Задание 11. Текстовые задачи

{"questions":[{"content":"Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $А$ в город $В,$ расстояние между которыми равно $70 км.$ На следующий день он отправился обратно со скоростью на $3 км/ч$ больше прежней. По дороге он сделал остановку на $3$ часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $А$ в $В.$ Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-1]][[image-802]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-802":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/na-velike-velosiped-01-2-3.svg","width":"300"}},"hints":["Пусть скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $x км/ч.$ Тогда скорость из $A$ в $B$ будет равна $x-3 \\spaceкм/ч.$ Время движения велосипедиста вперед будет: $\\frac{70}{x-3} \\spaceч,$ а время движения велосипедиста назад будет равно: $\\frac{70}{x}+3 \\spaceч.$ На путь из $B$ в $A$ велосипедист затратил столько же времени, сколько и на путь из $A$ в $B$: $$\\frac{70}{x}+3=\\frac{70}{x-3}$$","Решим полученное уравнение: $$x^2-3x-70=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-7$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста на пути из города $B$ в город $A$ равна $10 \\spaceкм/ч.$"]},{"content":"Два друга отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по парку. Скорость первого на $1.5\\space км/ч$ больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между друзьями станет равным $300$ метрам?[[fill_choice_big-14]][[image-825]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$20$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-825":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/quiet-tishina-golubi-pticza-park-01.svg","width":"300"}},"hints":["Скорости друзей отличаются на $1.5\\space км/ч,$ значит, они удаляются друг от друга каждый час на $1.5\\space км.$ Следовательно, для того чтобы найти время, через которое расстояние между ними станет равным $300\\space м,$ нужно необходимое расстояние разделить на скорость удаления: $$\\frac{300}{1500}=0.2$$ Переведем часы в минуты: $$0.2 \\cdot 60 = 12$$"]},{"content":"Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать $25$ литров воды?[[fill_choice_big-57]][[image-850]]","widgets":{"fill_choice_big-57":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-850":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/podsolnuh-01-1.svg","width":"303"}},"step":1,"hints":["Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, значит, скорость его работы — $\\frac{5}{2}.$ Второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты: $\\frac{5}{3}.$ Найдем скорость совместной работы насосов: $$\\frac{5}{2}+\\frac{5}{3} = \\frac{25}{6}$$","Чтобы найти время, за которое насосы перекачают $25$ литров, разделим всю работу на общую скорость работы: $$25:\\frac{25}{6} = 6$$"]},{"content":"Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\\%$ меди, а второй содержит $40\\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $3 \\space кг.$ Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30\\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-124]][[image-877]]","widgets":{"fill_choice_big-124":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-877":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"302"}},"hints":["Пусть масса первого сплава составляет $x \\spaceкг.$ Тогда масса второго сплава равна $(x+3)\\space кг,$ а масса третьего сплава равна $x+x+3 \\space кг.$ Следовательно, масса меди в первом сплаве равна $0.1x \\spaceкг,$ во втором сплаве — $0.4(x+3)\\space кг,$ а в третьем — $0.3(2x+3)\\space кг.$ Сумма масс меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве: $$0.1x+0.4(x+3)=0.3(2x+3)$$ $$0.1x=0.3$$ $$x=3$$ Найдем массу третьего сплава: $$3+3+3=9$$"]},{"content":"Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $67\\%.$ Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на $4\\%.$ Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?[[fill_choice_big-69]][[image-906]]","widgets":{"fill_choice_big-69":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$54$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-906":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/semya-s-kotom.svg","width":"303"}},"step":1,"hints":["Если зарплату мужа увеличить вдвое, общий доход семьи увеличится на сумму, равную исходной зарплате мужа, значит, зарплата мужа составляет $67\\%$ от общего дохода семьи. При уменьшении стипендии дочери втрое общий доход семьи уменьшится на сумму, равную $\\frac{2}{3}$ исходной стипендии дочери, то есть на $4\\%.