9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Теорема синусов. Радиус описанной окружности

Содержание

В уроке «Теорема косинусов» вы находили третью рейку рамки по двум рейкам и шарниру между ними. Сегодня — вторая теорема о треугольнике: теорема синусов. Она связывает каждую сторону с углом напротив нее и заодно дает радиус окружности, описанной около треугольника. Докажем ее, разберем главную ошибку и решим задачи в формате ОГЭ.

Три рейки, три шарнира и один вопрос

Снова соберем треугольник $ABC$ как рамку из трех реек на шарнирах. Рейку, которая лежит против шарнира $A$, обозначают маленькой буквой $a$: $a = BC$. Так же $b = CA$ против шарнира $B$ и $c = AB$ против шарнира $C$. У каждой рейки ровно один противолежащий угол — тот, вершина которого не лежит на этой рейке. На схеме рейка и ее угол окрашены одинаково.

Разносторонний треугольник ABC: сторона a и угол A одного тона, b и угол B — второго, c и угол C — третьего; у каждой рейки один угол напротив — тот, чья вершина не лежит на рейке — Три пары «рейка — шарнир напротив»: $a$ и $\angle A$, $b$ и $\angle B$, $c$ и $\angle C$. Угол $B$ лежит не против $b$, а между $a$ и $c$

Теперь вопрос. Пусть $a = 5$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 120^\circ$. Нужна рейка $b$. Теорема косинусов не поможет: ей нужны две стороны, а известна одна. Нужен инструмент, который связывает рейку с шарниром напротив.

Такой инструмент нужен не только на уроке. Чтобы узнать расстояние до дерева на другом берегу реки, геодезист не переплывает реку: он отмеряет на своем берегу отрезок $AB = 60$ м и измеряет два угла — $\angle A = 45^\circ$ и $\angle B = 105^\circ$. Этого хватает, чтобы вычислить расстояние $BC$ до дерева. В конце урока вы сделаете этот расчет сами.

{"questions":[{"content":"По теореме синусов сторона $AC$ треугольника $ABC$ делится на синус угла [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["любого из трех","$B$","$A$","$C$"],"answer":1}},"hints":["Каждая сторона делится на синус угла, который лежит <em>против</em> нее.","Против стороны $AC$ лежит вершина $B$. Ответ: угла $B$."],"step":1}],"mix":1}

Одно число для всех трех реек

Начнем с рамки, которую вы знаете из 8 класса: прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Если гипотенуза равна $2$, то катет против угла $30^\circ$ равен $1$, а второй катет — $\sqrt3$. Разделим каждую рейку на синус шарнира напротив:

$$\frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{\frac12} = 2, \qquad \frac{\sqrt3}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 2, \qquad \frac{2}{\sin 90^\circ} = \frac{2}{1} = 2$$

Три разные рейки, три разных угла — и три одинаковых отношения. Число $2$ здесь не случайное: это гипотенуза, а она для прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности. Запомним это и проверим, выживет ли совпадение в рамке без прямого угла.

Прямоугольный треугольник ABC со сторонами 1, √3, 2 вписан в окружность радиуса 1 с диаметром AB; таблица справа: 1 / sin 30°, √3 / sin 60° и 2 / sin 90° равны 2 — диаметру — Рамка $1$, $\sqrt3$, $2$ в описанной окружности: все три отношения «рейка / синус угла напротив» равны $2$ — диаметру

Возьмем любой треугольник $ABC$ и опустим из вершины $A$ высоту $AH = h$ на прямую $BC$. Высота разрезает рамку на два прямоугольных треугольника, и в каждом $h$ — катет. В треугольнике $AHC$ катет $h$ лежит против угла $C$, гипотенуза — рейка $b$: $h = b \sin C$. В треугольнике $AHB$ катет $h$ лежит против угла $B$, гипотенуза — рейка $c$: $h = c \sin B$. Одна и та же высота записана двумя способами.

Две панели: слева высота AH = h в треугольнике с острыми углами B и C записана двумя способами — h = b sin C и h = c sin B; справа угол B тупой, высота падает на продолжение CB, и sin(180° − B) = sin B — Одна высота $h$ — два прямоугольных треугольника: $h = b \sin C$ и $h = c \sin B$

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Доказательство

Шаг 1. Проведем высоту $AH$ к прямой $BC$ и обозначим $AH = h$.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $AHC$ с гипотенузой $AC = b$: $h = b \sin C$ (катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла).

