Задание 8. Производная и первообразная

{"questions":[{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−14;9).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−6;8].$[[image-1]][[fill_choice_big-271]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/20_20-01.svg"},"fill_choice_big-271":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-1,$ $x_2=6.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−12;11).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−5;5].$[[image-4]][[fill_choice_big-312]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/19_19-01.svg"},"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=-1.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−13;10).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−4;7].$[[image-9]][[fill_choice_big-353]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/18_18-01.svg"},"fill_choice_big-353":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-2,$ $x_2=5.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;20).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[-3;18].$[[image-16]][[fill_choice_big-394]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/17_17-01.svg"},"fill_choice_big-394":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=-2,$ $x_2=5,$ $x_3=11.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;7].$[[image-25]][[fill_choice_big-435]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg"},"fill_choice_big-435":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−14;9).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−6;8].$[[image-36]][[fill_choice_big-476]]","widgets":{"image-36":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/20_20-01.svg"},"fill_choice_big-476":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-3,$ $x_2=4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−12;11).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−11;9].$[[image-49]][[fill_choice_big-517]]","widgets":{"image-49":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/19_19-01.svg"},"fill_choice_big-517":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-7,$ $x_2=6.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−13;10).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−12;8].$[[image-64]][[fill_choice_big-558]]","widgets":{"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/18_18-01.svg"},"fill_choice_big-558":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=-6,$ $x_2=2,$ $x_3=7.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;20).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[0;18].$[[image-81]][[fill_choice_big-599]]","widgets":{"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/17_17-01.svg"},"fill_choice_big-599":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=3,$ $x_2=8,$ $x_3=15.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;4].$[[image-100]][[fill_choice_big-640]]","widgets":{"image-100":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg"},"fill_choice_big-640":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=-2.$"]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;5).$ В какой точке отрезка $[−5;4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-1]][[fill_choice_big-21]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/21_21-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$-4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[−5;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $-1.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−1;10).$ В какой точке отрезка $[0;4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-40]][[fill_choice_big-62]]","widgets":{"image-40":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/16_16-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-62":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;11).$ В какой точке отрезка $[-2;3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-115]][[fill_choice_big-146]]","widgets":{"image-115":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/15_15-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$-1$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-2;3].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;4).$ В какой точке отрезка $[-7;3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-233]][[fill_choice_big-348]]","widgets":{"image-233":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/1_1-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-348":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$-5$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-7;3].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $-1.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−2;11).$ В какой точке отрезка $[4;10]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-283]][[fill_choice_big-480]]","widgets":{"image-283":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/2_2-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-480":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$4$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[4;10].$ На нем производная функции $f(x)$ положительна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка возрастает. Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $10.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;5).$ В какой точке отрезка $[0;4]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-666]][[fill_choice_big-898]]","widgets":{"image-666":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/21_21-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-898":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;11).$ В какой точке отрезка $[3;10]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-1015]][[fill_choice_big-1319]]","widgets":{"image-1015":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/15_15-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1319":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[3;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;11).$ В какой точке отрезка $[4;10]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-1055]][[fill_choice_big-1639]]","widgets":{"image-1055":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/6_6-01-1.svg","width":"397"},"fill_choice_big-1639":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[4;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $8.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−2;11).$ В какой точке отрезка $[-1;10]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-1112]][[fill_choice_big-1923]]","widgets":{"image-1112":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/2_2-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1923":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-1;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;4).$ В какой точке отрезка $[0;3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-1158]][[fill_choice_big-2148]]","widgets":{"image-1158":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/1_1-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-2148":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$0$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;3].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$"]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунке изображен график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $−2,$ $−1,$ $3,$ $4.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.[[image-1]][[fill_choice_big-73]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/14_14-01.svg"},"fill_choice_big-73":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$-1$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $3$ и $4$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−2$ и $-1$ — убывает. Значит, наибольшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $3,$ либо в $4.$ В точке $4$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной больше. Значит, в ней модуль значения производной больше."]},{"content":"На рисунке изображен график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $−2,$ $−1,$ $3,$ $4.$ В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.