9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Теорема косинусов

Содержание

Вы знаете, что в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$ — это «Теорема Пифагора». Но большинство треугольников не прямоугольные, и для них нужна своя формула. В этом уроке мы выведем ее из теоремы Пифагора, проверим на известных случаях и научимся находить сторону по двум сторонам и углу между ними, косинус угла по трем сторонам и вид треугольника.

Две рейки на шарнире: от чего зависит расстояние между концами

Возьмем две рейки длиной $6$ см и $8$ см и скрепим их концы шарниром в точке $C$. Свободный конец рейки $8$ назовем $A$, свободный конец рейки $6$ — $B$. Раскроем шарнир так, чтобы угол $C$ стал прямым. Треугольник $ABC$ прямоугольный, и по теореме Пифагора $AB = \sqrt{36 + 64} = 10$ см.

Рейки CA = 8 и CB = 6 на шарнире C в двух положениях: при угле 90° третья сторона AB = 10 (теорема Пифагора), при угле 60° сторона AB — вопрос — Рейки $6$ и $8$ на шарнире $C$: при угле $90^\circ$ концы $A$ и $B$ на расстоянии $10$; при угле $60^\circ$ рейки те же, а расстояние $AB$ другое — какое?

Теперь сложим шарнир до $60^\circ$. Рейки те же, а концы $A$ и $B$ сблизились: расстояние $AB$ стало меньше $10$. Насколько меньше? Теорема Пифагора здесь молчит: угол не прямой. Ответ получим, когда выведем формулу для любого угла.

Заметим главное. Длины реек не меняются, и расстояние между концами зависит только от угла в шарнире: чем шире раскрыт шарнир, тем дальше концы. Значит, две стороны и угол между ними определяют третью сторону однозначно — остается найти формулу.

{"questions":[{"content":"Две рейки длиной $6$ и $8$ скреплены шарниром. При угле $90^\\circ$ между ними расстояние между свободными концами равно $10$. Шарнир сложили до $60^\\circ$. Что стало с расстоянием между концами?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Осталось $10$: длины реек не изменились","Стало меньше $10$","Стало больше $10$","Стало равно $6 + 8 = 14$"],"explanations":["Расстояние между концами зависит не только от реек, но и от угла между ними — иначе шарнир не был бы нужен","","Концы расходятся, когда шарнир раскрывают шире; здесь его сложили, и концы сблизились","$14$ получается, только когда рейки вытянуты в одну линию, то есть при угле $180^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Представьте шарнир: при $90^\\circ$ концы на расстоянии $10$. Если рейки сложить сильнее, концы сближаются или расходятся?","Чем меньше угол в шарнире, тем ближе концы друг к другу.","Расстояние стало меньше $10$ (но больше $8-6 = 2$: рейки не сложились до конца)."],"step":1}],"mix":1}

Высота превращает любой треугольник в два прямоугольных

Возьмем другую рамку: рейки $CB = 10$ и $CA = 16$, шарнир $C$ раскрыт на $60^\circ$. Прямого угла нет, но его можно создать: опустим из точки $B$ высоту $BH$ на рейку $CA$. Треугольник $ABC$ распался на два прямоугольных — $BCH$ и $ABH$, а в них работают и косинус, и теорема Пифагора.

Определение

Отрезок $CH$ от вершины $C$ до основания высоты $H$ называют проекцией отрезка $CB$ на прямую $CA$. Если на рейку $CA$ светить перпендикулярно к ней, рейка $CB$ отбросит на нее тень длиной ровно $CH$, поэтому дальше мы будем называть проекцию тенью рейки.

Пример

Найдем $AB$ в рамке $CB = 10$, $CA = 16$, угол $C = 60^\circ$.

Тень. В прямоугольном треугольнике $BCH$ гипотенуза $BC = 10$, катет $CH$ прилежит к углу $C$: $CH = BC \cdot \cos C = 10 \cdot \dfrac12 = 5$.

