Задание 10. Задачи с прикладным содержанием

{"questions":[{"content":"Груз массой $0.08 \\space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \\space с$ — период колебаний, $v_0=0.5 \\space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $1$ секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-1]][[image-845]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.0025$","$11.3$","$1.85$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-845":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/velichinykolebaniyatest15_1.svg","width":"99"}},"step":1,"hints":["Найдем скорость груза через $1$ секунду после начала колебаний: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ $$v=0.5 \\cdot \\sin \\frac{2 \\pi\\cdot  1}{12}=0.25$$","Тогда кинетическая энергия груза через $1$ секунду после начала колебаний равна: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\\frac{0.08\\cdot 0.25^2}{2}=0.0025$$"]},{"content":"Груз массой $0.11 \\space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=8\\space с$ — период колебаний, $v_0=0.4 \\space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через  $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-20]][[image-814]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.0044$","$0.0028$","$0.0025$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-814":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/kolebaniyatest11.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем скорость груза через $5$ секунд после начала колебаний: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ $$v=0.4 \\cdot \\sin \\frac{2 \\pi\\cdot  5}{8}=-0.2\\sqrt{2}$$","Тогда кинетическая энергия груза через $5$ секунд после начала колебаний равна: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\\frac{0.11\\cdot (-0.2\\sqrt{2})^2}{2}=0.0044$$"]},{"content":"Груз массой $0.06 \\space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \\space с$ — период колебаний, $v_0=0.6 \\space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-53]][[image-785]]","widgets":{"fill_choice_big-53":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.0081$","$0.0025$","$0.001$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-785":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/kolebaniyatest9.svg","width":"100"}},"hints":["Найдем скорость груза через $4$ секунды после начала колебаний: $$v=v_0\\sin \\frac{2 \\pi t}{T}$$ $$v=0.6 \\cdot \\sin \\frac{2 \\pi\\cdot  4}{12}=0.3\\sqrt{3}$$","Тогда кинетическая энергия груза через $4$ секунды после начала колебаний равна: $$E=\\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\\frac{0.06\\cdot (0.3\\sqrt{3})^2}{2}=0.0081$$"]},{"content":"Двигаясь со скоростью $v=4 \\space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=54 \\space кН,$ направленной под острым углом $\\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\\cos \\alpha$$Найдите, при каком угле $\\alpha$ эта мощность будет равна $108\\space кВт.$[[fill_choice_big-158]][[image-758]]","widgets":{"fill_choice_big-158":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-758":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/fermer-traktor-derevnya-1-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\\cos \\alpha$$ $$108=54\\cdot 4 \\cos \\alpha$$ $$\\cos \\alpha = 0.5$$ $$\\alpha = 60$$"]},{"content":"Двигаясь со скоростью $v=3 \\space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=50\\space кН,$ направленной под острым углом $\\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\\cos \\alpha$$Найдите, при каком угле $\\alpha$ эта мощность будет равна $75\\space кВт.$[[fill_choice_big-215]][[image-733]]","widgets":{"fill_choice_big-215":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-733":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/traktor-udobreniya-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\\cos \\alpha$$ $$75=50\\cdot 3 \\cos \\alpha$$ $$\\cos \\alpha = 0.5$$ $$\\alpha = 60$$"]},{"content":"Двигаясь со скоростью $v=5 \\space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=60\\space кН,$ направленной под острым углом $\\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\\cos \\alpha$$Найдите, при каком угле $\\alpha$ эта мощность будет равна $150\\space кВт.$[[fill_choice_big-272]][[image-710]]","widgets":{"fill_choice_big-272":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-710":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_deyatelnost_dop-02-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\\cos \\alpha$$ $$150=60\\cdot 5 \\cos \\alpha$$ $$\\cos \\alpha = 0.5$$ $$\\alpha = 60$$"]},{"content":"Два тела, массой $m=2 \\space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10 \\space м/с$ под углом $2 \\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \\sin^2 \\alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $50$ джоулей.[[fill_choice_big-497]][[image-689]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-689":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/tyagotenie13.svg","width":"302"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \\sin^2 \\alpha$$ $$50 = 2\\cdot 10^2 \\sin^2 \\alpha$$ $$\\sin^2 \\alpha = \\frac{50}{200} = \\frac{1}{4}$$ $$\\sin \\alpha = \\frac{1}{2}$$ $$\\alpha = 30$$ $$2 \\alpha = 60$$"]},{"content":"Два тела, массой $m=3 \\space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=14 \\space м/с$ под углом $2 \\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \\sin^2 \\alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $441$ джоуля.