Задание 8. Вычисления и преобразования

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$\\frac{2^{7.5} \\cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} $$[[fill_choice_big-1]][[image-9]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$100$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/rouling-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Разложим знаменатель на множители: $$\\frac{2^{7.5} \\cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} =\\frac{2^{7.5} \\cdot 5^{5.5}}{2^{6.5} \\cdot 5^{6.5}} $$","Сократим полученную дробь: $$\\frac{2^{\\cancel{7.5}^1} \\cdot 5^{\\cancel{5.5}}}{2^{\\cancel{6.5}} \\cdot 5^{\\cancel{6.5}^1}} = \\frac{2}{5}=0.4$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\frac{5^{4.5} \\cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} $$[[fill_choice_big-54]][[image-81]]","widgets":{"fill_choice_big-54":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.2$","$3.5$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/pterodaktil_1-3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Разложим знаменатель на множители: $$\\frac{5^{4.5} \\cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} =\\frac{5^{4.5} \\cdot 6^{6.5}}{6^{5.5} \\cdot 5^{5.5}} $$","Сократим полученную дробь: $$\\frac{5^{\\cancel{4.5}} \\cdot 6^{\\cancel{6.5}^1}}{6^{\\cancel{5.5}} \\cdot 5^{\\cancel{5.5}^1}} = \\frac{6}{5}=1.2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$4^{-\\sqrt{3}+10}:4^{7-\\sqrt{3}}$$[[image-110]][[fill_choice_big-200]]","widgets":{"image-110":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/doska-magnitnaya-molekula.svg","width":"300"},"fill_choice_big-200":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$12$","$35$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$4^{-\\sqrt{3}+10-(7-\\sqrt{3})}$$","$$4^{-\\sqrt{3}+10-7+\\sqrt{3}}=4^3=64$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$3^{-\\sqrt{2}+11}:3^{6-\\sqrt{2}}$$[[image-121]][[fill_choice_big-337]]","widgets":{"image-121":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pterodaktil-uchenyj-mikroskop-uchenyj-himik-himiya.svg","width":"300"},"fill_choice_big-337":{"type":"fill_choice_big","options":["$243$","$64$","$81$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$3^{-\\sqrt{2}+11-(6-\\sqrt{2})}$$","$$3^{-\\sqrt{2}+11-6+\\sqrt{2}}=3^5=243$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$9^{13} \\cdot 19^{11} : 171^{11}$$[[image-470]][[fill_choice_big-897]]","widgets":{"image-470":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/read-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-897":{"type":"fill_choice_big","options":["$81$","$9$","$19$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Запишем выражение в виде дроби: $$\\frac{9^{13} \\cdot 19^{11}}{171^{11}} $$","Разложим знаменатель на множители:$$\\frac{9^{13} \\cdot 19^{11}}{9^{11} \\cdot 19^{11}} $$","Сократим полученную дробь:$$\\frac{9^{\\cancel{13}^2} \\cdot 19^{\\cancel{11}}}{9^{\\cancel{11}} \\cdot 19^{\\cancel{11}}} = 9 ^2 = 81$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$8^8 \\cdot 15^9 : 120^8$$[[image-489]][[fill_choice_big-680]]","widgets":{"image-489":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kniga_nauka-chitaet-molekuly-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-680":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$8$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Запишем выражение в виде дроби: $$\\frac{8^{8} \\cdot 15^{9}}{120^{8}} $$","Разложим знаменатель на множители:$$\\frac{8^{8} \\cdot 15^{9}}{8^{8} \\cdot 15^{8}} $$","Сократим полученную дробь:$$\\frac{8^{\\cancel{8}} \\cdot 15^{\\cancel{9}^1}}{8^{\\cancel{8}} \\cdot 15^{\\cancel{8}}} = 15$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$8^{2\\log_{8}9}$$[[fill_choice_big-1]][[image-892]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$81$","$2$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-892":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/function-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\\log_{8}9}=8^{\\log_{8}9^2}$$","Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\\log_{8}9^2}=9^2=81$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$7^{2\\log_{7}6}$$[[fill_choice_big-14]][[image-915]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$42$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-915":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/tok-shou-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$7^{2\\log_{7}6}=7^{\\log_{7}6^2}$$","Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$7^{\\log_{7}6^2}=6^2=36$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$9^{2\\log_{9}8}$$[[fill_choice_big-45]][[image-940]]","widgets":{"fill_choice_big-45":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$72$","$17$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-940":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/uchenik-uchitel-uchitelnitsa-papka-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$9^{2\\log_{9}8}=9^{\\log_{9}8^2}$$","Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$9^{\\log_{9}8^2}=8^2=64$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$4^{4\\log_{4}3}$$[[fill_choice_big-93]][[image-967]]","widgets":{"fill_choice_big-93":{"type":"fill_choice_big","options":["$81$","$12$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-967":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/have-u-got-ideas.