Высота. По теореме Пифагора в том же треугольнике $BH^2 = BC^2-CH^2 = 100-25 = 75$.

Остаток рейки. $AH = AC-CH = 16-5 = 11$.

Второй прямоугольный треугольник. В $ABH$: $AB^2 = BH^2 + AH^2 = 75 + 121 = 196$, откуда $AB = 14$.

Ответ: $AB = 14$.

Рамка CB = 10, CA = 16 с углом 60°: высота BH делит ее на два прямоугольных треугольника, тень CH = 5, AH = 11, и AB² = 10² + 16² − 2 · 16 · 5 = 196, AB = 14 — Высота $BH$ делит рамку на два прямоугольных треугольника; тень рейки $CB$ равна $CH = 5$, и $AB^2 = 75 + 121 = 196$ — на $2 \cdot 16 \cdot 5 = 160$ меньше, чем $10^2 + 16^2 = 356$

Сравним с теоремой Пифагора. Если бы угол $C$ был прямым, получилось бы $AB^2 = 10^2 + 16^2 = 356$. У нас вышло $196$ — на $160$ меньше. А $160 = 2 \cdot 16 \cdot 5$: удвоенное произведение рейки $16$ на тень $5$. Это не совпадение, а правило, и в следующем разделе мы его докажем.

Наблюдение

Квадрат третьей стороны — это теорема Пифагора с поправкой, и поправка равна удвоенному произведению одной рейки на тень другой:

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 12$, угол $C = 60^\\circ$, $BH$ — высота к стороне $AC$. Найдите длину отрезка $CH$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $CH$ прилежит к углу $C$, гипотенуза — $BC$: $CH = BC \\cdot \\cos C$.","$\\cos 60^\\circ = \\dfrac12$, поэтому $CH = 12 \\cdot \\dfrac12$.","$CH = 6$."],"step":1}],"mix":1}

Доказательство: тень рейки дает поправку к теореме Пифагора

Повторим рассуждение в общем виде. В треугольнике $ABC$ обозначим $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$; угол $C$ лежит между сторонами $a$ и $b$ и против стороны $c$. Сначала пусть угол $C$ острый. Опустим из $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$: тень $CH$ ложится на рейку $b$ вперед, от $C$ к $A$.

Две панели: треугольник ABC с острым и с тупым углом C; высота BH на прямую CA; тень CH при остром угле ложится вперед (CH = a cos C, AH = b − CH), при тупом — назад за C (CH = −a cos C, AH = b + CH) — Слева угол $C$ острый: тень $CH = a\cos C$ ложится вперед, и $AH = b-CH$; справа угол $C$ тупой: тень ложится назад, за шарнир, $CH = -a\cos C$, и $AH = b + CH$

Доказательство

Шаг 1. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. Получились прямоугольные треугольники $BCH$ и $ABH$.

Шаг 2. В треугольнике $BCH$ найдем тень: катет $CH$ прилежит к углу $C$, поэтому $CH = a\cos C$. По теореме Пифагора в этом же треугольнике $BH^2 = a^2-CH^2$.

Шаг 3. Запишем теорему Пифагора для треугольника $ABH$, подставив $AH = b-CH$ и $BH^2$ из шага 2:

Шаг 4. Раскроем скобки: $(b-CH)^2 = b^2-2b \cdot CH + CH^2$. Слагаемые $-CH^2$ и $+CH^2$ взаимно уничтожаются, остается $c^2 = a^2 + b^2-2b \cdot CH$.

Шаг 5. Подставим тень из шага 2: $CH = a\cos C$. Получаем $c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$. Что и требовалось доказать.

Тупой угол. Теперь пусть угол $C$ тупой. Высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$ за точку $C$: тень рейки $a$ ложится назад, за шарнир (правый чертеж). В прямоугольном треугольнике $BCH$ угол при вершине $C$ равен $180^\circ-C$ — он смежный с углом треугольника, поэтому $CH = a\cos(180^\circ-C)$. Косинус тупого угла связан с косинусом смежного острого одним фактом, который подробно разобран в уроке «Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°»: $\cos(180^\circ-C) = -\cos C$. Примем его и проверим на чертеже: тень действительно ушла в противоположную сторону, и ее длина $CH = -a\cos C$ — положительное число, потому что $\cos C < 0$.