[[fill_choice_big-585]][[image-670]]","widgets":{"fill_choice_big-585":{"type":"fill_choice_big","options":["$120$","$60$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-670":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/kleozavr-lupa-himiya-uchenyj-opyty-kolby-klba.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \\sin^2 \\alpha$$ $$441= 3\\cdot 14^2 \\sin^2 \\alpha$$ $$\\sin^2 \\alpha = \\frac{441}{588} = \\frac{3}{4}$$ $$\\sin \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$ $$\\alpha = 60$$ $$2 \\alpha = 120$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\\sqrt{\\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\\space 400 \\space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $4 \\space км?$  Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-1]][[image-7]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.25$","$2$","$2.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/chto-to-rasskazyvaet-s-gory-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$4=\\sqrt{\\frac{6\\space 400h}{500}}$$ $$16=\\frac{6\\space 400h}{500}$$ $$6\\space 400h = 8\\space 000$$ $$h=1.25$$"]},{"content":"Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\\sqrt{\\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\\space 400 \\space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $68 \\space км?$  Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-30]][[image-133]]","widgets":{"fill_choice_big-30":{"type":"fill_choice_big","options":["$361.25$","$158$","$70.15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-133":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_poznanie-03.svg","width":"299"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$68=\\sqrt{\\frac{6\\space 400h}{500}}$$ $$4 \\space624=\\frac{6\\space 400h}{500}$$ $$6\\space 400h = 2\\space 312 \\space 000$$ $$h=361.25$$"]},{"content":"Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\\sqrt{\\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\\space 400 \\space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $20 \\space км?$  Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-72]][[image-117]]","widgets":{"fill_choice_big-72":{"type":"fill_choice_big","options":["$31.25$","$20.5$","$33.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-117":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/11/vavilon4-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$20=\\sqrt{\\frac{6\\space 400h}{500}}$$ $$400=\\frac{6\\space 400h}{500}$$ $$6\\space 400h = 200\\space 000$$ $$h=31.25$$"]},{"content":"Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\\sqrt{\\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\\space 400 \\space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $12 \\space км?$  Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-170]][[image-303]]","widgets":{"fill_choice_big-170":{"type":"fill_choice_big","options":["$11.25$","$15.6$","$22.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-303":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/lezet-na-goru-alpinist-skalolaz-gora.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$12=\\sqrt{\\frac{6\\space 400h}{500}}$$ $$144=\\frac{6\\space 400h}{500}$$ $$6\\space 400h = 72\\space 000$$ $$h=11.25$$"]},{"content":"При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k =  10^5 \\space Па \\cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $3.2\\cdot 10^6 \\space Па.$[[fill_choice_big-592]][[image-679]]","widgets":{"fill_choice_big-592":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$11$","$0.52$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-679":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/kipenie-vody.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$3.2\\cdot 10^6V^{\\frac{5}{3}} =  10^5$$ $$32\\cdot V^{\\frac{5}{3}} =1$$ $$V^{\\frac{5}{3}}=\\frac{1}{32}$$ $$(\\sqrt[3]{V})^5=\\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^5$$ $$\\sqrt[3]{V} = \\frac{1}{2}$$ $$V =\\frac{1}{8} = 0.125$$"]},{"content":"При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 2.5 \\cdot 10^5 \\space Па \\cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\\frac{4}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $4\\cdot 10^6 \\space Па.$[[fill_choice_big-760]][[image-867]]","widgets":{"fill_choice_big-760":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.5$","$1.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-867":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/fizik_himik-01-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$4\\cdot 10^6V^{\\frac{4}{3}} =  2.5 \\cdot 10^5$$ $$40\\cdot V^{\\frac{4}{3}} =2.5$$ $$V^{\\frac{4}{3}}=\\frac{1}{16}$$ $$(\\sqrt[3]{V})^4=\\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^4$$ $$\\sqrt[3]{V} = \\frac{1}{2}$$ $$V =\\frac{1}{8} = 0.125$$"]},{"content":"При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 5 \\cdot 10^3 \\space Па \\cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $1.6\\cdot 10^5 \\space Па.