Задание 2

{"questions":[{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-1]][[image-71]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-71":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/10_10-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(1-3;5-1)=\\vec{a}(-2;4)$$ $$\\vec{b}(2-5;4-3)=\\vec{b}(-3;1)$$","Найдите скалярное произведение векторов:$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}(-2\\cdot (-3) +4\\cdot1)=10$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-36]][[image-501]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$17$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-501":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/5_5-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(3-1;3-2)=\\vec{a}(2;1)$$ $$\\vec{b}(4-2;4-5)=\\vec{b}(2;-1)$$","Найдите скалярное произведение векторов:$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}(2\\cdot 2 +1\\cdot(-1))=3$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-105]][[image-562]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$44$","$-15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-562":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4_4.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(1-4;1-2)=\\vec{a}(-3;-1)$$ $$\\vec{b}(2-5;3-5)=\\vec{b}(-3;-2)$$","Найдите скалярное произведение векторов:$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}(-3\\cdot (-3) -1\\cdot(-2))=11$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-76]][[image-693]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$-6$","$11$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-693":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/3_3-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(2-4;3-1)=\\vec{a}(-2;2)$$ $$\\vec{b}(5-3;4-5)=\\vec{b}(2;-1)$$","Найдите скалярное произведение векторов:$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}(-2\\cdot 2+2\\cdot(-1))=-6$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-55]][[image-988]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5$","$30$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-988":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/2_2-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(1-3;2-1)=\\vec{a}(-2;1)$$ $$\\vec{b}(5-2;4-3)=\\vec{b}(3;1)$$","Найдите скалярное произведение векторов:$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}(-2\\cdot 3 +1\\cdot1)=-5$$"]}]}

{"questions":[{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-1]][[image-71]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-71":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/14_14-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(4-2;5-1)=\\vec{a}(2;4)$$ $$\\vec{b}(9-5;7-3)=\\vec{b}(4;4)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+ \\vec{b}(2+4;4+4)$$ $$\\vec{a}+ \\vec{b}(6;8)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{6^2+8^2}=10$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-36]][[image-501]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$17$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-501":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/8_8-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(1-9;1-5)=\\vec{a}(-8;-4)$$ $$\\vec{b}(9-5;2-1)=\\vec{b}(4;1)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+ \\vec{b}(-8+4;-4+1)$$ $$\\vec{a}+ \\vec{b}(-4;-3)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-105]][[image-562]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$44$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-562":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/9_9.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(7-1;3-1)=\\vec{a}(6;2)$$ $$\\vec{b}(7-9;4-3)=\\vec{b}(-2;1)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+ \\vec{b}(6-2;2+1)$$ $$\\vec{a}+ \\vec{b}(4;3)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{4^2+3^2}=5$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-76]][[image-693]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$11$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-693":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/1_1-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(10-1;3-1)=\\vec{a}(9;2)$$ $$\\vec{b}(5-2;6-3)=\\vec{b}(3;3)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+ \\vec{b}(9+3;2+3)$$ $$\\vec{a}+ \\vec{b}(12;5)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{12^2+5^2}=13$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-55]][[image-988]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$30$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-988":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/13_13-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(4-10;1-5)=\\vec{a}(-6;-4)$$ $$\\vec{b}(7-1;6-1)=\\vec{b}(6;5)$$","Найдем разность векторов:$$\\vec{a}- \\vec{b}(-6-6;-4-5)$$ $$\\vec{a}- \\vec{b}(-12;-9)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}- \\vec{b}|=\\sqrt{(-12)^2+(-9)^2}=15$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-458]][[image-1319]]","widgets":{"fill_choice_big-458":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1319":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/12_12-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(3-9;3-1)=\\vec{a}(-6;2)$$ $$\\vec{b}(4-6;5-6)=\\vec{b}(-2;-1)$$","Найдем разность векторов:$$\\vec{a}-\\vec{b}(-6+2;2+1)$$ $$\\vec{a}-\\vec{b}(-4;3)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}- \\vec{b}|=\\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-497]][[image-1832]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$5$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1832":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/11_11-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(8-9;2-6)=\\vec{a}(-1;-4)$$ $$\\vec{b}(6-1;5-1)=\\vec{b}(5;4)$$","Найдем разность векторов:$$\\vec{a}-\\vec{b}(-1-5;-4-4)$$ $$\\vec{a}-\\vec{b}(-6;-8)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}- \\vec{b}|=\\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=10$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-543]][[image-2035]]","widgets":{"fill_choice_big-543":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$13$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2035":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/7_7-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(3-9;3-1)=\\vec{a}(-6;2)$$ $$\\vec{b}(10-8;2-6)=\\vec{b}(2;-4)$$","Найдем разность векторов:$$\\vec{a}-\\vec{b}(-6-2;2+4)$$ $$\\vec{a}-\\vec{b}(-8;6)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{(-8)^2+6^2}=10$$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-596]][[image-2070]]","widgets":{"fill_choice_big-596":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$5$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2070":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/4_4.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим координаты каждого из векторов: $$\\vec{a}(1-4;1-2)=\\vec{a}(-3;-1)$$ $$\\vec{b}(2-5;3-5)=\\vec{b}(-3;-2)$$","Найдем разность векторов:$$\\vec{a}-\\vec{b}(-3+3;-1+2)$$ $$\\vec{a}-\\vec{b}(0;1)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}- \\vec{b}|=\\sqrt{(0)^2+(1)^2}=1$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(2;-6)$ и $\\vec{b}(-1;-3).$ Найдите косинус угла между этими векторами.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8$","$-0.5$","$-0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \\space φ = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}$$ $$cos \\space φ = \\frac{x_a \\cdot x_b + y_a\\cdot y_b}{\\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \\cdot \\sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$","$$\\frac{2 \\cdot (-1) + (-6) \\cdot (-3)}{\\sqrt{2^2+(-6)^2} \\cdot \\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}} = \\frac{16}{20} = 0.8$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-4;-3)$ и $\\vec{b}(3;4).$ Найдите косинус угла между этими векторами.[[fill_choice_big-36]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$-0.96$","$0.8$","$0.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \\space φ = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}$$ $$cos \\space φ = \\frac{x_a \\cdot x_b + y_a\\cdot y_b}{\\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \\cdot \\sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$","$$\\frac{-4 \\cdot 3 + (-3) \\cdot 4}{\\sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \\cdot \\sqrt{3^2+4^2}} = \\frac{-24}{25} = -0.96$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-6;3)$ и $\\vec{b}(-2;-1).$ Найдите косинус угла между этими векторами.[[fill_choice_big-105]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.8$","$-0.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \\space φ = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}$$ $$cos \\space φ = \\frac{x_a \\cdot x_b + y_a\\cdot y_b}{\\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \\cdot \\sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$","$$\\frac{-6 \\cdot (-2) + 3 \\cdot (-1)}{\\sqrt{(-6)^2+3^2} \\cdot \\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}} = \\frac{9}{15} = 0.6$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-2;1)$ и $\\vec{b}(1;-2).