Дальше все как в шагах 2–5, только отрезок $AH$ теперь складывается из рейки и тени: $AH = b + CH$. Тогда $c^2 = \left(a^2-CH^2\right) + (b + CH)^2 = a^2 + b^2 + 2b \cdot CH = a^2 + b^2-2ab\cos C$. Формула та же: знак косинуса сам учитывает, куда легла тень. Если же угол $C$ прямой, точка $H$ совпадает с $C$, тень равна нулю, и формула превращается в теорему Пифагора.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Здесь $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$; сторона $c$ лежит против него.

Если высота падает за вершину A

Скрыть

Когда угол $A$ тупой, высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$ за точку $A$. Тогда тень $CH = a\cos C$ длиннее рейки $b$, и $AH = CH-b$. Но в теорему Пифагора входит квадрат отрезка $AH$, а $(CH-b)^2 = (b-CH)^2$, поэтому шаги 3–5 проходят без изменений и дают ту же формулу.

Формулу можно записать для любой стороны: $a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2-2ac\cos B$. Правило одно: в шарнире между двумя взятыми сторонами стоит именно тот угол, косинус которого входит в формулу, а найденная сторона лежит против него.

Два одинаковых треугольника ABC: слева угол C стоит в шарнире между сторонами a и b — он идет в формулу для c; справа угол A не между a и b — ошибка — Слева угол $C$ стоит в шарнире между сторонами $a$ и $b$ — формула для $c$ работает; справа отмечен угол $A$: он не скрепляет рейки $a$ и $b$, и подставлять его в формулу для $c$ нельзя

Важно

В формуле для стороны $c$ участвует только угол между сторонами $a$ и $b$ — тот, что в шарнире. Если известен другой угол, теорема косинусов сторону $c$ напрямую не даст: формулу придется писать для другой стороны и решать уравнение. Проще — другая теорема, о ней следующий урок.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ острый, $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$. Расставьте шаги вывода формулы $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$: каждый шаг опирается на предыдущий.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разрезать треугольник высотой $BH$ на два прямоугольных: $BCH$ и $ABH$","В меньшем из полученных треугольников выразить тень через $a$ и $\\cos C$, а квадрат высоты — через $a$ и тень","Теперь в большем треугольнике собрать $c^2$ из квадрата высоты и квадрата остатка рейки $b$ без тени: $c^2 = (a^2-CH^2) + (b-CH)^2$","Убрать скобки в этом равенстве — квадраты тени сокращаются, остается $c^2 = a^2 + b^2-2b \\cdot CH$","Наконец вернуть на место тени ее выражение через косинус: $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$"]}},"hints":["Начинают с построения: высота $BH$ из вершины $B$ на сторону $AC$ создает два прямоугольных треугольника.","В треугольнике $BCH$ находят проекцию $CH = a\\cos C$ и $BH^2 = a^2-CH^2$; затем Пифагор для $ABH$ с $AH = b-CH$.","Порядок: высота → $CH$ и $BH^2$ в $BCH$ → Пифагор в $ABH$ → раскрыть скобки → подставить $CH = a\\cos C$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В формуле $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$ угол $C$ — это угол [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["между сторонами $a$ и $b$","между сторонами $a$ и $c$","любой угол треугольника","против стороны $a$"],"answer":0}},"hints":["Формула связывает три стороны и один угол, и этот угол не любой.","Угол $C$ образован сторонами $a$ и $b$ и лежит против стороны $c$. Ответ: между сторонами $a$ и $b$."],"step":1}],"mix":1}

Проверяем формулу на том, что уже знаем

Новой формуле не верят на слово — ее проверяют на случаях, где ответ известен заранее. Вернемся к рейкам $a = 6$ и $b = 8$ из начала урока. Табличные значения косинуса — в уроке «Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов».