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множитель $4$ под знак логарифма: $$4^{4\\log_{4}3}=4^{\\log_{4}3^4}$$","Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$4^{\\log_{4}3^4}=3^4=81$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$8^{2\\log_{8}11}$$[[fill_choice_big-162]][[image-996]]","widgets":{"fill_choice_big-162":{"type":"fill_choice_big","options":["$121$","$11$","$88$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-996":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ochered-dedushka-ded-krichit-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\\log_{8}11}=8^{\\log_{8}11^2}$$","Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\\log_{8}11^2}=11^2=121$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{3}45-\\log_{3}5$$[[fill_choice_big-314]][[image-1027]]","widgets":{"fill_choice_big-314":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1027":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/neighbours-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\\log_{3}45-\\log_{3}5=\\log_{3}45 : 5$$","$$\\log_{3}45: 5=\\log_{3}9=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{7}686-\\log_{7}2$$[[fill_choice_big-407]][[image-1060]]","widgets":{"fill_choice_big-407":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$7$","$49$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1060":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/teleskop-kosmos-planety-zvezdy-nebo-smotrit-1-6.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\\log_{7}686-\\log_{7}2=\\log_{7}686 : 2$$","$$\\log_{7}686:2 = \\log_7 343=3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{2}80-\\log_{2}5$$[[fill_choice_big-509]][[image-1095]]","widgets":{"fill_choice_big-509":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$128$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1095":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/knigi-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\\log_{2}80-\\log_{2}5=\\log_{2}80 : 5$$","$$\\log_{2}80: 5 = \\log_2 16=4$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{5}100-\\log_{5}4$$[[fill_choice_big-626]][[image-1132]]","widgets":{"fill_choice_big-626":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$12$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1132":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2-5.svg","width":"300"}},"hints":["Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\\log_{5}100-\\log_{5}4=\\log_{5}100 : 4$$","$$\\log_{5}100 :4 = \\log_5 25=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{12}432-\\log_{12}3$$[[fill_choice_big-795]][[image-1171]]","widgets":{"fill_choice_big-795":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1171":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/kalkulyator2-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\\log_{12}432-\\log_{12}3=\\log_{12}432 :3$$","$$\\log_{12}432 : 3= \\log_{12} 144=2$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{81}9$$[[fill_choice_big-1]][[image-892]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$2$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-892":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $81$ как $9$ в степени $2$: $$\\log_{9^2}9$$","Вынесем степень основания за знак логарифма: $$\\log_{9^2}9=\\frac{1}{2}\\log_99$$ $$\\frac{1}{2}\\log_99=\\frac{1}{2}\\cdot 1 = 0.5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{16}64$$[[fill_choice_big-14]][[image-915]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-915":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-2-urok_penal.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $16$ как $4$ в степени $2,$ а число $64$ — как $4$ в степени $3$: $$\\log_{4^2}4^3$$","Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\\log_{4^2}4^3=\\frac{3}{2}\\log_44$$ $$\\frac{3}{2}\\log_44=\\frac{3}{2}\\cdot 1 = 1.5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{32}64$$[[fill_choice_big-45]][[image-940]]","widgets":{"fill_choice_big-45":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.2$","$1.5$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-940":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/sidyat-za-partoj-ruchka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $64$ — как $2$ в степени $6$: $$\\log_{2^5}2^6$$","Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\\log_{2^5}2^6=\\frac{6}{5}\\log_22$$ $$\\frac{6}{5}\\log_22=\\frac{6}{5}\\cdot 1 = 1.2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{32}4$$[[fill_choice_big-93]][[image-967]]","widgets":{"fill_choice_big-93":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$1.2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-967":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/ruchka-ezhednevnik.