$ Найдем часть дохода семьи, которую составляет стипендия дочери: $$4:\\frac{2}{3}=6$$ Осталось найти долю зарплаты жены: $$100-67-6=27$$"]},{"content":"Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью $60 \\spaceкм/ч,$ вторую треть — со скоростью $120\\spaceкм/ч,$ а последнюю — со скоростью $110\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-222]][[image-937]]","widgets":{"fill_choice_big-222":{"type":"fill_choice_big","options":["$88$","$50$","$81$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-937":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/zapravka.svg","width":"300"}},"hints":["Чтобы найти среднюю скорость на протяжении всего пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Примем весь путь за $3s \\space км.$ Тогда первую треть трассы автомобиль преодолел за $\\frac{s}{60}\\spaceч,$ вторую треть — за $\\frac{s}{120}\\spaceч,$ а последнюю треть — за $\\frac{s}{110}\\spaceч.$","Составим уравнение и найдем среднюю скорость автомобиля: $$v=\\frac{3s}{\\frac{s}{60}+\\frac{s}{120}+\\frac{s}{110}}$$ $$v=\\frac{12\\cdot 10\\cdot11\\cdot3}{45}$$ $$v=88$$"]},{"content":"Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60\\spaceкм/ч,$ проезжает мимо станции, длина которой равна $400$ метрам, за $1$ минуту. Найдите длину поезда в метрах.[[fill_choice_big-171]][[image-970]]","widgets":{"fill_choice_big-171":{"type":"fill_choice_big","options":["$600$","$500$","$400$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-970":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/stancziya-poezd-ostanovka-elektrichka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["За $1$ минуту поезд проезжает $1000$ метров, так как скорость поезда равна $60\\spaceкм/ч.$ За $1$ минуту поезд проезжает мимо станции, значит, проходит расстояние, равное сумме длины станции и длины поезда. Следовательно, длина поезда составляет: $$1000−400=600$$"]},{"content":"Моторная лодка в $11:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $30\\space км$ от $A.$ Пробыв в пункте $B$ $2$ часа $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $19:00$ того же дня. Определите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки $1\\spaceкм/ч.$[[fill_choice_big-705]][[image-1005]]","widgets":{"fill_choice_big-705":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$12$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1005":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/yahta-lodka-korabl-01-3-1.svg","width":"300"}},"hints":["Примем собственную скорость лодки за $x.$ Тогда скорость лодки по течению равна $x+1\\space км/ч,$ а скорость лодки против течения равна $ x-1\\space км/ч.$ Время движения лодки по течению равно $\\frac{30}{x+1} \\space ч,$ а время движения лодки против течения равно $\\frac{30}{x−1}\\spaceч.$ Моторная лодка находилась в движении всего $8-2.5=5.5 \\spaceч.$ Составим уравнение: $$\\frac{30}{x+1}+\\frac{30}{x-1}=5.5$$ $$11x^2-120x-11=0$$ $$x_1=11$$ $$x_2=-\\frac{1}{11}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость лодки равна $11\\spaceкм/ч.$"]},{"content":"Два велосипедиста одновременно отправились в $88$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $3\\space км/ч$ большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-618]][[image-1042]]","widgets":{"fill_choice_big-618":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$9$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1042":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/bicycle-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Примем скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, за $x.$ Тогда его время в пути равно $\\frac{88}{x} \\spaceч.$ Скорость пришедшего первым к финишу велосипедиста равна $x+3 \\spaceкм/ч,$ а его время в пути равно $\\frac{88}{x+3} \\spaceч.$ Первый велосипедист прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго: $$\\frac{88}{x}-\\frac{88}{x+3} = 3$$ $$x^2+3x-88=0$$ $$x_1=8$$ $$x_2=-11$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна $8\\spaceкм/ч.$"]},{"content":"Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $280\\space км$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $4\\space км/ч,$ стоянка длится $15$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $39$ часов после отплытия из него. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-541]][[image-1081]]","widgets":{"fill_choice_big-541":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$15$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1081":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/korabl_cevernyj_ledovityj_okean_01.svg","width":"300"}},"hints":["Примем собственную скорость теплохода за $x.$ Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4\\space км/ч,$ а скорость теплохода против течения равна $x-4\\space км/ч.$ Теплоход находился в движении $39 -15=24\\spaceч.$ Составим уравнение: $$\\frac{280}{x+4}+\\frac{280}{x-4}=24$$ $$3x^2-70x-48=0$$ $$x_1=24$$ $$x_2=-\\frac{2}{3}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость теплохода равна $24\\spaceкм/ч.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Смешали некоторое количество $15$-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $19$-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?[[fill_choice_big-1]][[image-981]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$18$","$34$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-981":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pterodaktil-uchenyj-mikroskop-uchenyj-himik-himiya.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.15x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.19x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.15x+0.19x=0.34x$$","Концентрация итогового раствора составляет: $$\\frac{0.34x}{2x} \\cdot 100=17\\%$$"]},{"content":"Смешали некоторое количество $5$-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $23$-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?[[fill_choice_big-16]][[image-1004]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$11$","$28$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1004":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/doska-magnitnaya-molekula.svg","width":"300"}},"hints":["Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.05x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.23x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.05x+0.23x=0.28x$$","Концентрация итогового раствора составляет: $$\\frac{0.28x}{2x} \\cdot 100=14\\%$$"]},{"content":"Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $435 \\space км.$ Из города $A$ в город $B$ со скоростью $60 \\space км/ч$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал второй автомобиль со скоростью $65\\space км/ч.$ На каком расстоянии от города $A$ автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-71]][[image-1029]]","widgets":{"fill_choice_big-71":{"type":"fill_choice_big","options":["$240$","$130$","$180$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1029":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/mashina.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $435−s\\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\\frac{s}{60}\\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\\frac{435−s}{65}\\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\\frac{s}{60}-\\frac{435−s}{65}=1$$","$$\\frac{s}{12}-\\frac{435−s}{13}=5$$ $$13s-12\\cdot 435+12s=5\\cdot 12 \\cdot 13$$ $$25s=6\\space000$$ $$s=240$$"]},{"content":"Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $465\\space км.$ Из города $A$ в город $B$ со скоростью $45\\space км/ч$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал второй автомобиль со скоростью $60\\space км/ч.$ На каком расстоянии от города $A$ автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-125]][[image-1056]]","widgets":{"fill_choice_big-125":{"type":"fill_choice_big","options":["$225$","$115$","$465$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1056":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/taksi.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $465−s\\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\\frac{s}{45}\\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\\frac{465−s}{60}\\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\\frac{s}{45}-\\frac{465−s}{60}=1$$","$$\\frac{s}{3}-\\frac{465−s}{4}=15$$ $$4s-3\\cdot 465+3s=15\\cdot 3 \\cdot 4$$ $$7s=1\\space575$$ $$s=225$$"]},{"content":"Товарный поезд каждую минуту проезжает на $750\\space м$ меньше, чем скорый, и на путь в $180\\space км$ тратит времени на $2$ часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-262]][[image-1085]]","widgets":{"fill_choice_big-262":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$60$","$75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1085":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/poezd-elektrichka-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Переведем скорость в $км/ч$: $$750:1000 \\cdot 60 =45$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+45\\space км/ч.