Угол $90^\circ$. $\cos 90^\circ = 0$, поправка исчезает: $c^2 = 36 + 64 = 100$, $c = 10$. Совпало с теоремой Пифагора. По модели так и должно быть: рейка $a$ стоит перпендикулярно к рейке $b$ и тени не отбрасывает.

Угол $60^\circ$ — вопрос из начала урока. $\cos 60^\circ = \dfrac12$, поэтому $c^2 = 36 + 64-2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac12 = 100-48 = 52$ и $c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}2$ см. Меньше $10$, как мы и ожидали, когда складывали шарнир.

Крайние положения. При $180^\circ$ рейки вытягиваются в одну линию: $\cos 180^\circ = -1$, $c^2 = 100 + 96 = 196$, $c = 14 = 6 + 8$. При $0^\circ$ рейки складываются: $\cos 0^\circ = 1$, $c^2 = 100-96 = 4$, $c = 2 = 8-6$. Формула «знает» неравенство треугольника: третья сторона всегда между разностью и суммой двух других.

Один шарнир с рейками 6 и 8 в четырех положениях: 0° — рейки сложены, c = 2; 60° — c ≈ 7,2; 90° — c = 10 по Пифагору; 180° — рейки в одну линию, c = 14 — Один шарнир, четыре положения: $0^\circ$ — рейки сложены, $c = 2$; $60^\circ$ — $c \approx 7{,}2$; $90^\circ$ — $c = 10$; $180^\circ$ — рейки в одну линию, $c = 14$

Ошибка

Решавр раскрыл шарнир до $120^\circ$ и считает: «$\cos 120^\circ = \dfrac12$, значит, $c^2 = 36 + 64-2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac12 = 52$, $c = \sqrt{52} \approx 7{,}2$».

Проверка на числах. Шарнир раскрыт шире прямого угла, поэтому концы реек дальше, чем при $90^\circ$: должно быть $c > 10$. Кроме того, против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $7{,}2 < 8$. И главное: $\sqrt{52}$ — это в точности ответ для $60^\circ$, хотя рамка раскрыта совсем иначе.

Где сломалось. При тупом угле тень рейки ложится назад, за шарнир, и косинус отрицательный: $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac12$. Поправка меняет знак и прибавляется: $c^2 = 36 + 64 + 48 = 148$, $c = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \approx 12{,}2$. Теперь $c > 10$ и $c$ — наибольшая сторона, как и требует чертеж.

Рамка 6 и 8 с углом 120°: верная сторона AB = √148 ≈ 12,2; красный отрезок √52 ≈ 7,2 от точки A не дотягивается до B — это длина для угла 60°; тень рейки 6 ложится назад за шарнир, cos 120° = −1/2 — Шарнир $120^\circ$: верная сторона $c = \sqrt{148} \approx 12{,}2$ замыкает рамку; отрезок $\sqrt{52} \approx 7{,}2$, посчитанный с плюсом, до точки $B$ не дотягивается — это длина для $60^\circ$

Итак, знак поправки задает угол. Острый угол: тень вперед, $\cos C > 0$, поправка вычитается, и $c^2 < a^2 + b^2$. Прямой угол: тени нет, $c^2 = a^2 + b^2$. Тупой угол: тень назад, $\cos C < 0$, поправка прибавляется, и $c^2 > a^2 + b^2$.

