.125$$"]},{"content":"Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $7,$ но не дойдя до отметки $1.$[[image-135]][[fill_choice_big-156]]","widgets":{"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/clock.svg","width":"300"},"fill_choice_big-156":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$0.7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Промежуток от $7$ до $1$ занимает ровно половину циферблата:$$\\frac{1}{2}=0.5$$"]},{"content":"Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $8,$ но не дойдя до отметки $2.$[[image-255]][[fill_choice_big-284]]","widgets":{"image-255":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/vremya6.svg","width":"0300"},"fill_choice_big-284":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Промежуток от $8$ до $2$ занимает ровно половину циферблата:$$\\frac{1}{2}=0.5$$"]},{"content":"Если шахматист $A$ играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста $B$ с вероятностью $0.5.$ Если $A$ играет чёрными, то $A$ выигрывает у $B$ с вероятностью $0.32.$ Шахматисты $A$ и $B$ играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что $A$ выиграет оба раза.[[image-432]][[fill_choice_big-469]]","widgets":{"image-432":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/shahmaty.svg","width":"300"},"fill_choice_big-469":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.16$","$0.82$","$0.52$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \\cdot 0.32 = 0.16$$"]},{"content":"Если Решавр играет белыми фигурами, то он выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.5.$ Если Решавр  играет чёрными, то Решавр выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.48.$ Шахматисты играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Решавр  выиграет оба раза.[[image-656]][[fill_choice_big-822]]","widgets":{"image-656":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/chess.svg","width":"300"},"fill_choice_big-822":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.24$","$0.98$","$0.58$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \\cdot 0.48 = 0.24$$"]},{"content":"Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.3.$[[image-1048]][[fill_choice_big-1104]]","widgets":{"image-1048":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/futbol_ok-tsveta-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1104":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.33$","$0.6$","$0.72$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$","Найдем вероятность ничьи:$$1-0.3-0.3=0.4$$","Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.3 \\cdot 0.3 +0.3 \\cdot 0.4 + 0.4 \\cdot 0.3 =0.33$$"]},{"content":"Чтобы пройти в следующий круг соревнований, баскетбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.4.$[[image-1075]][[fill_choice_big-1133]]","widgets":{"image-1075":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/22igraet-v-basketbol-rebenok-reshavr-myach.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1133":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.32$","$0.86$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$","Найдем вероятность ничьи:$$1-0.4-0.4=0.2$$","Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.4 \\cdot 0.4 +0.4 \\cdot 0.2 + 0.2 \\cdot 0.4 =0.32$$"]},{"content":"За круглый стол на $5$ стульев в случайном порядке рассаживаются $3$ мальчика и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.[[image-1694]][[fill_choice_big-1838]]","widgets":{"image-1694":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/obrazavr_deyatelnost_dop-03.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1838":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.6$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\\frac{1}{4}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\\frac{1}{4}.$ $$\\frac{1}{4}+\\frac{1}{4}=0.5$$"]},{"content":"За круглый стол на $201$ стул в случайном порядке рассаживаются $199$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.[[image-1729]][[fill_choice_big-1875]]","widgets":{"image-1729":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/eat_in_a_restaurant-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1875":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.01$","$0.05$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\\frac{1}{200}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\\frac{1}{200}.$ $$\\frac{1}{200}+\\frac{1}{200}=0.01$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0.08.$ Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0.91.$Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0.01.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.<br />[[image-1]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/musor-sortirovka-musora.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.082$","$0.95$","$0.091$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вероятность того, что батарейка будет исправна:$$1-0.08=0.92$$","Мы можем выбрать исправную батарейку и ее должна забраковать система контроля, или мы выберем неисправную батарейку, и ее также должна забраковать система контроля:$$0.92 \\cdot 0.01 + 0.08 \\cdot 0.91 = 0.082$$"]},{"content":"Автоматическая линия изготавливает гирлянды. Вероятность того, что готовая гирлянда неисправна, равна $0.06.$ Перед упаковкой каждая гирлянда проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную гирлянду, равна $0.93.$Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную гирлянду, равна $0.03.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная гирлянда будет забракована системой контроля.<br />[[image-50]][[fill_choice_big-78]]","widgets":{"image-50":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/personazh_4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-78":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.084$","$0.037$","$0.09$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вероятность того, что гирлянда будет исправна:$$1-0.06=0.94$$","Мы можем выбрать исправную гирлянду и ее должна забраковать система контроля, или мы выберем неисправную гирлянду, и ее также должна забраковать система контроля:$$0.94 \\cdot 0.03 + 0.06 \\cdot 0.93 = 0.084$$"]},{"content":"Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.7.$ Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в последнюю.[[image-135]][[fill_choice_big-156]]","widgets":{"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/03/strelecz-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-156":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.147$","$0.51$","$0.49$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность промаха: $$1-0.7=0.3$$","Стрелок должен попасть в первую мишень и попасть во вторую мишень, и не попасть в третью:$$0.7 \\cdot 0.7 \\cdot 0.3 =0.147$$"]},{"content":"Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.4.$ Найдите вероятность того, что стрелок не попадет в две первые мишени и попадет в последнюю.[[image-255]][[fill_choice_big-284]]","widgets":{"image-255":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/Obrazavr-s-lukom.svg","width":"0300"},"fill_choice_big-284":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.144$","$0.432$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность промаха: $$1-0.4=0.6$$","Стрелок должен не попасть в первую мишень и не попасть во вторую мишень, и попасть в третью:$$0.6 \\cdot 0.6 \\cdot 0.4 =0.144$$"]},{"content":"Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0.4$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0.7?$[[image-432]][[fill_choice_big-469]]","widgets":{"image-432":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/09/rezinka.svg","width":"300"},"fill_choice_big-469":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность промаха:$$1-0.4=0.6$$","Предположим, стрелку дали два патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза:$$0.4+0.6 \\cdot 0.4 = 0.64$$","Дадим стрелку три патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза, или не попасть с первого раза и не попасть со второго раза, и попасть с третьего раза:$$0.4+0.6 \\cdot 0.4 +0.6 \\cdot 0.6 \\cdot 0.4 = 0.784$$"]},{"content":"Биатлонист стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0.5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать биатлонисту, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0.8?$[[image-656]][[fill_choice_big-822]]","widgets":{"image-656":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_perezhivayushhij.svg","width":"300"},"fill_choice_big-822":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность промаха:$$1-0.5=0.5$$","Предположим, биатлонисту дали два патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза:$$0.5+0.5 \\cdot 0.5 = 0.75$$","Дадим биатлонисту три патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза, или не попасть с первого раза и не попасть со второго раза, и попасть с третьего раза:$$0.5+0.5 \\cdot 0.5 +0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 0.875$$"]},{"content":"В коробке $10$ синих, $12$ красных и $3$ зеленых фломастера. Случайным образом выбирают два фломастера. Чему равна вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?[[image-1048]][[fill_choice_big-1104]]","widgets":{"image-1048":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1104":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.7$","$0.55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего фломастеров в коробке: $$10+12+3 = 25$$","Мы можем сначала выбрать синий фломастер, а затем красный или сначала выбрать красный фломастер, а затем уже синий:$$\\frac{10}{25} \\cdot \\frac{12}{24}+ \\frac{12}{25} \\cdot \\frac{10}{24}= 0.4$$"]},{"content":"В ящике $6$ синих, $7$ красных и $3$ зеленых карандаша. Случайным образом выбирают два карандаша. Чему равна вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный карандаш?[[image-1075]][[fill_choice_big-1133]]","widgets":{"image-1075":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/karandashi.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1133":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.35$","$0.8$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего карандашей в коробке: $$6+7+3 = 16$$","Мы можем сначала выбрать синий карандаш, а затем красный или сначала выбрать красный карандаш, а затем уже синий:$$\\frac{6}{16} \\cdot \\frac{7}{15}+ \\frac{7}{16} \\cdot \\frac{6}{15}=0.35  $$"]},{"content":"В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $7.$ Результат округлите до сотых.<br />[[image-1694]][[fill_choice_big-1838]]","widgets":{"image-1694":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/komnata-detskaya-deti-igrushki-kubiki-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1838":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.17$","$0.16$","$0.22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим варианты выпадения $7$ очков:$$1+6$$ $$2+5$$ $$3+4$$ $$4+3$$ $$5+2$$ $$6+1$$","Вероятность выпадения определенного числа на кости — $\\frac{1}{6}.$ Тогда вероятность всей комбинации: $$\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36}$$","Таких комбинаций у нас получилось $6$:$$\\frac{1}{36} \\cdot 6 = \\frac{6}{36} \\approx 0.17$$"]},{"content":"В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $6.$ Результат округлите до сотых.[[image-1729]][[fill_choice_big-1875]]","widgets":{"image-1729":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/viktorina.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1875":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.14$","$0.95$","$0.18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перечислим варианты выпадения $6$ очков:$$1+5$$ $$2+4$$ $$3+3$$ $$4+2$$ $$5+1$$","Вероятность выпадения определенного числа на кости — $\\frac{1}{6}.$ Тогда вероятность всей комбинации: $$\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36}$$","Таких комбинаций у нас получилось $5$:$$\\frac{1}{36} \\cdot 5 = \\frac{5}{36} \\approx 0.14$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров, равна $0.91.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.37.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $24$ включительно.[[image-1]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_school-bus.