[[image-4]][[fill_choice_big-150]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/14_14-01.svg"},"fill_choice_big-150":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$-1$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $3$ и $4$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−2$ и $-1$ — убывает. Значит, наименьшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-2,$ либо в $-1.$ В точке $-2$ функция $f(x)$ убывает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной меньше. Значит, в ней значение производной меньше."]},{"content":"На рисунке изображен график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $−2,$ $−1,$ $3,$ $4.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.[[image-21]][[fill_choice_big-353]]","widgets":{"image-21":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/13_13-01.svg"},"fill_choice_big-353":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$-1$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $-2$ и $3$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−1$ и $4$ — убывает. Значит, наибольшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-2,$ либо в $3.$ В точке $3$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной больше. Значит, в ней модуль значения производной больше."]},{"content":"На рисунке изображен график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $−2,$ $−1,$ $3,$ $4.$ В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.[[image-28]][[fill_choice_big-272]]","widgets":{"image-28":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/13_13-01.svg"},"fill_choice_big-272":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$-2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $-2$ и $3$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−1$ и $4$ — убывает. Значит, наименьшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-1,$ либо в $4.$ В точке $-1$ функция $f(x)$ убывает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной меньше. Значит, в ней значение производной меньше."]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−14;9).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−4;3].$[[image-479]][[fill_choice_big-599]]","widgets":{"image-479":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/20_20-01.svg"},"fill_choice_big-599":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$10$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−4;3].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=−3$ и $x=-1.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−4;3],$ равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−14;9).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−5;8].$[[image-498]][[fill_choice_big-1341]]","widgets":{"image-498":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/20_20-01.svg"},"fill_choice_big-1341":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$15$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−5;8].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в четырех точках: $x=−3,$ $x=−1,$ $x=4$ и $x=6.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−5;8],$ равно $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−12;11).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;9].$[[image-860]][[fill_choice_big-1169]]","widgets":{"image-860":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/19_19-01.svg"},"fill_choice_big-1169":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−3;9].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=−1$ и $x=6.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;9],$ равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−13;10).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−10;8].$[[image-885]][[fill_choice_big-1627]]","widgets":{"image-885":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/18_18-01.svg"},"fill_choice_big-1627":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$11$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−10;8].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в пяти точках: $x=−6,$ $x=−2,$ $x=2,$ $x=5$ и $x=7.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−10;8],$ равно $5.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;20).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[0;7].$[[image-990]][[fill_choice_big-2190]]","widgets":{"image-990":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/17_17-01.svg"},"fill_choice_big-2190":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$7$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[0;7].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=3$ и $x=5.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[0;7],$ равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;11).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−1;9].$[[image-1033]][[fill_choice_big-1947]]","widgets":{"image-1033":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/15_15-01.svg"},"fill_choice_big-1947":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$7$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−1;9].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=2$ и $x=4.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−1;9],$ равно $2.$"]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0.$[[image-1]][[fill_choice_big-41]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/7_7-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.75$","$2$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Значение производной в точке касания равно тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной. Построим прямоугольный треугольник по данным точкам и найдем тангенс угла наклона: $$\\tg \\alpha=\\frac{14}{8}=1.75$$"]},{"content":"На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0.$[[image-4]][[fill_choice_big-77]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/8_8-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-77":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$2.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Значение производной в точке касания равно тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной. Построим прямоугольный треугольник по данным точкам и найдем тангенс угла наклона: $$\\tg \\alpha=\\frac{6}{3}=2$$"]},{"content":"На рисунке изображён график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ положительна.[[image-130]][[fill_choice_big-220]]","widgets":{"image-130":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/9_9-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-220":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке положительно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку возрастания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках возрастания функции $f(x)$ лежат точки $x_2,$ $x_3,$ $x_6,$ $x_7$ и $x_8,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $5.$"]},{"content":"На рисунке изображён график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.[[image-141]][[fill_choice_big-315]]","widgets":{"image-141":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/9_9-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-315":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке отрицательно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку убывания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках убывания функции $f(x)$ лежат точки $x_1,$ $x_4,$ и $x_5,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $3.$"]},{"content":"На рисунке изображён график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ положительна.[[image-431]][[fill_choice_big-541]]","widgets":{"image-431":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/10_10-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-541":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке положительно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку возрастания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках возрастания функции $f(x)$ лежат точки $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4$ и $x_8,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $5.$"]},{"content":"На рисунке изображён график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.