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $AHB$ с гипотенузой $AB = c$: $h = c \sin B$. Если угол $B$ тупой, точка $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ и в треугольнике $AHB$ работает угол $180^\circ-B$; но $\sin(180^\circ-B) = \sin B$ (урок «Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°»), и запись $h = c \sin B$ сохраняется. Если угол $B$ прямой, то $H = B$, $h = c$ и $\sin B = 1$ — запись та же.

Шаг 4. Приравняем: $b \sin C = c \sin B$, откуда $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$.

Шаг 5. Высота из вершины $B$ точно так же дает $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$. Все три отношения равны. Что и требовалось доказать.

Чем пользоваться на практике: из любых двух дробей получается пропорция. Чтобы найти рейку, нужны ее угол напротив и еще одна полная пара «рейка — угол напротив». Синус тупого угла берем по формуле $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$: например, $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 7$, угол $A = 30^\\circ$, угол $B = 120^\\circ$. Найдите сторону $AC$.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tezyaxa12k3j.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$14$","$\\dfrac{7\\sqrt3}{3}$","$-7\\sqrt3$","$7\\sqrt3$"],"explanations":["Так было бы при $\\sin B = 1$, то есть при $B = 90^\\circ$; здесь $\\sin 120^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$","Так выходит, если поделить $7 \\cdot \\frac12$ на $\\frac{\\sqrt3}{2}$: синусы переставлены, пары сторона–угол перепутаны","Синус тупого угла положительный: $\\sin 120^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$, отрицательным бывает косинус",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона $BC$ лежит против угла $A$, сторона $AC$ — против угла $B$: $\\dfrac{AC}{\\sin B} = \\dfrac{BC}{\\sin A}$.","$\\sin 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, $\\sin 30^\\circ = \\dfrac12$: $AC = \\dfrac{7 \\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}}{\\frac12}$.","$AC = 7\\sqrt3$."],"step":1}],"mix":1}

Почему общее отношение равно диаметру

Вернемся к рамке $1$, $\sqrt3$, $2$: общее отношение оказалось равно диаметру описанной окружности. Проверим, что так будет всегда. Опишем около треугольника $ABC$ окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и посмотрим на рейку $a = BC$ как на хорду. Из вершины $A$ эта хорда видна под углом $A$. Из любой другой точки той же дуги она видна под тем же углом: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (8 класс).

Раз угол можно переносить по дуге, перенесем его в самое удобное место. Проведем диаметр $BD$. Вписанный угол $BCD$ опирается на диаметр, поэтому он прямой, а треугольник $BCD$ — прямоугольный с гипотенузой $BD = 2R$. Угол $D$ опирается на ту же дугу $BC$, что и угол $A$, значит, $\angle D = \angle A$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ катет $BC$ лежит против угла $D$:

$$\sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}, \qquad \text{поэтому } \frac{a}{\sin A} = \frac{a}{\sin D} = 2R$$

Треугольник ABC в описанной окружности с центром O; диаметр BD, треугольник BCD прямоугольный с прямым углом C; углы A и D равны — оба опираются на хорду BC = a, поэтому sin D = a / 2R — Угол $A$ перенесен в точку $D$ диаметра $BD$: треугольник $BCD$ прямоугольный, и рейка $a$ равна $2R \sin A$

А если угол A тупой или прямой

Скрыть

Если угол $A$ тупой, точка $D$ попадает на другую дугу, и $\angle D = 180^\circ-\angle A$ (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника $ABDC$ равна $180^\circ$). Синусы этих углов равны, и равенство $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ сохраняется.

Если угол $A$ прямой, то рейка $BC$ сама является диаметром: $a = 2R$ и $\sin A = 1$. Это как раз случай рамки $1$, $\sqrt3$, $2$.

Теорема

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Отсюда радиус описанной окружности $R = \dfrac{a}{2\sin A}$, а сторона по радиусу $a = 2R\sin A$.

В модели ниже рейка $BC$ закреплена, а шарнир $A$ ходит по окружности. Потяните $A$ по дуге и следите за углом $A$ и отношением $\dfrac{BC}{\sin A}$: оба числа не меняются, пока $A$ остается на своей дуге. Отношение все время равно диаметру $BD$. Затем передвиньте $C$ так, чтобы $BC$ стала диаметром, — угол $A$ станет прямым.