$ Значит, на путь в $180\\space км$ товарный поезд тратит $\\frac{180}{x} \\space ч,$ а скорый тратит $\\frac{180}{x+45}\\space ч,$ что по условию на $2 \\space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\\frac{180}{x}-\\frac{180}{x+45}=2$$<br /><br />","$$180(x+45)-180x=2x(x+45)$$ $$x^2+45x-4 \\space050=0$$ $$x_1=45$$ $$x_2=-90$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $45 \\space км/ч.$"]},{"content":"Товарный поезд каждую минуту проезжает на $500\\space м$ меньше, чем скорый, и на путь в $360\\space км$ тратит времени на $6$ часов больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-46]][[image-1116]]","widgets":{"fill_choice_big-46":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$45$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1116":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/stancziya-poezd-ostanovka-elektrichka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Переведем скорость в $км/ч$: $$500:1000 \\cdot 60 =30$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+30\\space км/ч.$ Значит, на путь в $360\\space км$ товарный поезд тратит $\\frac{360}{x}\\space  ч,$ а скорый тратит $\\frac{360}{x+30}\\space ч,$ что по условию на $6 \\space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\\frac{360}{x}-\\frac{360}{x+30}=6$$","$$360(x+30)-360x=6x(x+30)$$ $$360x+30\\cdot 360 -360x=6x^2+180x$$ $$6x^2+180x-10 \\space800=0$$ $$x^2+30x-1 \\space800=0$$$$x_1=30$$ $$x_2=-60$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $30 \\space км/ч.$"]},{"content":"Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в $4.4 \\space км$ от дома. Один идет со скоростью $2.5 \\space км/ч,$ а другой — со скоростью $3 \\space км/ч.$ Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдет их встреча? Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-241]][[image-1149]]","widgets":{"fill_choice_big-241":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1149":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/les-derevya-park-idet.svg","width":"299"}},"step":1,"hints":["Примем расстояние от дома до места встречи за $x\\spaceкм.$ Значит, человек, движущийся медленнее, пройдет это расстояние за $\\frac{x}{2.5} ч.$ Другой человек сначала пройдет $4.4 км$ до опушки леса, а затем вернется на $4.4−x км$ назад. Поэтому всего он пройдет $4.4+4.4−x=8.8−x км$ за $\\frac{8.8-x}{3}\\space ч$. Время движения первого и второго человека одинаковое: $$\\frac{x}{2.5}=\\frac{8.8-x}{3}$$ $$3x=22−2.5x$$ $$x=4$$"]},{"content":"Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $14 км,$ одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $80 км/ч,$ и через $40$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-420]][[image-1184]]","widgets":{"fill_choice_big-420":{"type":"fill_choice_big","options":["$59$","$43$","$34$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1184":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/bolid-01.svg","width":"300"}},"hints":["Пусть скорость второго автомобиля равна $x км/ч.$ Через $40$ минут, то есть $\\frac{2}{3}$ часа, первый автомобиль опередил второй на один круг, проехав на $14 км$ больше, чем второй. За это время первый автомобиль проехал $80\\cdot \\frac{2}{3} км,$ а второй проехал $x\\cdot \\frac{2}{3} км$:$$80\\cdot \\frac{2}{3}-x\\cdot \\frac{2}{3} =14$$ $$x=59$$"]},{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на $13\\space км/ч,$ а вторую половину пути со скоростью $78\\space км/ч,$ в результате чего прибыл в пункт $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше $48\\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-761]][[image-1221]]","widgets":{"fill_choice_big-761":{"type":"fill_choice_big","options":["$52$","$34$","$67$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1221":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/tolgovyj-czentr-shopping-moll-magazin.svg","width":"299"}},"step":1,"hints":["Примем скорость первого автомобиля за $x.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути будет: $x-13.$ Время движения первого автомобиля можно найти, разделив расстояние на скорость: $\\frac{S}{x}.$ Время движения второго автомобиля первую половину пути будет: $\\frac{0.5S}{x-13}.$ Тогда время движения второго автомобиля вторую половину пути будет: $\\frac{0.5S}{78}$","На дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени: $$\\frac{S}{x}=\\frac{0.5S}{x-13}+\\frac{0.5S}{78}$$ $$x^2-91x+2\\space028=0$$ $$x_1=52$$ $$x_2=39$$ По условию задачи скорость первого автомобиля должна быть больше $48\\space км/ч,$ значит, скорость равна $52 км/ч.$"]},{"content":"Один мастер может выполнить заказ за $12$ часов, а другой — за $6$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?