teorema-kosinusov-sas

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\\circ$. Во что превращается равенство $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$c^2 = a^2 + b^2$ — теорема Пифагора","$c^2 = a^2 + b^2-2ab$","$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$","$c^2 = a^2 + b^2-ab$"],"explanations":["","Так было бы при $\\cos C = 1$, то есть при угле $0^\\circ$, а $\\cos 90^\\circ = 0$","Так было бы при $\\cos C = -1$, при угле $180^\\circ$; у прямого угла косинус равен нулю","Это случай $\\cos C = \\frac12$, то есть $C = 60^\\circ$, а не $90^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте значение косинуса прямого угла: $\\cos 90^\\circ = 0$.","Слагаемое $-2ab \\cdot 0$ исчезает.","Остается $c^2 = a^2 + b^2$ — теорема Пифагора."],"step":1},{"content":"По $a = 9$, $b = 15$ и $C = 120^\\circ$ Решавр пишет: «$c^2 = 81 + 225-2 \\cdot 9 \\cdot 15 \\cdot \\dfrac12 = 171$, $c = \\sqrt{171} \\approx 13{,}1$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо было вычесть $2 \\cdot 9 \\cdot 15 = 270$ целиком, без косинуса","Взят $\\cos 120^\\circ = \\frac12$ вместо $-\\frac12$: верно $c^2 = 441$, $c = 21$","Для тупого угла формула не действует, нужна теорема Пифагора","Ошибки нет: $c \\approx 13{,}1$"],"explanations":["Множитель $\\cos C$ обязателен; без него $c^2 = 306-270 = 36$, $c = 6$, и $6 + 9 = 15$: три стороны легли бы на одну прямую","","Теорема косинусов верна для любого угла треугольника; Пифагор — только ее случай при $90^\\circ$","Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $13{,}1 < 15 = b$: ответ не сходится с чертежом"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте по чертежу: сторона $c$ лежит против тупого угла и должна быть больше обеих других, а $\\sqrt{171} \\approx 13{,}1 < 15$.","Косинус тупого угла отрицательный: $\\cos 120^\\circ = -\\cos 60^\\circ = -\\dfrac12$, и слагаемое $-2ab\\cos C$ равно $+135$.","$c^2 = 81 + 225 + 135 = 441$, $c = 21$. Ошибка — в знаке косинуса."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 3$ и $BC = 5$, угол $C = 120^\\circ$. Найдите сторону $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9ekmpcylmkpc.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$: слагаемое $-2ab\\cos C$ становится положительным.","$AB^2 = 9 + 25-2 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = 34 + 15 = 49$.","$AB = 7$."],"step":1}],"mix":1}

Знак поправки говорит, какой угол: острый, прямой или тупой

Перепишем теорему косинусов так, чтобы поправка стояла отдельно: $c^2-\left(a^2 + b^2\right) = -2ab\cos C$. Слева — на сколько $c^2$ отличается от «пифагорова» значения $a^2 + b^2$. Справа знак определяет только $\cos C$: числа $a$ и $b$ положительные. Поэтому, зная три стороны, вид угла $C$ можно назвать, не вычисляя сам косинус, — достаточно сравнить $c^2$ с $a^2 + b^2$.

Рейки 6 и 8 в трех положениях: при c = 7 тень вперед и 49 < 100 — угол C острый; при c = 10 тени нет, 100 = 100 — прямой; при c = 11 тень назад за шарнир, 121 > 100 — тупой — Рейки $6$ и $8$: при $c = 7$ тень вперед и $49 < 100$ — угол $C$ острый; при $c = 10$ тени нет и $100 = 100$ — прямой; при $c = 11$ тень назад и $121 > 100$ — тупой

Правило

Пусть $c$ — сторона против угла $C$. Тогда: $c^2 < a^2 + b^2$ — угол $C$ острый; $c^2 = a^2 + b^2$ — прямой; $c^2 > a^2 + b^2$ — тупой.

Чтобы определить вид треугольника, проверяют его наибольший угол — он лежит против наибольшей стороны.

Почему достаточно наибольшего угла? Тупым в треугольнике может быть только один угол, и он наибольший. Если наибольший угол острый, то острые и все остальные, и треугольник остроугольный. Поэтому с квадратами двух других сторон сравнивают квадрат именно наибольшей стороны. Перед этим стоит убедиться, что треугольник вообще существует: наибольшая сторона меньше суммы двух других.

Пример

Стороны треугольника равны $4$, $5$ и $6$. Определим его вид.