$[[fill_choice_big-952]][[image-1079]]","widgets":{"fill_choice_big-952":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.55$","$0.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1079":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/himik-laboratoriya-kolby-veshhestvo-1.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$1.6\\cdot 10^5V^{\\frac{5}{3}} = 5 \\cdot 10^3$$ $$160\\cdot V^{\\frac{5}{3}} =5$$ $$V^{\\frac{5}{3}}=\\frac{1}{32}$$ $$(\\sqrt[3]{V})^5=\\Big(\\frac{1}{2}\\Big)^5$$ $$\\sqrt[3]{V} = \\frac{1}{2}$$ $$V =\\frac{1}{8} = 0.125$$"]},{"content":"В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора $C=2 \\cdot 10^{-6}\\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=5\\cdot 10^6\\space  Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16 \\space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\\alpha RC \\log_2 \\frac{U_0}{U}$$ где $\\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $21 \\space с.$ Ответ дайте в киловольтах.[[fill_choice_big-1612]][[image-1819]]","widgets":{"fill_choice_big-1612":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1819":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/watch-TV.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Из формулы выразим логарифм: $$\\log_2 \\frac{U_0}{U}=\\frac{t}{\\alpha RC}$$","Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\\log_2 \\frac{16}{U}=\\frac{21}{0.7 \\cdot  5\\cdot 10^6 \\cdot 2 \\cdot 10^{-6}}$$ $$\\log_2 \\frac{16}{U}=3$$ $$U=2$$"]},{"content":"В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора $C=5 \\cdot 10^{-6}\\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=6\\cdot 10^6\\space  Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \\space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\\alpha RC \\log_2 \\frac{U_0}{U}$$ где $\\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $42 \\space с.$ Ответ дайте в киловольтах.[[fill_choice_big-1884]][[image-2314]]","widgets":{"fill_choice_big-1884":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2314":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/pered-telivezirom-telik-03-01.svg","width":"300"}},"hints":["Из формулы выразим логарифм: $$\\log_2 \\frac{U_0}{U}=\\frac{t}{\\alpha RC}$$","Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\\log_2 \\frac{24}{U}=\\frac{42}{0.7 \\cdot  6\\cdot 10^6 \\cdot 5 \\cdot 10^{-6}}$$ $$\\log_2 \\frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$"]},{"content":"В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора $C=5 \\cdot 10^{-6}\\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=8\\cdot 10^6\\space  Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \\space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\\alpha RC \\log_2 \\frac{U_0}{U}$$ где $\\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $56 \\space с.$ Ответ дайте в киловольтах.[[fill_choice_big-2081]][[image-2275]]","widgets":{"fill_choice_big-2081":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$12$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2275":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pered-telivezirom-telik-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Из формулы выразим логарифм: $$\\log_2 \\frac{U_0}{U}=\\frac{t}{\\alpha RC}$$","Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\\log_2 \\frac{24}{U}=\\frac{56}{0.7 \\cdot  5\\cdot 10^6 \\cdot 8 \\cdot 10^{-6}}$$ $$\\log_2 \\frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=8 \\space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\\alpha vT \\log_2 \\frac{V_1}{V_2}$$ где $\\alpha=5.75 \\space \\frac{Дж}{моль \\cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \\space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$  станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10 \\space 350 \\space Дж.$[[image-1]][[fill_choice_big-55]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/utka-more-rezinovaya.svg","width":"300"},"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\\log_2 \\frac{V_1}{V_2} = \\frac{A}{\\alpha vT}$$","$$\\log_2 \\frac{8}{V_2} = \\frac{10 \\space 350}{5.75 \\cdot  3 \\cdot 300}$$ $$\\log_2 \\frac{8}{V_2} = 2$$ $$V_2 =2$$"]},{"content":"Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=24 \\space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\\alpha vT \\log_2 \\frac{V_1}{V_2}$$ где $\\alpha=5.75 \\space \\frac{Дж}{моль \\cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \\space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$  станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15 \\space 525 \\space Дж.$[[image-4]][[fill_choice_big-119]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/akula-plavnik-more.svg","width":"302"},"fill_choice_big-119":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$8$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\\log_2 \\frac{V_1}{V_2} = \\frac{A}{\\alpha vT}$$","$$\\log_2 \\frac{24}{V_2} = \\frac{15 \\space 525}{5.75 \\cdot  3 \\cdot 300}$$ $$\\log_2 \\frac{24}{V_2} = 3$$ $$V_2 =3$$"]},{"content":"Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=2$ моля воздуха объемом $V_1=48 \\space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\\alpha vT \\log_2 \\frac{V_1}{V_2}$$ где $\\alpha=5.75 \\space \\frac{Дж}{моль \\cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \\space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$  станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10\\space 350\\space Дж.