9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам

Содержание

В уроке «Теорема синусов, теорема косинусов, формулы площади с использованием синуса» вы познакомились с теоремой косинусов. Теперь научимся решать с ее помощью треугольник — находить все его стороны и углы, если известны две стороны и угол между ними или три стороны. Разберем алгоритм из пяти шагов, случай тупого угла, определение вида треугольника по сторонам и задачи ОГЭ.

Две рейки с шарниром закрепляют треугольник

Нужно узнать ширину пруда — расстояние между деревьями $A$ и $B$, которые растут по разные стороны пруда. Заходить в воду нельзя. Из точки $O$ на берегу оба дерева видны и до обоих можно дойти по суше. Рулеткой измерили $OA = 30$ м и $OB = 50$ м, угломером — угол $AOB$ между направлениями на деревья: $120^\circ$. Хватит ли этого, чтобы найти $AB$?

Пруд между деревьями A и B: рейки OA = 30 м, OB = 50 м и угол 120° при O, расстояние AB искомое — Рейки $OA$ и $OB$ скреплены шарниром в точке $O$ под углом $120^\circ$: концы $A$ и $B$ закреплены, значит, ширина пруда $AB$ уже определена

Представим треугольник $AOB$ как рамку из реек. Рейки $OA$ и $OB$ соединены шарниром в точке $O$. Пока шарнир свободен, рамка складывается и раскрывается, и концы $A$ и $B$ то сближаются, то расходятся. Закрепим шарнир под углом $120^\circ$ — и концы реек больше не сдвинутся. Отрезок $AB$ получил одну-единственную длину. Ее не измерить рулеткой, но можно вычислить.

То же говорит первый признак равенства треугольников: два треугольника с равными двумя сторонами и углом между ними равны. Значит, по двум сторонам и углу между ними треугольник определен полностью. Так же работают три рейки: рамку из трех реек нельзя перекосить (третий признак — по трем сторонам).

Определение

Решить треугольник — найти его неизвестные стороны и углы по трем данным элементам.

Теорема косинусов

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

$$c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$$

Здесь $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ — стороны треугольника $ABC$, каждая лежит против одноименного угла.

Теорема связывает три рейки и шарнир, поэтому по ней можно найти ширину пруда. Мы вернемся к пруду, когда разберем тупой угол, — у него есть особенность.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 3$ и $BC = 8$, угол $C = 60^\\circ$. Найдите сторону $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8zjolmx615lg.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Угол $C$ стоит между сторонами $AC$ и $BC$: теорема косинусов применима.","$AB^2 = 3^2 + 8^2-2 \\cdot 3 \\cdot 8 \\cdot \\cos 60^\\circ = 9 + 64-24 = 49$.","$AB = \\sqrt{49} = 7$."],"step":1}],"mix":1}

Угол в формуле — тот, что в шарнире между рейками

В теореме косинусов стоят две стороны и угол между ними. На рамке это шарнир, который скрепляет две данные рейки. Сторона $c$ лежит против шарнира — это отрезок, соединяющий свободные концы реек.

Найти шарнир просто: две стороны треугольника всегда имеют общую вершину. Стороны $BC$ и $CA$ выходят из вершины $C$, значит, между ними угол $C$. Стороны $AB$ и $AC$ выходят из вершины $A$ — между ними угол $A$.

Два одинаковых треугольника: слева угол C между сторонами a и b — верно, справа угол A не между ними — ошибка — Слева угол $C$ стоит в шарнире между сторонами $a$ и $b$ — формула для $c$ работает; справа отмечен угол $A$: он не скрепляет рейки $a$ и $b$, подставлять его нельзя

Правило

В формулу $c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$ подставляют угол в общей вершине двух данных сторон. Сторона, которую находят, лежит против этого угла.

Ошибка

В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно: $AC = 3$, $AB = 5$, $\angle C = 90^\circ$. Решавр ищет $BC$ и пишет: $BC^2 = 3^2 + 5^2-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 34$, $BC = \sqrt{34} \approx 5{,}8$.

Проверим на числах. Гипотенуза здесь $AB = 5$, и по теореме Пифагора $BC = \sqrt{25-9} = 4$. У Решавра катет вышел длиннее гипотенузы.