Существование. $4 + 5 = 9 > 6$ — треугольник есть.

Наибольшая сторона — $6$, против нее лежит наибольший угол. Сравниваем: $6^2 = 36$ и $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Вывод. $36 < 41$, поправка вычитается, косинус наибольшего угла положительный — угол острый. Значит, все углы острые.

Ответ: треугольник остроугольный.

{"questions":[{"content":"Стороны треугольника равны $5$, $6$ и $8$. Каким по углам он является?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Остроугольный","Такого треугольника не существует","Тупоугольный","Прямоугольный"],"explanations":["Для острого наибольшего угла нужно $5^2 + 6^2 > 8^2$, а здесь $61 < 64$","Неравенство треугольника выполнено: $5 + 6 = 11 > 8$","","Прямой угол был бы при $5^2 + 6^2 = 8^2$, но $61 \\ne 64$"],"answer":[2]}},"hints":["Наибольший угол лежит против наибольшей стороны $8$: сравните $8^2$ с $5^2 + 6^2$.","$25 + 36 = 61 < 64$, значит, $\\cos \\varphi = \\dfrac{61-64}{2 \\cdot 5 \\cdot 6} < 0$.","Косинус отрицательный — треугольник тупоугольный."],"step":1},{"content":"Рейки $a = 6$ и $b = 8$ скреплены шарниром в вершине $C$. Распределите длины третьей стороны $c$ по виду угла $C$ между рейками.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Угол $C$ острый","Угол $C$ прямой","Угол $C$ тупой"],"items":[["$c = 5$","$c = 7$"],["$c = 10$"],["$c = 11$","$c = 13$"]]}},"hints":["Сравните $c^2$ с $a^2 + b^2 = 100$: при угле $90^\\circ$ третья сторона равна $10$.","$c^2 < 100$ — угол $C$ острый ($\\cos C > 0$), $c^2 = 100$ — прямой, $c^2 > 100$ — тупой.","Острый: $c = 5$ и $c = 7$; прямой: $c = 10$; тупой: $c = 11$ и $c = 13$."],"step":1}],"mix":1}

Как теорема косинусов выглядит в задачах ОГЭ

В задании 15 ОГЭ теорема косинусов встречается в двух видах: даны две стороны и угол между ними — найти третью сторону; даны три стороны — найти косинус угла (реже сам угол). Во втором случае формулу просто решают относительно косинуса.

Дано	Найти	Формула
Стороны $a$, $b$ и угол $C$ между ними	Сторона $c$ против угла $C$	$c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$
Три стороны $a$, $b$, $c$	Косинус угла $C$ против стороны $c$	$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$

Задача

В треугольнике две стороны равны $7$ и $15$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите третью сторону.

Решение. Угол $60^\circ$ стоит в шарнире между сторонами $7$ и $15$, поэтому формула применима прямо: $c^2 = 7^2 + 15^2-2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 225-105 = 169$.

Число $169$ — это еще не ответ, а квадрат стороны. Проверка: сторона $169$ больше, чем $7 + 15 = 22$, — такой рейкой рамку не замкнуть. Извлекаем корень: $c = \sqrt{169} = 13$, и $13 < 22$.

Ответ: $13$.

Если угол между сторонами равен $45^\circ$, то $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, и произведение удобно считать отдельно: при сторонах $4\sqrt2$ и $9$ получится $2 \cdot 4\sqrt2 \cdot 9 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = 72$, а $\left(4\sqrt2\right)^2 = 32$.

Обратите внимание

Теорема косинусов дает квадрат стороны. Перед тем как записать ответ, извлеките корень и сверьте результат с рамкой: третья сторона меньше суммы двух других, а против большего угла лежит большая сторона.

Косинус угла по трем сторонам

Если известны все три стороны, косинус угла находят из теоремы косинусов: в числителе со знаком минус стоит квадрат стороны, лежащей против искомого угла.

Задача

Стороны треугольника равны $5$, $6$ и $7$. Найдите косинус угла, лежащего против стороны $7$.