[[fill_choice_big-884]][[image-1260]]","widgets":{"fill_choice_big-884":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$7$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1260":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/shestirenka-2-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Один мастер выполняет $\\frac{1}{12}$ часть работы в час, а другой выполняет $\\frac{1}{6}$ часть работы в час. Значит, оба мастера, работая вместе, выполняют: $$\\frac{1}{12}+\\frac{1}{6}=\\frac{1}{4}$$ Значит, работая вместе, они выполнят всю работу за $4$ часа.<br /><br />"]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Заказ на изготовление $156$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $1$ деталь больше второго?[[fill_choice_big-1]][[image-978]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$14$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-978":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/shestirenka-2-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\\frac{156}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\\frac{156}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $1$ час быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\\frac{156}{x-1}-\\frac{156}{x}=1$$","$$156x-156(x-1)=x(x-1)$$ $$x^2-x-156 = 0$$ $$x_1=-12$$ $$x_2=13$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $13$ деталей."]},{"content":"Заказ на изготовление $264$ деталей первый рабочий выполняет на $2$ часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $1$ деталь больше второго?[[fill_choice_big-8]][[image-1001]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$14$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1001":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/Tipy-obshhestv_industrialnoe.svg","width":"299"}},"step":1,"hints":["Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\\frac{264}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\\frac{264}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $2$ часа быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\\frac{264}{x-1}-\\frac{264}{x}=2$$","$$264x-264(x-1)=2x(x-1)$$ $$2x^2-2x-264 = 0$$ $$x^2-x-132 = 0$$ $$x_1=-11$$ $$x_2=12$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $12$ деталей."]},{"content":"Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом $110$ литров она заполняет на $2$ минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом $99$ литров?[[fill_choice_big-69]][[image-1026]]","widgets":{"fill_choice_big-69":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1026":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/plavaet-s-maskoi-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объемом $110$ литров на $2$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объемом $99$ литров. Составим уравнение: $$\\frac{110}{x}-\\frac{99}{x+1} = 2$$","$$110(x+1)-99x=2x\\cdot (x+1)$$ $$2x^2-9x-110=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-5.5$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $10$ литров воды."]},{"content":"Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом $171$ литр она заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом $160$ литров?[[fill_choice_big-120]][[image-1053]]","widgets":{"fill_choice_big-120":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$9$","$3$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-1053":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/bassejn-plyvet-plovecz-plavaet-1-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объемом $171$ литр на $3$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объемом $160$ литров. Составим уравнение: $$\\frac{171}{x}-\\frac{160}{x+1} = 3$$","$$171(x+1)-160x=3x\\cdot (x+1)$$ $$3x^2-8x-171=0$$ $$x_1=9$$ $$x_2=-6\\frac{1}{3}$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $9$ литров воды."]},{"content":"Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $15$ часов. Через $3$ часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?[[fill_choice_big-233]][[image-1082]]","widgets":{"fill_choice_big-233":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1082":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/09/urok_1.svg","width":"298"}},"step":1,"hints":["Рабочий выполняет заказ за $15$ часов. Следовательно, он выполняет $\\frac{1}{15}$ часть заказа в час. Значит, за $3$ часа рабочий выполнил $\\frac{3}{15}=\\frac{1}{5}$ часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\\frac{1}{5}=\\frac{4}{5}$$","Найдем время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объем работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\\frac{\\frac{4}{5}}{\\frac{1}{15}+\\frac{1}{15}}=6$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$3+6=9$$"]},{"content":"Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $13$ часов. Через $5$ часов после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?