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.54$","$0.86$","$0.61$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.91-0.37=0.54$$"]},{"content":"Из города в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в воскресенье в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров, равна $0.83.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.37.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $24$ включительно.[[image-50]][[fill_choice_big-78]]","widgets":{"image-50":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/avtobus-mashina-2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-78":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.46$","$0.37$","$0.18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.83-0.37=0.46$$"]},{"content":"Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся верно решит больше $13$ задач, равна $0.51.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $12$ задач, равна $0.58.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $13$ задач.<br />[[image-135]][[fill_choice_big-156]]","widgets":{"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchenik-01-01-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-156":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.07$","$0.5$","$0.59$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $12$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $13$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.58-0.51=0.07$$"]},{"content":"Вероятность того, что на тестировании по химии учащийся верно решит больше $15$ задач, равна $0,51.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $14$ задач, равна $0.65.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $15$ задач.[[image-255]][[fill_choice_big-284]]","widgets":{"image-255":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"0300"},"fill_choice_big-284":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.14$","$0.43$","$0.29$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $14$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $15$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.65-0.51=0.14$$"]},{"content":"При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ граммов, равна $0.91.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $790$ граммов, равна $0.93.$ Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем $790$ граммов, но меньше, чем $810$ граммов.[[image-432]][[fill_choice_big-469]]","widgets":{"image-432":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/hleb-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-469":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.84$","$0.02$","$0.79$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что масса булки окажется меньше, чем $790$ граммов:$$1-0.93=0.07$$","Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ граммов включает в себя вероятность того, что масса булки окажется меньше, чем $790$ граммов:$$0.91-0.07=0.84$$"]},{"content":"При выпечке пирога производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $900$ граммов, равна $0.97.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $800$ граммов, равна $0.92.$ Найдите вероятность того, что масса пирога больше, чем $800$ граммов, но меньше, чем $900$ граммов.[[image-656]][[fill_choice_big-822]]","widgets":{"image-656":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/pirog-01-01-optimized.png","width":"300"},"fill_choice_big-822":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.89$","$0.03$","$0.05$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что масса пирога окажется меньше, чем $800$ граммов:$$1-0.97=0.03$$","Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $900$ граммов включает в себя вероятность того, что масса пирога окажется меньше, чем $800$ граммов:$$0.92-0.03=0.89$$"]},{"content":"В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0.35.$ Такая же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0.15.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.[[image-1048]][[fill_choice_big-1104]]","widgets":{"image-1048":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/tolgovyj-czentr-shopping-moll-magazin.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1104":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.45$","$0.7$","$0.55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончится кофе, а затем прибавить вероятность того, что закончится в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.35-0.35+0.15=0.45$$"]},{"content":"В магазине два автомата продают игрушки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся игрушки, равна $0.4.$ Такая же вероятность того, что игрушки закончатся во втором автомате. Вероятность того, что игрушки закончатся в обоих автоматах, равна $0.14.$ Найдите вероятность того, что к концу дня игрушки останутся в обоих автоматах.[[image-1075]][[fill_choice_big-1133]]","widgets":{"image-1075":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_torgovyj-czentr.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1133":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.34$","$0.8$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончатся игрушки, а затем прибавить вероятность того, что игрушки закончатся в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.4-0.4+0.14=0.34$$"]},{"content":"Помещение освещается фонарем с четырьмя лампами. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.2.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[image-1694]][[fill_choice_big-1838]]","widgets":{"image-1694":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/svet-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1838":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.9984$","$0.0016$","$0.22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.2 \\cdot 0.2 \\cdot 0.2 \\cdot 0.2 = 0.9984$$"]},{"content":"Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.3.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[image-1729]][[fill_choice_big-1875]]","widgets":{"image-1729":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/obrazavr_vklyuchat.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1875":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.973$","$0.95$","$0.821$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.3 \\cdot 0.3 \\cdot 0.3  = 0.973$$"]}]}