Где сломалось рассуждение: стороны $AC$ и $AB$ выходят из вершины $A$, а угол $C$ лежит в другой вершине. Он не скрепляет эти две рейки, и формула для $BC$ с углом $C$ неверна.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB$ и $BC$ и угол $A$. Какой угол стоит <em>между</em> сторонами $AB$ и $BC$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/f3lr44olupgt.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Угол $B$","Любой угол треугольника","Угол $C$","Угол $A$"],"explanations":["","Между двумя сторонами стоит ровно один угол — в их общей вершине","Угол $C$ образуют стороны $AC$ и $BC$, а не $AB$ и $BC$","Угол $A$ дан в условии, но стороне $BC$ он не принадлежит: она лежит против него"],"answer":[0]}},"hints":["Угол между двумя сторонами — тот, у которого они обе выходят из одной вершины.","Стороны $AB$ и $BC$ выходят из вершины $B$.","Ответ: угол $B$; данный угол $A$ между ними не стоит."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Дан треугольник $ABC$: $AB = 7$, $AC = 9$, угол при вершине $B$ равен $50^\\circ$. Решавр сразу записал теорему косинусов: «$BC^2 = 7^2 + 9^2-2 \\cdot 7 \\cdot 9 \\cos 50^\\circ$». Почему так делать нельзя?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xjndnz08rjbw.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо подставить угол $C$: он против искомой стороны","Ошибки нет: угол $B$ дан, значит, его и берут","Угол $B$ не стоит между $AB$ и $AC$, формула здесь неприменима","Надо взять $\\cos 130^\\circ$"],"explanations":["Против $BC$ лежит угол $A$, и между $AB$ и $AC$ — тоже угол $A$; угол $C$ в этой формуле не нужен","Дан не любой угол, а угол между теми сторонами, что стоят в формуле","","Угол $130^\\circ$ в условии не появляется: смежный угол здесь ни при чем"],"answer":[2]}},"hints":["В формуле под косинусом стоит угол <em>между</em> двумя взятыми сторонами.","Стороны $AB$ и $AC$ выходят из вершины $A$, а дан угол $B$ — он лежит против $AC$.","Ответ: угол $B$ не между $AB$ и $AC$, формулу применять нельзя."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пять шагов: от двух реек с шарниром к целому треугольнику

Решить треугольник по двум сторонам и углу между ними — значит найти третью сторону и два других угла. Сначала сторону: она лежит против известного угла, и теорема косинусов дает ее сразу. Потом углы: когда известны все три стороны, ту же теорему можно записать для другой стороны и выразить косинус нужного угла. Например, для стороны $a$: $a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos A$, откуда

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2-a^2}{2bc}$$

Алгоритм

Даны стороны $a$, $b$ и угол $C$.

Проверить, что угол $C$ стоит между сторонами $a$ и $b$.
По теореме косинусов найти $c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos C$.
Извлечь корень: $c = \sqrt{c^2}$.
По трем сторонам найти косинус второго угла, например $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2-a^2}{2bc}$, и сам угол.
Третий угол: $B = 180^\circ-C-A$.

Алгоритм по двум сторонам и углу: даны 8, 15 и 60°, находим сторону 13, затем углы 32,2° и 87,8° — Шаги 1–3 дают сторону $c = 13$, шаг 4 — угол $A$, шаг 5 — угол $B$: рамка из двух реек с шарниром достроена до целого треугольника

Пример 1

Решите треугольник $ABC$, если $a = 8$, $b = 15$, $\angle C = 60^\circ$.

Шаг 1. Стороны $a = BC$ и $b = CA$ выходят из вершины $C$ — угол $C$ стоит между ними.

Шаг 2. $c^2 = 8^2 + 15^2-2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 225-120 = 169$.

Шаг 3. $c = \sqrt{169} = 13$.

Шаг 4. $\cos A = \dfrac{15^2 + 13^2-8^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \dfrac{330}{390} = \dfrac{11}{13} \approx 0{,}846$. По таблице или на калькуляторе (клавиша $\cos^{-1}$): $\angle A \approx 32{,}2^\circ$.

Шаг 5. $\angle B = 180^\circ-60^\circ-32{,}2^\circ = 87{,}8^\circ$.

Проверка. Наибольший угол $B$ лежит против наибольшей стороны $b = 15$, как и должно быть.

Ответ: $c = 13$, $\angle A \approx 32{,}2^\circ$, $\angle B \approx 87{,}8^\circ$.