[[fill_choice_big-300]][[image-1113]]","widgets":{"fill_choice_big-300":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1113":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"299"}},"hints":["Рабочий выполняет заказ за $13$ часов. Следовательно, он выполняет $\\frac{1}{13}$ часть заказа в час. Значит, за $5$ часов рабочий выполнил $\\frac{5}{13}$ заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\\frac{5}{13}=\\frac{8}{13}$$","Найдем время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объем работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\\frac{\\frac{8}{13}}{\\frac{1}{13}+\\frac{1}{13}}=4$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$4+5=9$$"]},{"content":"Даша и Маша пропалывают грядку за $12$ минут, а одна Маша — за $20$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?[[fill_choice_big-469]][[image-1146]]","widgets":{"fill_choice_big-469":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$15$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1146":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ogorod-gryadki-lopata-kopaet-gryadki-.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["За $1$ минуту Маша пропалывает $\\frac{1}{20}$ грядки, а Даша и Маша вместе — $\\frac{1}{12}$ грядки.","За $1$ минуту одна Даша пропалывает: $$\\frac{1}{12}-\\frac{1}{20} = \\frac{1}{30}$$ Значит, Даша прополет грядку за $30$ минут."]},{"content":"Таня и Вика пропалывают грядку за $6$ минут, а одна Вика — за $10$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Таня?[[fill_choice_big-557]][[image-1181]]","widgets":{"fill_choice_big-557":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$20$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1181":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/polivaet-rasteniya-ogorod-rastenie-1-1.svg","width":"300"}},"hints":["За $1$ минуту Вика пропалывает $\\frac{1}{10}$ грядки, а Таня и Вика вместе — $\\frac{1}{6}$ грядки.","За $1$ минуту одна Таня пропалывает: $$\\frac{1}{6}-\\frac{1}{10} = \\frac{1}{15}$$ Значит, Таня прополет грядку за $15$ минут."]},{"content":"Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $60$ минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?[[fill_choice_big-882]][[image-1218]]","widgets":{"fill_choice_big-882":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$6$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1218":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dush-vanna-moetsya-v-vannoj-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $1$ час. Значит, за $1$ час первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.","Работая вместе, три насоса за $60$ минут наполнят $6$ баков. Значит, $1$ бак три насоса наполняют в шесть раз быстрее: $$60:6=10$$"]},{"content":"Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?[[fill_choice_big-786]][[image-1257]]","widgets":{"fill_choice_big-786":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$10$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1257":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/plyvut-plavayut-okean-more-.svg","width":"300"}},"hints":["Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. Значит, за $42$ минуты первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.","Работая вместе, три насоса за $42$ минуты наполнят $6$ баков. Значит, $1$ бак три насоса наполняют в шесть раз быстрее: $$42:6=7$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Из двух городов, расстояние между которыми равно $560\\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $65\\space км/ч$ и $75\\space км/ч?$[[fill_choice_big-1]][[image-1383]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1383":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/perehodit-dorogu-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Скорость сближения автомобилей равна: $$65+75=140$$ Следовательно, автомобили встретятся через: $$560:140=4 \\space ч$$"]},{"content":"Из двух городов, расстояние между которыми равно $770\\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $68\\space км/ч$ и $86\\space км/ч?$[[fill_choice_big-13]][[image-1406]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1406":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/mashina.svg","width":"301"}},"step":1,"hints":["Скорость сближения автомобилей равна: $$68+86=154$$ Следовательно, автомобили встретятся через: $$770:154=5\\space ч$$"]},{"content":"Из городов $A$ и $B,$ расстояние между которыми равно $330 \\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через $3$ часа на расстоянии $180 \\space км$ от города $B.$ Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-58]][[image-1431]]","widgets":{"fill_choice_big-58":{"type":"fill_choice_big","options":["$50$","$30$","$80$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1431":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/zagryaznenie-gorod-doma-zdaniya-01.svg","width":"302"}},"step":1,"hints":["Автомобили встретились на расстоянии $180 \\spaceкм$ от города $B,$ следовательно, от города $A$ они встретились на расстоянии: $$330−180=150\\space км$$<br /><br />","Тогда автомобиль, который выехал из города $A,$ за $3$ часа проехал $150 \\space км.$ Значит, его скорость равна: $$150:3=50 \\space км/ч$$"]},{"content":"Из городов $A$ и $B,$ расстояние между которыми равно $220 \\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через $2$ часа на расстоянии $130 \\space км$ от города $B.$ Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-100]][[image-1458]]","widgets":{"fill_choice_big-100":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$90$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1458":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/tonnel-mashina.svg","width":"300"}},"hints":["Автомобили встретились на расстоянии $130 \\space км$ от города $B,$ следовательно, от города $A$ они встретились на расстоянии: $$220−130=90\\space км$$","Тогда автомобиль, который выехал из города $A,$ за $2$ часа проехал $90 \\space км.$ Значит, его скорость равна: $$90:2=45 \\space км/ч$$"]},{"content":"Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $25\\space км/ч,$ проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3 \\space км/ч,$ стоянка длится $5$ часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через $30$ часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?[[fill_choice_big-246]][[image-1487]]","widgets":{"fill_choice_big-246":{"type":"fill_choice_big","options":["$616$","$285$","$486$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1487":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/07/korabl-kapitan-matros-01.svg","width":"301"}},"step":1,"hints":["Примем расстояние от исходного пункта до стоянки за $s\\space км.$ Тогда весь путь, пройденный теплоходом, равен $2s\\space км.$ Скорость теплохода по течению реки равна: $$25+3=28 \\space км/ч$$ Скорость против течения равна: $$25−3=22 \\space км/ч$$<br /><br />","От исходного пункта до стоянки теплоход шел $\\frac{s}{28} \\space ч,$ а обратно $\\frac{s}{22} \\spaceч.$ На весь путь, без учета стоянки, теплоход затратил: $$30−5=25 \\space ч$$ Мы можем составить уравнение:$$\\frac{s}{28}+\\frac{s}{22}=25$$Решим его:$$\\frac{25}{308}s=25$$ $$s=308$$Тогда за весь рейс теплоход прошел: $$2\\cdot 308=616 \\space км$$"]},{"content":"Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $21 \\space км/ч,$ проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3\\space км/ч,$ стоянка длится $4$ часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через $67$ часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?[[fill_choice_big-338]][[image-1518]]","widgets":{"fill_choice_big-338":{"type":"fill_choice_big","options":["$1 \\space296$","$1 \\space566$","$1 \\space825$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1518":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/yahta-lodka-korabl.svg","width":"300"}},"hints":["Примем расстояние от исходного пункта до стоянки за $s \\space км.$ Тогда весь путь, пройденный теплоходом, равен $2s \\space км.$ Скорость теплохода по течению реки равна: $$21+3=24 \\space км/ч$$ Скорость против течения равна: $$21−3=18 \\space км/ч$$","От исходного пункта до стоянки теплоход шел $\\frac{s}{24}\\space ч,$ а обратно $\\frac{s}{18} \\space ч.$ На весь путь, без учета стоянки, теплоход затратил: $$67−4=63 \\space ч$$ Мы можем составить уравнение:$$\\frac{s}{24}+\\frac{s}{18}=63$$Решим его:$$\\frac{42}{432}s=63$$ $$s=648$$Тогда за весь рейс теплоход прошел: $$2⋅648=1 \\space296\\space км$$"]},{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $24 \\space км/ч,$ а вторую половину пути — со скоростью, на $16 \\space км/ч$ большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт $В$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-551]][[image-1551]]","widgets":{"fill_choice_big-551":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$24$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1551":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/bezhit-beg-sport-01-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $S \\space км,$ а скорость первого автомобиля равна $x \\space км/ч.