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $ 4$ — как $2$ в степени $2$: $$\\log_{2^5}2^2$$","Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\\log_{2^5}2^2=\\frac{2}{5}\\log_22$$ $$\\frac{2}{5}\\log_22=\\frac{2}{5}\\cdot 1 = 0.4$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{16}128$$[[fill_choice_big-162]][[image-996]]","widgets":{"fill_choice_big-162":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.75$","$0.5$","$3.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-996":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $16$ как $2$ в степени $4,$ а число $128$ — как $2$ в степени $7$: $$\\log_{2^4}2^7$$","Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\\log_{2^4}2^7=\\frac{7}{4}\\log_22$$ $$\\frac{7}{4}\\log_22=\\frac{7}{4}\\cdot 1 = 1.75$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{3}5.4 + \\log_{3}5$$[[fill_choice_big-314]][[image-1027]]","widgets":{"fill_choice_big-314":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1027":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchenik-01-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\\log_{3}5.4 + \\log_{3}5=\\log_{3}5.4 \\cdot 5$$","$$\\log_{3}5.4 \\cdot 5=\\log_{3}27=3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{7}4.9 + \\log_{7}10$$[[fill_choice_big-407]][[image-1060]]","widgets":{"fill_choice_big-407":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$7$","$49$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1060":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_knigi-ruchka-karandash-drobi-stol-krivye.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\\log_{7}4.9 + \\log_{7}10=\\log_{7}4.9 \\cdot 10$$","$$\\log_{7}4.9 \\cdot 10 = \\log_7 49=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{2}12.8 + \\log_{2}5$$[[fill_choice_big-509]][[image-1095]]","widgets":{"fill_choice_big-509":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$128$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1095":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/klass-parta-uchitel-uchenik.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\\log_{2}12.8 + \\log_{2}5=\\log_{2}12.8 \\cdot 5$$","$$\\log_{2}12.8 \\cdot 5 = \\log_2 64=6$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{5}12.5 + \\log_{5}2$$[[fill_choice_big-626]][[image-1132]]","widgets":{"fill_choice_big-626":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$12$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1132":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2-3.svg","width":"300"}},"hints":["Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\\log_{5}12.5 + \\log_{5}2=\\log_{5}12.5 \\cdot 2$$","$$\\log_{5}12.5 \\cdot 2 = \\log_5 25=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$\\log_{5}31.25 + \\log_{5}4$$[[fill_choice_big-795]][[image-1171]]","widgets":{"fill_choice_big-795":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1171":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\\log_{5}31.25 + \\log_{5}4=\\log_{5}31.25 \\cdot 4$$","$$\\log_{5}31.25 \\cdot 4 = \\log_5 125=3$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$ (\\sqrt{13} — \\sqrt{6})(\\sqrt{13}+\\sqrt{6})$$[[fill_choice_big-1]][[image-1096]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$18$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1096":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$","$$(\\sqrt{13})^2 — (\\sqrt{6})^2 = 13-6 = 7$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$ (\\sqrt{13} — \\sqrt{3})(\\sqrt{13}+\\sqrt{3})$$[[fill_choice_big-15]][[image-1057]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$5$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1057":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr_giperbola-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$","$$(\\sqrt{13})^2 — (\\sqrt{3})^2 = 13-3 = 10$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$ (\\sqrt{19} — \\sqrt{5})(\\sqrt{19}+\\sqrt{5})$$[[fill_choice_big-36]][[image-1020]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$22$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1020":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-2-urok_ryukzak.