$ Найдите косинус угла между этими векторами.[[fill_choice_big-76]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$-0.8$","$0.8$","$-0.45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \\space φ = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}$$ $$cos \\space φ = \\frac{x_a \\cdot x_b + y_a\\cdot y_b}{\\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \\cdot \\sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$","$$\\frac{-2 \\cdot 1 + 1 \\cdot (-2)}{\\sqrt{(-2)^2+1^2} \\cdot \\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \\frac{-4}{5} = -0.8$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(1;3)$ и $\\vec{b}(-6;-2).$ Найдите косинус угла между этими векторами.[[fill_choice_big-55]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$-0.6$","$0.8$","$0.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \\space φ = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|}$$ $$cos \\space φ = \\frac{x_a \\cdot x_b + y_a\\cdot y_b}{\\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \\cdot \\sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$","$$\\frac{1 \\cdot (-6) + 3 \\cdot (-2)}{\\sqrt{1^2+3^2} \\cdot \\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}} = \\frac{-12}{20} = -0.6$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(3;6)$ и $\\vec{b}(-10;x).$ Найдите значение $x$ при котором эти векторы перпендикулярны.[[fill_choice_big-458]]","widgets":{"fill_choice_big-458":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \\cdot x_b + y_a \\cdot y_b = 0$$","Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю: <br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\cdot (-10) + 6 \\cdot x = 0$$ $$-30 + 6x = 0$$ $$x = 5$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(1;x)$ и $\\vec{b}(-8;2).$ Найдите значение $x$ при котором эти векторы перпендикулярны.[[fill_choice_big-497]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \\cdot x_b + y_a \\cdot y_b = 0$$","Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю: <br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 1 \\cdot (-8) + x \\cdot 2 = 0$$ $$-8 + 2x = 0$$ $$x = 4$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(5;10)$ и $\\vec{b}(x;4).$ Найдите значение $x$ при котором эти векторы перпендикулярны.[[fill_choice_big-543]]","widgets":{"fill_choice_big-543":{"type":"fill_choice_big","options":["$-8$","$5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \\cdot x_b + y_a \\cdot y_b = 0$$","Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю: <br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 5 \\cdot x + 10 \\cdot 4 = 0$$ $$5x + 40 = 0$$ $$x = -8$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-2;x)$ и $\\vec{b}(12;6).$ Найдите значение $x$ при котором эти векторы перпендикулярны.[[fill_choice_big-596]]","widgets":{"fill_choice_big-596":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-5$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \\cdot x_b + y_a \\cdot y_b = 0$$","Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю: <br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -2 \\cdot 12 + x \\cdot 6 = 0$$ $$-24 + 6x = 0$$ $$6x = 24$$ $$x=4$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(2;-4)$ и $\\vec{b}(10;x).$ Найдите значение $x$ при котором эти векторы перпендикулярны.[[fill_choice_big-656]]","widgets":{"fill_choice_big-656":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$20$","$-9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \\cdot x_b + y_a \\cdot y_b = 0$$","Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю: <br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 2 \\cdot 10 + (-4) \\cdot x = 0$$ $$20-4x = 0$$ $$x = 5$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-1;-2)$, $\\vec{b}(9;-6)$ и $\\vec{c}(16;7).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}.$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$15$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем координаты вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}$:$$(-1+9-16 ;-2-6-7)$$ $$(-8 ;-15)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}|=\\sqrt{(-8)^2+(-15)^2}=17$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-7;8)$, $\\vec{b}(14;11)$ и $\\vec{c}(19;14).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}.$[[fill_choice_big-36]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$17$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем координаты вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}$:$$(-7+14-19 ;8+11-14)$$ $$(-12 ;5)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}|=\\sqrt{(-12)^2+5^2}=13$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(4;3)$, $\\vec{b}(-13;13)$ и $\\vec{c}(-5;1).