$[[image-9]][[fill_choice_big-180]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/plavaet-pod-vodoi-rasteniya-vodorosli-s-maskoi-1-2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-180":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\\log_2 \\frac{V_1}{V_2} = \\frac{A}{\\alpha vT}$$","$$\\log_2 \\frac{48}{V_2} = \\frac{10 \\space 350}{5.75 \\cdot  2 \\cdot 300}$$ $$\\log_2 \\frac{48}{V_2} = 3$$ $$V_2 =6$$"]},{"content":"В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0=4 \\space м$ — начальный уровень воды, $a = \\frac{1}{100} \\space м/мин^2$ и $b=-\\frac{2}{5} \\space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-478]][[image-1738]]","widgets":{"fill_choice_big-478":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$30$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1738":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/kran-moet-ruki-3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \\frac{1}{100}t^2-\\frac{2}{5}t +4$$<br />Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \\frac{1}{100}t^2-\\frac{2}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-40t +400 =0$$ $$t=20$$"]},{"content":"В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 6 \\space м$ — начальный уровень воды, $a = \\frac{1}{486} \\space м/мин^2$ и $b=-\\frac{2}{9} \\space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-545]][[image-1767]]","widgets":{"fill_choice_big-545":{"type":"fill_choice_big","options":["$54$","$20$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1767":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/santehnik-2.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \\frac{1}{486}t^2-\\frac{2}{9}t +6$$<br />Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \\frac{1}{486}t^2-\\frac{2}{9}t +6 =0$$ $$ t^2-108t +2\\space 916=0$$ $$t=54$$"]},{"content":"В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 4 \\space м$ — начальный уровень воды, $a = \\frac{1}{400} \\space м/мин^2$ и $b=-\\frac{1}{5} \\space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-646]][[image-1798]]","widgets":{"fill_choice_big-646":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$20$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1798":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/kran.svg","width":"302"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \\frac{1}{400}t^2-\\frac{1}{5}t +4$$<br />Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \\frac{1}{400}t^2-\\frac{1}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-80t +1\\space 600 =0$$ $$t=40$$"]},{"content":"Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\\cdot 10^{-8} \\space \\frac{Вт}{м^2 \\cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\\frac{1}{16} \\cdot 10^{20} \\space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \\cdot 10^{25} \\space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.[[fill_choice_big-1546]][[image-1831]]","widgets":{"fill_choice_big-1546":{"type":"fill_choice_big","options":["$4 \\space 000$","$10 \\space 000$","$7 \\space 000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1831":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/teleskop-kosmos-planety-zvezdy-nebo-smotrit-1-6.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \\frac{P}{σS}$$ $$T = \\sqrt[4]{\\frac{P}{σS}}$$","Подставим известные из условия значения в формулу: $$\\sqrt[4]{\\frac{9.12 \\cdot 10^{25}}{5.7\\cdot 10^{-8} \\cdot \\frac{1}{16} \\cdot 10^{20}}}$$ $$T=\\sqrt[4]{256\\cdot 10^{12}}=4\\space000$$"]},{"content":"Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\\cdot 10^{-8} \\space \\frac{Вт}{м^2 \\cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\\frac{1}{343} \\cdot 10^{20} \\space м^2,$ а мощность ее излучения равна $3.99 \\cdot 10^{25} \\space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.[[fill_choice_big-1441]][[image-1866]]","widgets":{"fill_choice_big-1441":{"type":"fill_choice_big","options":["$7 \\space 000$","$2 \\space 000$","$10 \\space 000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1866":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/fi2.svg","width":"300"}},"hints":["Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \\frac{P}{σS}$$ $$T = \\sqrt[4]{\\frac{P}{σS}}$$","Подставим известные из условия значения в формулу: $$\\sqrt[4]{\\frac{3.99 \\cdot 10^{25}}{5.7\\cdot 10^{-8} \\cdot \\frac{1}{343} \\cdot 10^{20}}}$$ $$T=\\sqrt[4]{2 \\space 401\\cdot 10^{12}}=7\\space000$$"]},{"content":"Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\\cdot 10^{-8} \\space \\frac{Вт}{м^2 \\cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\\frac{1}{625} \\cdot 10^{20} \\space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \\cdot 10^{25} \\space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.