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$","$$(\\sqrt{19})^2 — (\\sqrt{5})^2 = 19-5 = 14$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$ (\\sqrt{11} — \\sqrt{6})(\\sqrt{11}+\\sqrt{6})$$[[fill_choice_big-70]][[image-985]]","widgets":{"fill_choice_big-70":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$17$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-985":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/pisatel-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$","$$(\\sqrt{11})^2 — (\\sqrt{6})^2 = 11-6 = 5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$ (\\sqrt{14} — \\sqrt{3})(\\sqrt{14}+\\sqrt{3})$$[[fill_choice_big-115]][[image-952]]","widgets":{"fill_choice_big-115":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$17$","$54$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-952":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$","$$(\\sqrt{14})^2 — (\\sqrt{3})^2 = 14-3 = 11$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$5 \\cdot \\sqrt[4]{216} \\cdot \\sqrt[12]{216}$$[[fill_choice_big-267]][[image-921]]","widgets":{"fill_choice_big-267":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$4$","$1 \\space 080$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-921":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_skuchayushhij.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим корни в виде степеней: $$ 5 \\cdot 216^{\\frac{1}{4}} \\cdot 216^{\\frac{1}{12}}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5 \\cdot 216^{\\frac{1}{4}+\\frac{1}{12}}=5 \\cdot 216^{\\frac{4}{12}}$$ $$5 \\cdot 216^{\\frac{4}{12}}= 5 \\cdot 216^{\\frac{1}{3}}=5 \\cdot 6 = 30$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$6 \\cdot \\sqrt[6]{32} \\cdot \\sqrt[30]{32}$$[[fill_choice_big-390]][[image-892]]","widgets":{"fill_choice_big-390":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$15$","$186$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-892":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_ozadachennyj.svg","width":"300"}},"hints":["Представим корни в виде степеней: $$ 6 \\cdot 32^{\\frac{1}{6}} \\cdot 32^{\\frac{1}{30}}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$6 \\cdot 32^{\\frac{1}{6}+\\frac{1}{30}}=6 \\cdot 32^{\\frac{6}{30}}$$ $$6 \\cdot 32^{\\frac{6}{30}}= 6 \\cdot 32^{\\frac{1}{5}}=6 \\cdot 2 = 12$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$7 \\cdot \\sqrt[3]{16} \\cdot \\sqrt[6]{16}$$[[fill_choice_big-478]][[image-865]]","widgets":{"fill_choice_big-478":{"type":"fill_choice_big","options":["$28$","$14$","$160$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-865":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/child.svg","width":"298"}},"hints":["Представим корни в виде степеней: $$ 7 \\cdot 16^{\\frac{1}{3}} \\cdot 16^{\\frac{1}{6}}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$7 \\cdot 16^{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{6}}=7 \\cdot 16^{\\frac{3}{6}}$$ $$7 \\cdot 16^{\\frac{3}{6}}= 7 \\cdot 16^{\\frac{1}{2}}=7 \\cdot 4 = 28$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$5 \\cdot \\sqrt[4]{27} \\cdot \\sqrt[12]{27}$$[[fill_choice_big-579]][[image-840]]","widgets":{"fill_choice_big-579":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$270$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-840":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/flashcards.svg","width":"300"}},"hints":["Представим корни в виде степеней: $$ 5 \\cdot 27^{\\frac{1}{4}} \\cdot 27^{\\frac{1}{12}}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5 \\cdot 27^{\\frac{1}{4}+\\frac{1}{12}}=5 \\cdot 27^{\\frac{4}{12}}$$ $$5 \\cdot 27^{\\frac{4}{12}}= 5 \\cdot 27^{\\frac{1}{3}}=5 \\cdot 3 = 15$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$11 \\cdot \\sqrt[3]{9} \\cdot \\sqrt[6]{9}$$[[fill_choice_big-720]][[image-817]]","widgets":{"fill_choice_big-720":{"type":"fill_choice_big","options":["$33$","$21$","$121$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-817":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/govorlivyj-govorit-gromkogovoritel-1-1.svg","width":"300"}},"hints":["Представим корни в виде степеней: $$ 11 \\cdot 9^{\\frac{1}{3}} \\cdot 9^{\\frac{1}{6}}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$11 \\cdot 9^{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{6}}=11 \\cdot 9^{\\frac{3}{6}}$$ $$11 \\cdot 9^{\\frac{3}{6}}= 11 \\cdot 9^{\\frac{1}{2}}=11 \\cdot 3 = 33$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$7^{0.12} \\cdot 49^{0.44}$$[[fill_choice_big-1]][[image-895]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$0.5$","$0.49$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-895":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-peremennaya-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $49$ в виде $7$ в степени $2$: $$7^{0.12} \\cdot (7^2)^{0.44}$$ $$7^{0.12} \\cdot 7^{0.88}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$7^{0.12} \\cdot 7^{0.88}=7^{0.12+0.88}$$ $$7^{0.12+0.88}=7^1=7$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$2^{0.04} \\cdot 16^{0.24}$$[[fill_choice_big-19]][[image-918]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$128$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-918":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/voobrazhavr-v-ochkah-s-knigoi-kniga-tetrad-pishet.