Важно

Второй угол находите по косинусу. Каждому значению косинуса от $-1$ до $1$ соответствует ровно один угол от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому ответ однозначен. По синусу так не получится: $\sin 32{,}2^\circ = \sin 147{,}8^\circ$, и придется выбирать из двух углов. Если все же берете синус, ищите угол против меньшей из двух данных сторон: он не наибольший в треугольнике и потому острый.

Ошибка

На шаге 2 получили $169$ и записали в ответ: «$c = 169$».

Проверим на числах. Рейки длиной $8$ и $15$ вместе дают $8 + 15 = 23$. Рейку длиной $169$ они не охватят: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Где сломалось рассуждение: теорема косинусов дает квадрат стороны, а не саму сторону. Пропущен шаг 3 — корень: $c = \sqrt{169} = 13$.

Рейки 8 и 15 с углом 60° замыкает сторона 13; отрезок 169 намного длиннее даже суммы 23 — Рейка длиной $169$ больше чем в семь раз длиннее, чем рейки $8$ и $15$ вместе, — рамку не замкнуть; замыкает ее рейка $\sqrt{169} = 13$

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a = 5$, $b = 8$ и угол $C = 60^\\circ$ между ними. Расставьте действия в том порядке, в котором их можно выполнить: каждое использует результат предыдущего.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Проверить, что угол $C$ стоит между сторонами $a$ и $b$","Найти $c^2$ по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$","Извлечь корень из найденного $c^2$: $c = \\sqrt{c^2}$","По трем известным сторонам найти косинус второго угла и сам угол","Из суммы углов найти третий угол: $180^\\circ$ минус угол $C$ и найденный угол"]}},"hints":["Прежде всего нужно убедиться, что данный угол стоит между данными сторонами, иначе формула не работает.","Затем записывается формула для стороны против этого угла, подставляются числа и извлекается корень.","Порядок: проверка угла → $c^2$ → корень → второй угол по косинусу → третий угол из суммы $180^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Задача: по $a = 6$, $b = 10$ и $C = 60^\\circ$ найти сторону $c$. В тетради Решавра — «$c^2 = 76$», а в ответ выписано $c = 76$. Что неверно в ответе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Косинус угла $60^\\circ$ равен $\\frac{\\sqrt3}{2}$","В ответ выписан квадрат: сторона равна $\\sqrt{76}$","Ошибки нет: сторона равна 76","Косинус $60^\\circ$ надо было брать как $-\\frac12$"],"explanations":["Это синус $60^\\circ$, а косинус $60^\\circ$ равен $\\frac12$; подстановка в решении верна","","Сторона не может быть 76 при сторонах 6 и 10: неравенство треугольника требует $c < 16$","Угол острый, и косинус положителен: $\\cos 60^\\circ = \\frac12$, число 76 вычислено верно"],"answer":[1]}},"hints":["Формула дает квадрат неизвестной стороны, а не ее длину.","$c^2 = 76$, значит, $c = \\sqrt{76} \\approx 8{,}7$.","Ответ: в ответ попал квадрат, корень не извлечен."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Чем шире раскрыт шарнир, тем длиннее третья сторона

Вернемся к пруду. Рейки $30$ и $50$ оставим, а шарнир будем раскрывать. При $60^\circ$ получаем $AB = \sqrt{900 + 2500-1500} = \sqrt{1900} \approx 43{,}6$. При $90^\circ$ косинус равен нулю, и теорема превращается в теорему Пифагора: $AB = \sqrt{3400} \approx 58{,}3$. При $120^\circ$ концы реек расходятся еще дальше, значит, $AB$ должно получиться больше $58{,}3$.

Рейки 30 и 50 при угле 60°, 90° и 120°: третья сторона 43,6, 58,3 и 70; ложный ответ с минусом для 120° не дотягивается до конца — Рейки $30$ и $50$ при шарнире $60^\circ$, $90^\circ$ и $120^\circ$: третья сторона растет — $43{,}6$, $58{,}3$, $70$; для тупого угла слагаемое $2ab\cos C$ прибавляется

Это видно и по формуле. Косинус тупого угла отрицателен (урок «Единичная полуокружность. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»): $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac12$. Тогда $-2ab\cos C = -2ab \cdot \left(-\frac12\right) = +ab$, и слагаемое не вычитается, а прибавляется.

Правило

Косинус подставляют вместе со знаком. Если угол $C$ острый, $c^2 < a^2 + b^2$; если прямой — $c^2 = a^2 + b^2$; если тупой — $c^2 > a^2 + b^2$. Для угла $120^\circ$:

$$c^2 = a^2 + b^2 + ab$$

Пример 2. Ширина пруда

$OA = 30$ м, $OB = 50$ м, $\angle AOB = 120^\circ$. Угол $O$ стоит между сторонами $OA$ и $OB$.