teorema-sinusov-duga-2r

{"questions":[{"content":"Окружность радиуса $R$ описана около треугольника $ABC$. Чему равно отношение $\\dfrac{BC}{\\sin A}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{R}{2}$","$2R$","$R$","$R^2$"],"explanations":["При $A = 90^\\circ$ отношение равно самой стороне $BC$, а это диаметр $2R$ — в четыре раза больше, чем $\\frac{R}{2}$","","Отношение равно диаметру, а не радиусу: при $A = 90^\\circ$ сторона $BC$ — диаметр, $BC = 2R$","Отношение длины к числу — длина, а $R^2$ — площадь по размерности"],"answer":[1]}},"hints":["Отношение стороны к синусу противолежащего угла одно и то же для всех трех сторон.","Если $BC$ — диаметр, то $\\sin A = 1$ и отношение равно $BC = 2R$; для других сторон оно такое же.","Ответ: $2R$."],"step":1},{"content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $3$, угол $A = 90^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$BC = 2R\\sin A$.","$\\sin 90^\\circ = 1$, поэтому $BC = 2 \\cdot 3 \\cdot 1$.","$BC = 6$ — это диаметр."],"step":1}],"mix":1}

Считаем радиус и вторую рейку

Ответим на вопрос из начала урока. Порядок действий всегда один: найти полную пару «рейка — угол напротив», из нее получить $2R$, а дальше любую рейку считать как $2R$, умноженное на синус ее угла.

Пример

В треугольнике $ABC$: $a = BC = 5$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 120^\circ$. Найдите радиус описанной окружности и сторону $b = AC$.

Решение. Полная пара — $a$ и $\angle A$:

$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac12} = 10, \qquad R = 5$$

Сторона $b$ лежит против угла $B$, и $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$:

$$b = 2R \sin B = 10 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$$

Третий угол $C = 180^\circ-30^\circ-120^\circ = 30^\circ$, он равен углу $A$, поэтому $c = a = 5$: треугольник равнобедренный.

Ответ: $R = 5$, $b = 5\sqrt3 \approx 8{,}66$.

Сверка по теореме косинусов

Скрыть

Теперь известны две рейки $a = 5$ и $c = 5$ и угол $B = 120^\circ$ между ними. По теореме косинусов, $\cos 120^\circ = -\dfrac12$:

$$b^2 = 5^2 + 5^2-2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac12\right) = 25 + 25 + 25 = 75, \qquad b = \sqrt{75} = 5\sqrt3$$

Две теоремы дали одну длину — значит, обе пары «рейка — угол» выбраны верно.

Ошибка

Самая частая ошибка: запоминают $\dfrac{a}{\sin A} = R$ и в примере выше отвечают $R = 10$. Проверим на числах. При $R = 10$ диаметр равен $20$, и хорда $BC = 5$ занимает лишь четверть диаметра. Из точки такой окружности хорда видна под углом, синус которого равен $\dfrac{5}{20} = 0{,}25$, то есть примерно под $14^\circ$, а не под $30^\circ$. Рассуждение сломалось в самом доказательстве: отношение $\dfrac{a}{\sin A}$ равно гипотенузе $BD$ прямоугольного треугольника, а $BD$ — диаметр, а не радиус. Запоминайте через картинку: прямой угол опирается на диаметр.

Хорда BC = 5: в верной окружности радиуса 5 она видна из точки A под углом 30°; в ошибочной красной окружности радиуса 10 — из точки A′ под углом около 14°; отношение a / sin A — диаметр, а не радиус — Хорда $BC = 5$ в окружности радиуса $5$ видна под углом $30^\circ$; в «ошибочной» окружности радиуса $10$ — только под $14^\circ$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 4\\sqrt3$, угол $A = 60^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ggfjn8wzj7cp.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Сторона $BC$ лежит против угла $A$: $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$.","$2R = \\dfrac{4\\sqrt3}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{4\\sqrt3}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 8$.","$R = 4$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 10$, угол $A = 30^\\circ$. Решавр ищет радиус описанной окружности: «$R = \\dfrac{BC}{\\sin A} = \\dfrac{10}{\\frac12} = 20$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отношение $\\dfrac{BC}{\\sin A}$ равно $2R$, поэтому $R = 10$","Ошибки нет: $R = 20$","Надо делить на $\\cos A$, а не на $\\sin A$","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$"],"explanations":["","Формула дает $2R = 20$; радиус вдвое меньше","В теореме синусов стоит синус противолежащего угла; косинус здесь не нужен","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 30^\\circ$; синус $30^\\circ$ равен $\\frac12$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте смысл: если $R = 20$, то диаметр $40$, а хорда $BC = 10$ видна под углом $30^\\circ$ — слишком мало для такой большой окружности.","Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру $2R$, а не радиусу.","$2R = 20$, $R = 10$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Тупой шарнир не мешает

Пусть в треугольнике $ABC$ рейка $BC = 3$, а углы $B$ и $C$ равны по $15^\circ$. Против $BC$ лежит угол $A = 180^\circ-15^\circ-15^\circ = 150^\circ$ — тупой. Синус тупого угла находим через смежный острый: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac12$. Тогда $2R = \dfrac{3}{\frac12} = 6$ и $R = 3$.