[[image-450]][[fill_choice_big-692]]","widgets":{"image-450":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/10_10-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-692":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке отрицательно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку убывания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках убывания функции $f(x)$ лежат точки $x_5,$ $x_6,$ и $x_7,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)?$[[image-905]][[fill_choice_big-225]]","widgets":{"image-905":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/11_11-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-225":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка принадлежит промежутку убывания функции тогда, когда производная в этой точке принимает отрицательное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная отрицательна в точках $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ и $x_8.$ Таких точек $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$[[image-932]][[fill_choice_big-426]]","widgets":{"image-932":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/11_11-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-426":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка принадлежит промежутку возрастания функции тогда, когда производная в этой точке принимает положительное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная положительна в точках $x_1,$ $x_2,$ $x_6$ и $x_7.$ Таких точек $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)?$[[image-961]][[fill_choice_big-863]]","widgets":{"image-961":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/12_12-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-863":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка принадлежит промежутку убывания функции тогда, когда производная в этой точке принимает отрицательное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная отрицательна в точках $x_2,$ $x_3,$ и $x_5.$ Таких точек $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$[[image-992]][[fill_choice_big-657]]","widgets":{"image-992":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/12_12-01.svg","width":"402"},"fill_choice_big-657":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Точка принадлежит промежутку возрастания функции тогда, когда производная в этой точке принимает положительное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная положительна в точках $x_1,$ $x_4,$ $x_6,$ $x_7$ и $x_8.$ Таких точек $5.$"]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=5−7x$ или совпадает с ней.[[image-1]][[fill_choice_big-11]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/4_4-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$-5$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти такое значение $x,$ при котором выполняется равенство $f'(x)=−7.$ Из рисунка мы видим, что функция $f'(x)$ принимает значение $−7$ в точке $-2.$ Следовательно, абсцисса точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=5−7x$ или совпадает с ней, равна $-2.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=8−4x$ или совпадает с ней.[[image-40]][[fill_choice_big-71]]","widgets":{"image-40":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/4_4-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-71":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$-2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти такое значение $x,$ при котором выполняется равенство $f'(x)=−4.$ Из рисунка мы видим, что функция $f'(x)$ принимает значение $−4$ в точке $-3.$ Следовательно, абсцисса точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=8−4x$ или совпадает с ней, равна $-3.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=11−2x$ или совпадает с ней.[[image-124]][[fill_choice_big-199]]","widgets":{"image-124":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/3_3-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-199":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$-3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти такое значение $x,$ при котором выполняется равенство $f'(x)=−2.$ Из рисунка мы видим, что функция $f'(x)$ принимает значение $−2$ в точке $-4.$ Следовательно, абсцисса точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=11−2x$ или совпадает с ней, равна $-4.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3x−5$ или совпадает с ней.[[image-280]][[fill_choice_big-365]]","widgets":{"image-280":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-365":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $3,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=3.$ Мысленно проведём прямую $y=3$. Она пересекает график $f'(x)$ в пяти точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3x−5$ или совпадает с ней, равно $5.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=2x−1$ или совпадает с ней.[[image-497]][[fill_choice_big-636]]","widgets":{"image-497":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-636":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $2,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=2.$ Мысленно проведём прямую $y=2$. Она пересекает график $f'(x)$ в четырех точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=2x−1$ или совпадает с ней, равно $4.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=6-3x$ или совпадает с ней.[[image-525]][[fill_choice_big-798]]","widgets":{"image-525":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $-3,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=-3.$ Мысленно проведём прямую $y=-3$. Она пересекает график $f'(x)$ в четырех точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=6-3x$ или совпадает с ней, равно $4.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−3;11).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=7-x$ или совпадает с ней.[[image-974]][[fill_choice_big-1142]]","widgets":{"image-974":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/6_6-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-1142":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $-1,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=-1.$ Мысленно проведём прямую $y=-1$. Она пересекает график $f'(x)$ в трех точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=7-x$ или совпадает с ней, равно $3.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−3;11).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3+2x$ или совпадает с ней.[[image-1001]][[fill_choice_big-1409]]","widgets":{"image-1001":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/6_6-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-1409":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $2,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=2.$ Мысленно проведём прямую $y=2$. Она пересекает график $f'(x)$ в четырех точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3+2x$ или совпадает с ней, равно $4.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−2;11).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=5-2x$ или совпадает с ней.[[image-1677]][[fill_choice_big-1911]]","widgets":{"image-1677":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/2_2-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-1911":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$-2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $-2,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=-2.$ Мысленно проведём прямую $y=-2$. Она пересекает график $f'(x)$ в двух точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=5-2x$ или совпадает с ней, равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−8;4).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=16+4x$ или совпадает с ней.[[image-1712]][[fill_choice_big-2211]]","widgets":{"image-1712":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/1_1-01-1.svg","width":"500"},"fill_choice_big-2211":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $4,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой  $y=4.$ Мысленно проведём прямую $y=4$. Она пересекает график $f'(x)$ в двух точках. Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=16+4x$ или совпадает с ней, равно $2.$"]}]}