$AB^2 = 30^2 + 50^2-2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot \left(-\frac12\right) = 900 + 2500 + 1500 = 4900$, $AB = 70$ м.

Обратная задача. Пусть известны три стороны: $30$, $50$ и $70$. Найдем угол против наибольшей стороны:

$$\cos O = \frac{30^2 + 50^2-70^2}{2 \cdot 30 \cdot 50} = \frac{-1500}{3000} = -\frac12$$

Значит, $\angle O = 120^\circ$ — тот же угол, с которого начали. Три рейки собирают ту же рамку, что две рейки с шарниром.

Ответ: ширина пруда $70$ м.

Три рейки 30, 50 и 70 собирают тот же треугольник: угол против наибольшей стороны равен 120° — Рамка из трех реек $30$, $50$ и $70$ жесткая: угол против наибольшей стороны получается ровно $120^\circ$ — это тот же треугольник, что у пруда

Ошибка

Даны $a = 3$, $b = 5$, $\angle C = 120^\circ$. Решавр пишет: $c^2 = 9 + 25-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac12 = 19$, $c = \sqrt{19} \approx 4{,}4$.

Проверим на числах. Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а у Решавра $c \approx 4{,}4 < 5$. Более того, $\sqrt{19}$ — это ответ для шарнира $60^\circ$: раскрыли рамку шире, а концы реек не разошлись.

Где сломалось рассуждение: вместо $\cos 120^\circ = -\frac12$ подставлено $\frac12$. Верно: $c^2 = 9 + 25 + 15 = 49$, $c = 7$.

В модели ниже рейки $3$ и $5$ — тот же пруд в масштабе $1 : 10$. Меняйте угол в шарнире и следите за третьей стороной. Найдите угол, при котором $c = \sqrt{34}$, и угол, при котором $c = 7$. Угол в модели всегда стоит между рейками, поэтому ошибку с углом не в той вершине здесь сделать нельзя — ее показывает рисунок в разделе о шарнире.

sas-kosinusy

{"questions":[{"content":"Стороны $a$ и $b$ треугольника образуют угол $C$. Сопоставьте угол и формулу для третьей стороны.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$C = 60^\\circ$","$C = 90^\\circ$","$C = 120^\\circ$"],"items":["$c^2 = a^2 + b^2-ab$","$c^2 = a^2 + b^2$","$c^2 = a^2 + b^2 + ab$","$c^2 = a^2 + b^2-2ab$"]}},"hints":["Подставьте в $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$ косинус вместе со знаком: $\\cos 60^\\circ = \\frac12$, $\\cos 90^\\circ = 0$, $\\cos 120^\\circ = -\\frac12$.","$-2ab \\cdot \\frac12 = -ab$; $-2ab \\cdot 0 = 0$ — теорема Пифагора; $-2ab \\cdot \\left(-\\frac12\\right) = +ab$.","Ответ: $60^\\circ$ — $a^2 + b^2-ab$, $90^\\circ$ — $a^2 + b^2$, $120^\\circ$ — $a^2 + b^2 + ab$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 6$ и $BC = 10$, угол $C = 120^\\circ$. Найдите сторону $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3hfjxjhgap11.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["У тупого угла косинус отрицательный: $\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$.","$AB^2 = 36 + 100-2 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = 36 + 100 + 60 = 196$.","$AB = 14$."],"step":1},{"content":"Решавр нашел сторону $c$ по сторонам $a = 4$, $b = 6$ и углу $C = 120^\\circ$: «$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, значит, $c^2 = 4^2 + 6^2-2 \\cdot 4 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac12 = 28$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Для тупого угла надо брать $\\cos 60^\\circ$, а не $\\cos 120^\\circ$","Угол $C$ не стоит между $a$ и $b$","Потерян знак косинуса: надо $-2ab \\cdot \\left(-\\frac12\\right) = +24$, и $c^2 = 76$","Ошибки нет: $c^2 = 28$"],"explanations":["Косинус тупого угла берется как есть: $\\cos 120^\\circ = -\\frac12$, значение $\\cos 60^\\circ$ не подходит","В условии $C$ — угол между $a$ и $b$, а сторона $c$ лежит против него","","Если проверить на чертеже, сторона против тупого угла должна быть больше обеих других, а $\\sqrt{28} \\approx 5{,}3 < 6$"],"answer":[2]}},"hints":["Формула $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$ верна, но подставлять нужно сам косинус, вместе со знаком.","$-2 \\cdot 4 \\cdot 6 \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = +24$, поэтому $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$.","Ответ: Решавр потерял знак косинуса."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