Сравним с треугольником, у которого та же рейка $BC = 3$, но угол $A = 30^\circ$: $2R = \dfrac{3}{\sin 30^\circ} = 6$, снова $R = 3$. Это не совпадение: окружность одна и та же. Из точек большой дуги хорда $BC$ видна под углом $30^\circ$, из точек малой дуги — под углом $150^\circ$. Так ведет себя и модель из раздела 3: когда шарнир $A$ переходит на другую дугу, угол становится тупым, а отношение $\dfrac{BC}{\sin A}$ не меняется.

Окружность радиуса 3 с хордой BC = 3: из точки A на большой дуге хорда видна под углом 30°, из точки D на малой дуге — под углом 150°; синусы равны, радиус тот же — Хорда $BC = 3$ в окружности радиуса $3$: с большой дуги она видна под $30^\circ$, с малой — под $150^\circ$, а $R$ один

Ошибка

У тупого угла отрицателен косинус, и этот минус по привычке переносят на синус: «$\sin 150^\circ = -\dfrac12$, значит, $R = -3$». Радиус отрицательным не бывает: точка $150^\circ$ на единичной полуокружности лежит выше оси, ее ордината положительна. Вторая версия ошибки — взять синус «похожего» острого угла: $\sin 150^\circ = \sin 60^\circ$. Проверка: смежный с $150^\circ$ угол равен $180^\circ-150^\circ = 30^\circ$, а не $60^\circ$. Правило одно: $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$.

Обратите внимание

Раз у углов $30^\circ$ и $150^\circ$ один синус, по известному синусу угол восстанавливается не всегда однозначно. В задачах этого урока сказано, острый угол или тупой; что делать, когда не сказано, разберем в уроке о решении треугольников по двум сторонам и углу против одной из них.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 8$, угол $A = 150^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cwmoabdpqlrz.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$ — синус тупого угла положителен.","$2R = \\dfrac{8}{\\frac12} = 16$.","$R = 8$."],"step":1},{"content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $6$, сторона $BC = 6$, угол $A$ острый. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$, откуда $\\sin A = \\dfrac{BC}{2R}$.","$\\sin A = \\dfrac{6}{12} = \\dfrac12$.","Угол острый: $A = 30^\\circ$ (второй угол с таким синусом, $150^\\circ$, тупой)."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Расстояние через реку и задачи ОГЭ

Задача

На берегу отмерен отрезок $AB = 60$ м, дерево $C$ стоит на другом берегу; измерены углы $\angle A = 45^\circ$ и $\angle B = 105^\circ$. Найдите расстояние $BC$.

Решение. Рейка $BC$ лежит против угла $A$, а известная рейка $AB$ — против угла $C$. Угол $C$ в условии не дан, найдем его: $C = 180^\circ-45^\circ-105^\circ = 30^\circ$. Теперь есть полная пара $AB$ и $\angle C$:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}, \qquad BC = \frac{60 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{60 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} = 60\sqrt2$$

Ответ: $BC = 60\sqrt2 \approx 85$ м.

Река между берегами: на нижнем берегу измерена база AB = 60 м и углы 45° при A и 105° при B; дерево C на другом берегу, угол C = 30°, искомое расстояние BC = 60√2 ≈ 85 м — Измерены $AB = 60$ м и два угла на своем берегу; третий угол $C = 30^\circ$ достраивается, и $BC = 60\sqrt2 \approx 85$ м

В ОГЭ теорема синусов встречается в двух видах. Задание 15: даны сторона и два угла, найти другую сторону — как в задаче про реку. Задание 17: даны сторона и угол напротив, найти радиус описанной окружности, или наоборот — по радиусу и углу найти сторону. Например, если $R = 6$ и $\angle A = 60^\circ$, то $a = 2R\sin A = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$. В обоих видах решение начинается с одного шага: отметить, какая сторона против какого угла.