[[fill_choice_big-1345]][[image-1903]]","widgets":{"fill_choice_big-1345":{"type":"fill_choice_big","options":["$10 \\space 000$","$2 \\space 000$","$12 \\space 000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1903":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/raketa-1.svg","width":"300"}},"hints":["Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \\frac{P}{σS}$$ $$T = \\sqrt[4]{\\frac{P}{σS}}$$","Подставим известные из условия значения в формулу: $$\\sqrt[4]{\\frac{9.12 \\cdot 10^{25}}{5.7\\cdot 10^{-8} \\cdot \\frac{1}{625} \\cdot 10^{20}}}$$ $$T=\\sqrt[4]{10 \\space 000\\cdot 10^{12}}=10\\space000$$"]},{"content":"Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\\cdot 10^{-8} \\space \\frac{Вт}{м^2 \\cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\\frac{1}{8} \\cdot 10^{20} \\space м^2,$ а мощность ее излучения равна $1.14 \\cdot 10^{25} \\space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.[[fill_choice_big-1228]][[image-1942]]","widgets":{"fill_choice_big-1228":{"type":"fill_choice_big","options":["$2 \\space 000$","$4 \\space 000$","$5 \\space 000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1942":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kosmos-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \\frac{P}{σS}$$ $$T = \\sqrt[4]{\\frac{P}{σS}}$$","Подставим известные из условия значения в формулу: $$\\sqrt[4]{\\frac{1.14 \\cdot 10^{25}}{5.7\\cdot 10^{-8} \\cdot \\frac{1}{8} \\cdot 10^{20}}}$$ $$T=\\sqrt[4]{16\\cdot 10^{12}}=2\\space000$$"]}]}

{"questions":[{"content":"На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \\space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \\space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $78 \\space 400 \\space Н?$[[fill_choice_big-1]][[image-942]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$12$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-942":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/01/podvodnyj-gorod-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$78 \\space 400 = 1000 \\cdot 9.8  l^3$$ $$l^3=8$$ $$l=2$$"]},{"content":"На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \\space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \\space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264 \\space 600 \\space Н?$[[fill_choice_big-13]][[image-965]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-965":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/korabl_cevernyj_ledovityj_okean_01.svg","width":"300"}},"hints":["Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$264 \\space 600 = 1000 \\cdot 9.8  l^3$$ $$l^3=27$$ $$l=3$$"]},{"content":"На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \\space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \\space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $1 \\space 225\\space Н?$[[fill_choice_big-38]][[image-990]]","widgets":{"fill_choice_big-38":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$15$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-990":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/yakor-more-1.svg","width":"300"}},"hints":["Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$1 \\space 225 = 1000 \\cdot 9.8  l^3$$ $$l^3=0.125$$ $$l=0.5$$"]},{"content":"Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5\\space 000 \\space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100 \\space км/ч.$[[fill_choice_big-149]][[image-1017]]","widgets":{"fill_choice_big-149":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1017":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/koleso-mashina-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \\frac{v^2}{2a}$$","Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \\frac{100^2}{2\\cdot 5\\space 000}=1$$"]},{"content":"Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=6\\space000 \\space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $60 \\space км/ч.$[[fill_choice_big-210]][[image-1046]]","widgets":{"fill_choice_big-210":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.3$","$1$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1046":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/perehodit-dorogu-01.svg","width":"300"}},"hints":["Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \\frac{v^2}{2a}$$","Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \\frac{60^2}{2\\cdot 6\\space 000}=0.3$$"]},{"content":"Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=6\\space000 \\space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120 \\space км/ч.$[[fill_choice_big-272]][[image-1077]]","widgets":{"fill_choice_big-272":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.2$","$0.6$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1077":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/taksi.svg","width":"300"}},"hints":["Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \\frac{v^2}{2a}$$","Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \\frac{120^2}{2\\cdot 6\\space 000}=1.2$$"]},{"content":"В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \\cdot 2^{-\\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $40 \\space мг.$ Период его полураспада составляет $10 \\space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5 \\space мг.