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути была $24 \\space км/ч,$ а вторую — $x+16 \\space км/ч.$ Чтобы найти время движения, разделим расстояние на скорость. Время движения второго автомобиля первую половину пути: $\\frac{0.5S}{24} \\space ч,$ вторую половину пути: $\\frac{0.5S}{x+16} \\space ч.$","Учитывая, что на всю дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени, составим уравнение:$$\\frac{S}{x} = \\frac{0.5S}{24}+\\frac{0.5S}{x+16}$$ $$x^2-8x-768 = 0$$ $$x_1 = 32$$ $$x_2=-24$$ Скорость первого автомобиля является положительным числом, значит, скорость первого автомобиля равна $32 \\space км/ч.$"]},{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $27 \\space км/ч,$ а вторую половину пути — со скоростью, на $18 \\space км/ч$ большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт $В$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-765]][[image-1586]]","widgets":{"fill_choice_big-765":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$37$","$27$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1586":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_svetofor-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $S \\space км,$ а скорость первого автомобиля равна $x \\space км/ч.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути была $27 \\space км/ч,$ а вторую — $x+18 \\space км/ч.$ Чтобы найти время движения, разделим расстояние на скорость. Время движения второго автомобиля первую половину пути: $\\frac{0.5S}{27} \\space ч,$ вторую половину пути: $\\frac{0.5S}{x+18} \\space ч.$","Учитывая, что на всю дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени, составим уравнение:<br />$$\\frac{S}{x} = \\frac{0.5S}{27}+\\frac{0.5S}{x+18}$$ $$\\frac{2S}{x} = \\frac{S}{27}+\\frac{S}{x+18}$$ $$\\frac{2S}{x} = \\frac{(x+18)S+27S}{27(x+18)}$$ $$\\frac{2}{x} = \\frac{x+45}{27(x+18)}$$ $$54x+972 = x^2+45x$$ $$x^2-9x-972 = 0$$ $$x_1 = 36$$ $$x_2=-27$$ Скорость первого автомобиля является положительным числом, значит, скорость первого автомобиля равна $36 \\space км/ч.$"]},{"content":"Моторная лодка прошла против течения реки $112\\space км$ и вернулась в пункт отправления, затратив на $6$ часов меньше на обратный путь. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна $11 \\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-1010]][[image-1623]]","widgets":{"fill_choice_big-1010":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1623":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/lodka_parus-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения реки равна $x \\space км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению и против течения будет соответственно равна: $11+x \\space км/ч$ и $11-x \\space км/ч.$ Время движения по течению и против течения будет: $\\frac{112}{11+x} \\space ч$ и $\\frac{112}{11-x} \\space ч.$","На обратный путь лодка затратила на $6$ часов меньше. Составим уравнение: $$\\frac{112}{11-x}-\\frac{112}{11+x}=6$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -40\\frac{1}{3}$$ Поскольку скорость не может быть отрицательной, скорость течения реки равна $3 \\space км/ч.$<br /><br />"]},{"content":"Моторная лодка прошла против течения реки $144\\space км$ и вернулась в пункт отправления, затратив на $4$ часа меньше на обратный путь. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна $15 \\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-1286]][[image-1662]]","widgets":{"fill_choice_big-1286":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1662":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/lodka-plyevt-edet-na-lodke-kamysh-ozero-prud-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения реки равна $x \\space км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению и против течения будет соответственно равна: $15+x \\space км/ч$ и $15-x \\space км/ч.$ Время движения по течению и против течения будет: $\\frac{144}{15+x} \\space ч$ и $\\frac{144}{15-x} \\space ч.$","На обратный путь лодка затратила на $4$ часа меньше. Составим уравнение: $$\\frac{144}{15-x}-\\frac{144}{15+x}=4$$ $$\\frac{144(15+x)-144(15-x)}{225-x^2}=4$$ $$\\frac{288x}{225-x^2}=4$$ $$288x = 900-4x^2$$ $$4x^2+288x-900 = 0$$ $$x^2+72x-225 = 0$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -75$$ Поскольку скорость не может быть отрицательной, скорость течения реки равна $3 \\space км/ч.$"]}]}