По трем сторонам сначала ищут самый большой угол

Если даны три стороны, рамка уже жесткая — остается найти три угла. Каждый находят по формуле косинуса, как на шаге 4. Начинают с угла против наибольшей стороны: он наибольший в треугольнике, и знак его косинуса сразу говорит, каким будет треугольник. Знак зависит только от числителя $a^2 + b^2-c^2$, потому что знаменатель $2ab$ положителен.

Наибольшая сторона $c$	Косинус угла $C$	Угол $C$	Треугольник
$c^2 < a^2 + b^2$	больше нуля	острый	остроугольный
$c^2 = a^2 + b^2$	равен нулю	прямой	прямоугольный
$c^2 > a^2 + b^2$	меньше нуля	тупой	тупоугольный

Угол по трем сторонам

Угол против стороны $c$:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$$

Первым находят угол против наибольшей стороны. Сумма трех найденных углов должна быть равна $180^\circ$ (с точностью до округления) — это проверка всего решения.

Пример 3

Решите треугольник со сторонами $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$ и определите его вид.

Наибольшая сторона $c = 9$: $\cos C = \dfrac{49 + 64-81}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{32}{112} = \dfrac27 \approx 0{,}286$, $\angle C \approx 73{,}4^\circ$. Косинус положителен — наибольший угол острый, треугольник остроугольный.

$\cos B = \dfrac{49 + 81-64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \dfrac{66}{126} = \dfrac{11}{21} \approx 0{,}524$, $\angle B \approx 58{,}4^\circ$.

$\cos A = \dfrac{64 + 81-49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac23 \approx 0{,}667$, $\angle A \approx 48{,}2^\circ$.

Проверка. $48{,}2^\circ + 58{,}4^\circ + 73{,}4^\circ = 180{,}0^\circ$. Углы растут вместе с противолежащими сторонами: $7 < 8 < 9$.

Ответ: $\angle A \approx 48{,}2^\circ$, $\angle B \approx 58{,}4^\circ$, $\angle C \approx 73{,}4^\circ$; треугольник остроугольный.

Треугольник со сторонами 7, 8 и 9: углы 48,2°, 58,4° и 73,4°, наибольший угол против наибольшей стороны — Треугольник $7$, $8$, $9$: против наибольшей стороны — наибольший угол $73{,}4^\circ$, он острый; сумма углов $48{,}2^\circ + 58{,}4^\circ + 73{,}4^\circ = 180^\circ$

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 3$, $BC = 7$, $AC = 8$. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Угол $A$ лежит против стороны $BC = 7$: $\\cos A = \\dfrac{AB^2 + AC^2-BC^2}{2 \\cdot AB \\cdot AC}$.","$\\cos A = \\dfrac{9 + 64-49}{2 \\cdot 3 \\cdot 8} = \\dfrac{24}{48} = \\dfrac12$.","$A = 60^\\circ$."],"step":1},{"content":"Стороны треугольника равны 4, 5 и 7. Каким по углам он является?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Остроугольный","Тупоугольный","Вид определить нельзя, нужны углы","Прямоугольный"],"explanations":["Остроугольным он был бы при $4^2 + 5^2 > 7^2$, а здесь $41 < 49$","","Вид определяется по сторонам: знак косинуса наибольшего угла берется из них","Прямой угол был бы при $16 + 25 = 49$, но $41 \\ne 49$"],"answer":[1]}},"hints":["Самый большой угол лежит против самой большой стороны, 7: проверяем его косинус.","$\\cos \\varphi = \\dfrac{16 + 25-49}{2 \\cdot 4 \\cdot 5} = -\\dfrac{8}{40} = -0{,}2 < 0$.","Косинус отрицательный — угол тупой: треугольник тупоугольный."],"step":1},{"content":"Распределите треугольники с данными сторонами по виду углов.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Остроугольный","Прямоугольный","Тупоугольный"],"items":[["$5$, $6$, $7$","$7$, $8$, $10$"],["$6$, $8$, $10$","$5$, $12$, $13$"],["$3$, $4$, $6$","$4$, $6$, $9$"]]}},"hints":["Наибольший угол лежит против наибольшей стороны: сравните ее квадрат с суммой квадратов двух других.","$25 + 36 > 49$, $49 + 64 > 100$ — остроугольные; $36 + 64 = 100$, $25 + 144 = 169$ — прямоугольные; $9 + 16 < 36$, $16 + 36 < 81$ — тупоугольные.","Ответ: остроугольные — 5, 6, 7 и 7, 8, 10; прямоугольные — 6, 8, 10 и 5, 12, 13; тупоугольные — 3, 4, 6 и 4, 6, 9."],"step":1}],"mix":1}