$[[fill_choice_big-497]][[image-1110]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$5$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1110":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/03/kislotnyj-dozhd-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$5 = 40 \\cdot 2^{-\\frac{t}{10}}$$ $$\\frac{5}{40} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{10}}$$ $$\\frac{1}{2}^{3} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{10}}$$ $$t=30$$"]},{"content":"В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \\cdot 2^{-\\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $92 \\space мг.$ Период его полураспада составляет $3 \\space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $23 \\space мг.$[[fill_choice_big-585]][[image-1145]]","widgets":{"fill_choice_big-585":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1145":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/himik-laboratoriya-kolby-veshhestvo-1.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$23 = 92 \\cdot 2^{-\\frac{t}{3}}$$ $$\\frac{23}{92} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{3}}$$ $$\\frac{1}{2}^{2} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{3}}$$ $$t=6$$"]},{"content":"В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \\cdot 2^{-\\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $120 \\space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \\space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $7.5 \\space мг.$[[fill_choice_big-694]][[image-1182]]","widgets":{"fill_choice_big-694":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$6$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1182":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/mudrecz-kolonna-atom.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$7.5 = 120 \\cdot 2^{-\\frac{t}{6}}$$ $$\\frac{7.5}{120} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{6}}$$ $$\\frac{1}{2}^{4} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{6}}$$ $$t=24$$"]},{"content":"В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \\cdot 2^{-\\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $108 \\space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \\space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $27 \\space мг.$[[fill_choice_big-845]][[image-1221]]","widgets":{"fill_choice_big-845":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$24$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1221":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/molekuly-uchenyi-.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$27 = 108\\cdot 2^{-\\frac{t}{6}}$$ $$\\frac{27}{108} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{6}}$$ $$\\frac{1}{2}^{2} = \\frac{1}{2}^{\\frac{t}{6}}$$ $$t=12$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =1.6 + 8t -5t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров?[[fill_choice_big-1]][[image-8]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.2$","$1.4$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/22igraet-v-basketbol-rebenok-reshavr-myach.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$1.6 + 8t -5t^2 =3$$ $$-5t^2+8t-1.4=0$$ $$t_1 = 0.2$$ $$t_2 = 1.4$$","Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $3$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров: $$1.4-0.2=1.2$$"]},{"content":"Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt+at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1400\\space K,$ $a=-10\\space K/мин^2,$ $b=200\\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1760\\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-89]][[image-117]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$18$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-117":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/12/radiator.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1400+200t-10t^2=1760$$ $$-10t^2+200t-360=0$$ $$t_1=2$$ $$t_2 = 18$$ Значит, через $2$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить."]},{"content":"Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt+at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1150\\space K,$ $a=-10\\space K/мин^2,$ $b=230\\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1910\\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-174]][[image-344]]","widgets":{"fill_choice_big-174":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$19$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-344":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/radio.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1150+230t-10t^2=1910$$ $$-10t^2+230t-760=0$$ $$t^2-23t+76=0$$ $$t_1=4$$ $$t_2 = 19$$ Значит, через $4$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить."]},{"content":"Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt+at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1320\\space K,$ $a=-8\\space K/мин^2,$ $b=160\\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1920\\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-251]][[image-308]]","widgets":{"fill_choice_big-251":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$15$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-308":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/duhovka-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1320+160t-8t^2=1920$$ $$-8t^2+160t-600=0$$ $$t^2-20t+75=0$$ $$t_1=5$$ $$t_2 = 15$$ Значит, через $5$ минут после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить."]