Ошибка

В треугольнике $ABC$ известны $AB = 6$ и $\angle A = 60^\circ$. Решавр пишет: «$2R = \dfrac{AB}{\sin A} = \dfrac{6}{\sin 60^\circ} = 4\sqrt3$». Проверим пару: вершина $A$ лежит на стороне $AB$, то есть угол $A$ прилежит к ней, а против $AB$ лежит угол $C$, которого в условии нет. Рассуждение сломалось на первом шаге — в дробь попали сторона и угол из разных пар. Для радиуса нужен либо угол $C$, либо сторона $BC$, которая лежит против данного угла $A$.

Треугольник ABC: сторона AB = 6 и угол C — одна пара, угол A = 60° и сторона BC — другая; запись 2R = AB / sin A перечеркнута — сторона и угол взяты из разных пар, верно AB / sin C или BC / sin A — Сторона $AB$ и угол $A$ — из разных пар: против $AB$ лежит угол $C$, а против угла $A$ — сторона $BC$

Интересный факт: как измерили страну без линейки

Скрыть

Способ с базой и двумя углами называется триангуляцией. Голландский математик Виллеброрд Снеллиус в 1615–1617 годах измерил расстояние между городами Алкмар и Берген-оп-Зом, не проходя его с мерной цепью: он построил цепочку треугольников между колокольнями, измерил в них углы и одну базу, а остальные стороны вычислил по теореме синусов. Так же до появления спутниковой навигации составляли карты целых стран.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 8$, угол $B = 30^\\circ$. Решавр пишет: «$2R = \\dfrac{BC}{\\sin B} = \\dfrac{8}{\\frac12} = 16$, $R = 8$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lddofds0kctw.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $R = 8$","$\\sin 30^\\circ$ равен $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$","Надо было получить $R = 16$","Угол $B$ не лежит против $BC$; нужен угол $A$"],"explanations":["Сторона $BC$ и угол $B$ не образуют пару «сторона — противолежащий угол»","$\\sin 30^\\circ = \\frac12$ верно; ошибка в выборе угла","Деление само по себе выполнено верно, но на синус не того угла — исправлять надо пару, а не ответ",""],"answer":[3]}},"hints":["В теореме синусов сторона делится на синус угла, лежащего против нее.","Против стороны $BC$ лежит угол $A$, а не $B$: угол $B$ прилежит к $BC$.","Данных не хватает: нужен угол $A$ (или другая сторона с ее углом)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите утверждения о треугольнике $ABC$ с описанной окружностью радиуса $R$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$","$\\dfrac{AB}{\\sin C} = \\dfrac{AC}{\\sin B}$"],["$\\dfrac{BC}{\\sin A} = R$","$\\dfrac{AB}{\\sin A} = \\dfrac{BC}{\\sin B}$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Теорема синусов: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C} = 2R$ — сторона и угол в каждой дроби противолежат.","Отношение равно диаметру, а не радиусу; делить надо на синус, а не на косинус.","Верно: $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$; $\\dfrac{AB}{\\sin C} = \\dfrac{AC}{\\sin B}$. Неверно: $\\dfrac{BC}{\\sin A} = R$; $\\dfrac{AB}{\\sin A} = \\dfrac{BC}{\\sin B}$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема синусов — инструмент для полной пары «рейка — шарнир напротив»: отношение стороны к синусу противолежащего угла одно для всех трех сторон и равно диаметру описанной окружности. Как вспомнить главное — через рамку в круге:

Часто задаваемые вопросы

Как запомнить, что отношение равно 2R, а не R?

Через картинку доказательства: отношение равно гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на диаметре. Или через проверку: если угол против стороны прямой, то сторона — диаметр, а синус равен единице, и отношение равно самой стороне, то есть диаметру.

Можно ли применять теорему синусов, если известны две стороны и угол между ними?

Нет: у каждой из трех пар «сторона — угол напротив» будет не хватать одного элемента, и в пропорции окажутся два неизвестных. Для этих данных нужна теорема косинусов. Теорема синусов работает, когда есть хотя бы одна полная пара.

Почему синус тупого угла положительный, если косинус отрицательный?

Синус угла от 0° до 180° — ордината точки единичной полуокружности, а вся полуокружность лежит выше оси. Отрицательной становится только абсцисса, то есть косинус. Поэтому в теореме синусов знак минус не появляется никогда.

Что делать, если против известной стороны угол не дан?

Найти его из суммы углов треугольника: если известны два других угла, третий равен 180° минус их сумма. После этого появляется полная пара, и теорема синусов применима.

Где эта теорема пригодится дальше?

В следующем уроке о площади треугольника через синус высота тоже выражается через синус, а в задачах на решение треугольников теорема синусов отвечает за случаи «сторона и два угла» и «две стороны и угол против одной из них».

Награды за урок