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}-\\vec{b}+\\vec{c}.$[[fill_choice_big-105]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$44$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем координаты вектора $\\vec{a}-\\vec{b}+\\vec{c}$:$$(4+13-5 ;3-13+1)$$ $$(12 ;-9)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}-\\vec{b}+\\vec{c}|=\\sqrt{12^2+(-9)^2}=15$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-11;-20)$, $\\vec{b}(2;19)$ и $\\vec{c}(7;-13).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}.$[[fill_choice_big-76]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$11$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем координаты вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}$:$$(-11+2-7 ;-20+19+13)$$ $$(-16 ;12)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}|=\\sqrt{(-16)^2+12^2}=20$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-5;14)$, $\\vec{b}(7;-2)$ и $\\vec{c}(14;7).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}.$[[fill_choice_big-55]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$30$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем координаты вектора $\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}$:$$(-5+7-14 ;14-2-7)$$ $$(-12 ;5)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}|=\\sqrt{(-12)^2+5^2}=13$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-3;-1)$ и $\\vec{b}(4;2).$ Найдите скалярное произведение $ \\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-458]]","widgets":{"fill_choice_big-458":{"type":"fill_choice_big","options":["$-14$","$7$","$-3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно перемножить их соответствующие координаты, а полученные результаты сложить.","$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=(-3 \\cdot 4 + (-1) \\cdot 2)=-14$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-12;5)$ и $\\vec{b}(2;3).$ Найдите скалярное произведение $ \\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-497]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$-9$","$5$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно перемножить их соответствующие координаты, а полученные результаты сложить.","$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=(-12 \\cdot 2 + 5 \\cdot 3)=-9$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-3;6)$ и $\\vec{b}(7;5).$ Найдите скалярное произведение $ \\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-543]]","widgets":{"fill_choice_big-543":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$10$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно перемножить их соответствующие координаты, а полученные результаты сложить.","$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=(-3 \\cdot 7 + 6 \\cdot 5)=9$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(7;11)$ и $\\vec{b}(-4;3).$ Найдите скалярное произведение $ \\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-596]]","widgets":{"fill_choice_big-596":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$25$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно перемножить их соответствующие координаты, а полученные результаты сложить.","$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=(7 \\cdot (-4) + 11 \\cdot 3)=5$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(8;-4)$ и $\\vec{b}(2;3).$ Найдите скалярное произведение $ \\vec{a}\\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-656]]","widgets":{"fill_choice_big-656":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-20$","$-9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно перемножить их соответствующие координаты, а полученные результаты сложить.","$$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=(8 \\cdot 2 + (-4) \\cdot 3)=4$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(0;3)$ и $\\vec{b}(4;6).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+2\\vec{b}.$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$15$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $2\\vec{b}$:$$2\\vec{b}(4\\cdot2;6\\cdot2)$$ $$2\\vec{b}(8;12)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+2\\vec{b}(0+8;3+12)$$ $$\\vec{a}+2\\vec{b}(8;15)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+2\\vec{b}|=\\sqrt{8^2+15^2}=17$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-5;-7)$ и $\\vec{b}(6;9).$ Найдите длину вектора $3\\vec{a}+\\vec{b}.