},{"content":"Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =4+10t-t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров?[[fill_choice_big-489]][[image-594]]","widgets":{"fill_choice_big-489":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$5$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-594":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/sobaka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$4+10t-t^2 =4$$ $$t^2-10t=0$$ $$t_1 = 0$$ $$t_2 = 10$$","Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $4$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров: $$10-0=10$$"]},{"content":"Сила тока в цепи $I$  определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\\frac{U}{R},$ где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $4\\space A.$ Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.[[fill_choice_big-855]][[image-2306]]","widgets":{"fill_choice_big-855":{"type":"fill_choice_big","options":["$55$","$10$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2306":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/rozetka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$4=\\frac{220}{R}$$ $$R=55$$"]},{"content":"Сила тока в цепи $I$  определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\\frac{U}{R},$ где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $5\\space A.$ Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.[[fill_choice_big-984]][[image-2387]]","widgets":{"fill_choice_big-984":{"type":"fill_choice_big","options":["$44$","$55$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2387":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/modelling-phase-2.svg","width":"300"}},"hints":["Подставим имеющиеся данные в формулу: $$5=\\frac{220}{R}$$ $$R=44$$"]},{"content":"Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30 \\space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50 \\space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $150$ до $180\\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\\frac{1}{d_1}+\\frac{1}{d_2} = \\frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-1557]][[image-2473]]","widgets":{"fill_choice_big-1557":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$50$","$41$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2473":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/tsvety-kolokolchiki.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Выразим из уравнения $\\frac{1}{d_1}$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{30}-\\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\\frac{1}{30}-\\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.","Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $180 \\space см$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{30}-\\frac{1}{180} = \\frac{1}{36}$$ $$d_1 = 36$$ $36$ лежит в пределах от $30$ до $50,$ что соответствует условию задачи."]},{"content":"Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30 \\space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ до $50 \\space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $180$ до $210\\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\\frac{1}{d_1}+\\frac{1}{d_2} = \\frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-1788]][[image-2546]]","widgets":{"fill_choice_big-1788":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$50$","$28$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2546":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/research-phase-1.svg","width":"300"}},"hints":["Выразим из уравнения $\\frac{1}{d_1}$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{30}-\\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\\frac{1}{30}-\\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.","Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $210 \\space см$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{30}-\\frac{1}{210} = \\frac{1}{35}$$ $$d_1 = 35$$ $35$ лежит в пределах от $20$ до $50,$ что соответствует условию задачи."]},{"content":"Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=90 \\space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $130$ до $150 \\space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $210$ до $240\\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\\frac{1}{d_1}+\\frac{1}{d_2} = \\frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-2009]][[image-2623]]","widgets":{"fill_choice_big-2009":{"type":"fill_choice_big","options":["$144$","$150$","$145$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2623":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii_dop2-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Выразим из уравнения $\\frac{1}{d_1}$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{90}-\\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\\frac{1}{90}-\\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.","Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $240 \\space см$:$$\\frac{1}{d_1}=\\frac{1}{90}-\\frac{1}{240} = \\frac{1}{144}$$ $$d_1 = 144$$ $144$ лежит в пределах от $130$ до $150,$ что соответствует условию задачи."]}]}