Как такие задачи выглядят на ОГЭ

В задании 15 ОГЭ обычно просят найти одну величину: сторону, угол или его косинус. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Перед вычислением определите, что дано: две стороны с углом между ними или три стороны.

Дано	Рамка	Что считаем	Что в ответе
две стороны и угол между ними	две рейки с шарниром	$c^2$ по теореме косинусов	$c = \sqrt{c^2}$
три стороны	три рейки	$\cos C$ — угол против нужной стороны	косинус или угол в градусах

Пример 4

$AB = 5$, $BC = 16$, $\angle B = 120^\circ$: угол $B$ между сторонами, $AC^2 = 25 + 256 + 80 = 361$, $AC = 19$.

Пример 5

В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 5$, $BC = 8$, $AC = 9$. Найдите косинус угла $B$.

Угол $B$ лежит против стороны $AC = 9$, а стороны $AB$ и $BC$ выходят из вершины $B$:

$$\cos B = \frac{5^2 + 8^2-9^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64-81}{80} = \frac{8}{80} = 0{,}1$$

Ответ: $0{,}1$.

{"questions":[{"content":"Чему равен косинус самого малого из трех углов треугольника со сторонами 4, 5 и 6? Запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,75","0.75"]}},"hints":["Самый малый угол лежит против самой короткой стороны, 4.","$\\cos \\varphi = \\dfrac{5^2 + 6^2-4^2}{2 \\cdot 5 \\cdot 6} = \\dfrac{25 + 36-16}{60} = \\dfrac{45}{60}$.","$\\cos \\varphi = 0{,}75$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам — основа измерений на местности: так находят расстояния, которые нельзя измерить напрямую, как ширину пруда. Такие задачи встречаются в задании 15 ОГЭ. Если известен угол не между данными сторонами, рамка ведет себя иначе — этот случай разобран в уроке «Решение треугольников по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу не между ними». Главное из этого урока легко вспомнить по рамке из реек.

Случай	Рамка	Что помнить
две стороны и угол между ними	две рейки, шарнир между ними	угол — в общей вершине данных сторон; в ответе корень из $c^2$
тупой угол	шарнир раскрыт шире прямого	$\cos C < 0$, слагаемое $ab$ прибавляется
три стороны	три рейки, рамка жесткая	сначала угол против наибольшей стороны; знак косинуса — вид
проверка	углы рамки	сумма углов $180^\circ$, против большей стороны — больший угол

Часто задаваемые вопросы

Почему при угле 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора?

Потому что $\cos 90^\circ = 0$ и слагаемое $2ab\cos C$ исчезает: $c^2 = a^2 + b^2$. Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов. При остром угле из суммы квадратов вычитают, при тупом — прибавляют.

Что будет, если по трем сторонам считать угол, а треугольника с такими сторонами нет?

Формула это покажет. Для сторон $2$, $3$ и $6$ получим $\cos C = \dfrac{4 + 9-36}{12} \approx -1{,}92$, а косинус не бывает меньше $-1$. Рейки $2$ и $3$ не дотягиваются до концов рейки $6$: $2 + 3 < 6$.

Почему второй угол лучше искать по косинусу, а не по синусу?

Косинус однозначно задает угол от $0^\circ$ до $180^\circ$, а одному значению синуса соответствуют два угла, например $30^\circ$ и $150^\circ$. По синусу легко взять острый угол вместо тупого. Если используете синус, ищите угол против меньшей из двух данных сторон: он острый.

А если известны две стороны и угол, но не между ними?

Тогда это другой случай: шарнир не скрепляет данные рейки, и рамка может собраться двумя способами или не собраться совсем. Подставлять такой угол в формулу для третьей стороны нельзя. Этот случай разбирается в следующем уроке.

Награды за урок