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $16$ в виде $2$ в степени $4$: $$2^{0.04} \\cdot (2^4)^{0.24}$$ $$2^{0.04} \\cdot 2^{0.96}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$2^{0.04} \\cdot 2^{0.96}=2^{0.04+0.96}$$ $$2^{0.04+0.96}=2^1=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$3^{0.36} \\cdot 81^{0.16}$$[[fill_choice_big-52]][[image-943]]","widgets":{"fill_choice_big-52":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-943":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/v-ochkah-s-knigoi-kniga-tetrad-pishet-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $81$ в виде $3$ в степени $4$: $$3^{0.36} \\cdot (3^4)^{0.16}$$ $$3^{0.36} \\cdot 3^{0.64}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$3^{0.36} \\cdot 3^{0.64}=3^{0.36+0.64}$$ $$3^{0.36+0.64}=3^1=3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$6^{0.54} \\cdot 36^{0.23}$$[[fill_choice_big-109]][[image-970]]","widgets":{"fill_choice_big-109":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-970":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/uchenik-tablitsa-umnozheniya-kalkulyator.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $36$ в виде $6$ в степени $2$: $$6^{0.54} \\cdot (6^2)^{0.23}$$ $$6^{0.54} \\cdot 6^{0.46}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$6^{0.54} \\cdot 6^{0.46}=6^{0.54+0.46}$$ $$6^{0.54+0.46}=6^1=6$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$5^{0.36} \\cdot 25^{0.32}$$[[fill_choice_big-186]][[image-999]]","widgets":{"fill_choice_big-186":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$25$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-999":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/klass-parta-uchitel-uchenik.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим число $25$ в виде $5$ в степени $2$: $$5^{0.36} \\cdot (5^2)^{0.32}$$ $$5^{0.36} \\cdot 5^{0.64}$$","При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5^{0.36} \\cdot 5^{0.64}=5^{0.36+0.64}$$ $$5^{0.36+0.64}=5^1=5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$(10^{11})^7 : 10^{78}$$[[fill_choice_big-333]][[image-1030]]","widgets":{"fill_choice_big-333":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$100$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1030":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_nauka-chitaet-obrazavr-01-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{11})^7 : 10^{78}= 10^{77}: 10^{78}$$","При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{77}: 10^{78}=10^{77-78}$$ $$10^{77-78}=10^{-1} = 0.1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$(10^{13})^5 : 10^{66}$$[[fill_choice_big-432]][[image-1063]]","widgets":{"fill_choice_big-432":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$20$","$1\\space000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1063":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/devochka-devushka-ochki-govorit-stoit-1-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{13})^5 : 10^{66}= 10^{65}: 10^{66}$$","При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{65}: 10^{66}=10^{65-66}$$ $$10^{65-66}=10^{-1} = 0.1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$5^{11} : (5^{3})^4$$[[fill_choice_big-541]][[image-1098]]","widgets":{"fill_choice_big-541":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.1$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1098":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/obrazavry-obshhayutsya-razgovarivayut-peremennaya-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При возведении степени в степень степени перемножаются: $$5^{11} : (5^{3})^4= 5^{11} : 5^{12}$$","При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$ 5^{11} : 5^{12}=5^{11-12}$$ $$5^{11-12}=5^{-1} = 0.2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$(5^{12})^3 : 5^{37}$$[[fill_choice_big-666]][[image-1135]]","widgets":{"fill_choice_big-666":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$25$","$100$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/divan-torsher-kniga-chitaet-kgigu.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(5^{12})^3 : 5^{37}= 5^{36}: 5^{37}$$","При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$5^{36}: 5^{37}=5^{36-37}$$ $$5^{36-37}=5^{-1} = 0.2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения: $$(2^{13})^6 : 2^{79}$$[[fill_choice_big-798]][[image-1174]]","widgets":{"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$0.01$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1174":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/ochki.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(2^{13})^6 : 2^{79}= 2^{78}: 2^{79}$$","При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$2^{78}: 2^{79}=2^{78-79}$$ $$2^{78-79}=2^{-1} = 0.5$$"]}]}