$[[fill_choice_big-36]]","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$17$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $3\\vec{a}$:$$3\\vec{a}(-5\\cdot3;-7\\cdot3)$$ $$3\\vec{a}(-15;-21)$$","Сложим вектора:$$3\\vec{a}+ \\vec{b}(-15+6;-21+9)$$ $$3\\vec{a}+ \\vec{b}(-9;-12)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|3\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{(-9)^2+(-12)^2}=15$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(10;6)$ и $\\vec{b}(-2;-3).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}+3\\vec{b}.$[[fill_choice_big-105]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$44$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $3\\vec{b}$:$$3\\vec{b}(-2\\cdot 3;-3 \\cdot 3)$$ $$3\\vec{b}(-6 ;-9)$$","Сложим вектора:$$\\vec{a}+3\\vec{b}(10-6;6-9)$$ $$\\vec{a}+3\\vec{b}(4;-3)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|\\vec{a}+3\\vec{b}|=\\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-3;0)$ и $\\vec{b}(7;6).$ Найдите длину вектора $5\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-76]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$11$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $5\\vec{a}$:$$5\\vec{a}(-3\\cdot 5;0\\cdot 5)$$ $$5\\vec{a}(-15;0)$$","Сложим вектора:$$5\\vec{a}+ \\vec{b}(-15+7;0+6)$$ $$5\\vec{a}+ \\vec{b}(-8;6)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|5\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{(-8)^2+6^2}=10$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(1;6)$ и $\\vec{b}(9;-2).$ Найдите длину вектора $3\\vec{a}+ \\vec{b}.$[[fill_choice_big-55]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$30$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $3\\vec{a}$:$$3\\vec{a}(1\\cdot 3;6\\cdot 3)$$ $$3\\vec{a}(3;18)$$","Сложим вектора:$$3\\vec{a}+ \\vec{b}(3+9;18-2)$$ $$3\\vec{a}+ \\vec{b}(12;16)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|3\\vec{a}+ \\vec{b}|=\\sqrt{12^2+16^2}=20$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(8;19)$ и $\\vec{b}(1;3).$ Найдите длину вектора $ \\vec{a}-5 \\vec{b}.$[[fill_choice_big-458]]","widgets":{"fill_choice_big-458":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $5\\vec{b}$:$$5\\vec{b}(1\\cdot 5; 3 \\cdot 5)$$ $$5\\vec{b}(5;15)$$","Найдем разность векторов:$$ \\vec{a}-5 \\vec{b}(8-5;19-15)$$ $$ \\vec{a}-5 \\vec{b}(3;4)$$","Найдем длину полученного вектора:$$| \\vec{a}-5\\vec{b}|=\\sqrt{3^2+4^2}=5$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-13;0)$ и $\\vec{b}(-1;-3).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}-4 \\vec{b}.$[[fill_choice_big-497]]","widgets":{"fill_choice_big-497":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $4\\vec{b}$:$$4\\vec{b}(-1\\cdot 4; -3 \\cdot 4)$$ $$4\\vec{b}(-4;-12)$$","Найдем разность векторов:$$ \\vec{a}-4 \\vec{b}(-13+4;0+12)$$ $$ \\vec{a}-4 \\vec{b}(-9;12)$$","Найдем длину полученного вектора:$$| \\vec{a}-4\\vec{b}|=\\sqrt{(-9)^2+12^2}=15$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-9;2)$ и $\\vec{b}(-14;7).$ Найдите длину вектора $2\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-543]]","widgets":{"fill_choice_big-543":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$10$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $2\\vec{a}$:$$2\\vec{a}(-9\\cdot 2; 2 \\cdot 2)$$ $$2\\vec{a}(-18; 4 )$$","Найдем разность векторов:$$ 2\\vec{a}-  \\vec{b}(-18+14;4-7)$$ $$2 \\vec{a}-  \\vec{b}(-4;-3)$$","Найдем длину полученного вектора:$$|2 \\vec{a}- \\vec{b}|=\\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-10;-3)$ и $\\vec{b}(7;2).$ Найдите длину вектора $  \\vec{a}- 2\\vec{b}.$[[fill_choice_big-596]]","widgets":{"fill_choice_big-596":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$5$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $2\\vec{b}$:$$2\\vec{b}(7\\cdot 2; 2 \\cdot 2)$$ $$2\\vec{b}(14;4)$$","Найдем разность векторов:$$ \\vec{a}-2 \\vec{b}(-10-14;-3-4)$$ $$ \\vec{a}-2 \\vec{b}(-24;-7)$$","Найдем длину полученного вектора:$$| \\vec{a}-2\\vec{b}|=\\sqrt{(-24)^2+(-7)^2}=25$$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-1;4)$ и $\\vec{b}(11;8).$ Найдите длину вектора $4\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-656]]","widgets":{"fill_choice_big-656":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$20$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Для начала найдем $4\\vec{a}$:$$4\\vec{a}(-1\\cdot 4; 4 \\cdot 4)$$ $$4\\vec{a}(-4; 16 )$$","Найдем разность векторов:$$ 4\\vec{a}-\\vec{b}(-4-11 ;16-8)$$ $$ 4\\vec{a}-\\vec{b}(-15;8)$$","Найдем длину полученного вектора:$$| 4\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{(-15)^2+8^2}=17$$"]}]}