Решение. Против искомого угла лежит сторона $7$, значит, именно $7^2$ стоит в числителе с минусом, а $5$ и $6$ — рейки в шарнире: $\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{25 + 36-49}{60} = \dfrac{12}{60} = 0{,}2$.

Косинус положительный — угол острый, и это согласуется с проверкой: $49 < 61$. На ОГЭ часто просят именно косинус, а не угол: $0{,}2$ не табличное значение, и градусную меру без калькулятора не найти.

Ответ: $0{,}2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 24$ и $BC = 35$, угол $C = 60^\\circ$. Найдите сторону $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lu5jqqqwybwj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"31"}},"hints":["Угол $C$ стоит между $AC$ и $BC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2-2 \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\cos C$.","$AB^2 = 576 + 1225-2 \\cdot 24 \\cdot 35 \\cdot \\dfrac12 = 1801-840 = 961$.","$AB = \\sqrt{961} = 31$."],"step":1},{"content":"В треугольнике стороны равны $7$, $8$ и $13$. Найдите угол, лежащий против стороны $13$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Угол против стороны $13$: $\\cos \\varphi = \\dfrac{7^2 + 8^2-13^2}{2 \\cdot 7 \\cdot 8}$.","$\\cos \\varphi = \\dfrac{49 + 64-169}{112} = \\dfrac{-56}{112} = -\\dfrac12$.","Косинус отрицательный, угол тупой: $\\varphi = 120^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема косинусов — это теорема Пифагора для любого треугольника: $c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$, где $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Она решает две задачи ОГЭ — сторона по двум сторонам и углу между ними, косинус угла по трем сторонам — и позволяет назвать вид треугольника, не измеряя углов. В следующем уроке «Теорема синусов» вы узнаете, что делать, если известный угол стоит не между данными сторонами.

Чтобы вспомнить главное, представьте рамку из двух реек на шарнире и тень одной рейки на другой.

Случай	Что с тенью	Что с формулой
Угол $C = 90^\circ$	Тени нет	$c^2 = a^2 + b^2$ — теорема Пифагора
Угол $C$ острый	Тень вперед, $\cos C > 0$	Поправка вычитается: $c^2 < a^2 + b^2$
Угол $C$ тупой	Тень назад, $\cos C < 0$	Поправка прибавляется: $c^2 > a^2 + b^2$
Даны три стороны	Знак поправки виден из сравнения $c^2$ с $a^2 + b^2$	$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$

Часто задаваемые вопросы

Почему в формуле минус, если при тупом угле поправка прибавляется?

Минус в формуле стоит всегда, а знак самой поправки определяет косинус. У острого угла косинус положительный, и $-2ab\cos C$ отрицательно — из суммы квадратов вычитают. У тупого угла косинус отрицательный, и $-2ab\cos C$ положительно — к сумме квадратов прибавляют. Формула одна, менять ее для тупого угла не нужно.

Что делать, если известный угол стоит не между данными сторонами?

Тогда теорема косинусов третью сторону напрямую не дает: в формуле для $c$ нужен именно угол $C$ между $a$ и $b$. Для случая «две стороны и угол не между ними» или «сторона и два угла» есть теорема синусов — следующий урок модуля.

Можно ли по теореме косинусов найти угол, а не только сторону?

Да. Если известны три стороны, формулу решают относительно косинуса: $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$. По знаку косинуса сразу видно, острый угол или тупой, а если значение табличное — например, $\dfrac12$ или $-\dfrac12$, — находят и сам угол: $60^\circ$ или $120^\circ$.

Как быстро проверить, что ответ не содержит ошибки?

Три проверки по рамке. Третья сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Против большего угла лежит большая сторона: при тупом угле $C$ сторона $c$ — наибольшая. И сравнение с теоремой Пифагора: при остром угле $c^2 < a^2 + b^2$, при тупом — больше. Если хотя бы одна проверка не проходит, ищите ошибку в знаке косинуса или в выборе угла.

Награды за урок