Сторона или угол: задачи ОГЭ на решение треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 9$, $AC = 14$, угол $A = 40^\\circ$. Нужно найти $BC$. Что применить?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Теорему синусов","Теорему косинусов","Теорему Пифагора","Определить нельзя: углов не хватает"],"explanations":["Для теоремы синусов нужна сторона и угол против нее, а угол $A$ стоит между данными сторонами","","Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника, а прямого угла нет","Двух сторон и угла между ними достаточно: треугольник задан однозначно"],"answer":[1]}},"hints":["Угол $A$ стоит между данными сторонами $AB$ и $AC$.","Для стороны против такого угла подходит теорема косинусов.","Ответ: теорема косинусов."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ известно: $BC = 12$, угол $A = 35^\\circ$, угол $B = 70^\\circ$. Нужно найти $AC$. Что применить?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Теорему косинусов","Определить нельзя: нет второй стороны","Теорему Пифагора","Теорему синусов"],"explanations":["Для нее нужны две стороны и угол между ними, а известна одна сторона","Стороны и двух углов достаточно: третий угол находится из суммы углов","Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника, а прямого угла нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Известны сторона $BC$, лежащая против угла $A$, и угол $B$, против которого лежит $AC$.","Это пары «сторона — противолежащий угол»: подходит теорема синусов.","Ответ: теорема синусов."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте данные и искомое с формулой, с которой начинается решение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Сторона $a$ и угол $A$ против нее; нужен радиус описанной окружности","Площадь $S$ и сторона $a$; нужна высота к стороне $a$","Стороны $a$, $b$ параллелограмма и диагональ $d_1$; нужна другая диагональ","Три стороны треугольника; нужна медиана к стороне $c$"],"items":["$R = \\dfrac{a}{2\\sin A}$","$h_a = \\dfrac{2S}{a}$","$d_2^2 = 2(a^2 + b^2)-d_1^2$","$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$","$h_a = \\dfrac{S}{a}$"]}},"instruction":"Сопоставьте задачу и формулу","hints":["Радиус описанной окружности дает теорема синусов: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно $2R$.","Высоту дает удвоенная площадь, другую диагональ — сумма квадратов диагоналей, медиану — достройка до параллелограмма.","Ответ: $R = \\dfrac{a}{2\\sin A}$; $h_a = \\dfrac{2S}{a}$; $d_2^2 = 2(a^2 + b^2)-d_1^2$; $4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте данные и искомое с формулой, с которой начинается решение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Две стороны треугольника и угол между ними; нужна площадь","Стороны параллелограмма и угол между ними; нужна площадь","Стороны параллелограмма и острый угол $\\alpha$; нужна меньшая диагональ","Сторона $a$ и угол $A$ против нее; нужен радиус описанной окружности"],"items":["$S = \\frac12 ab\\sin C$","$S = ab\\sin\\alpha$","$d^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos\\alpha$","$R = \\dfrac{a}{2\\sin A}$","$d^2 = a^2 + b^2 + 2ab\\cos\\alpha$"]}},"instruction":"Сопоставьте задачу и формулу","hints":["Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними — половина произведения сторон на синус угла; у параллелограмма половины нет.","Меньшая диагональ лежит против острого угла — в теореме косинусов знак «минус»; радиус дает теорема синусов.","Ответ: $S = \\frac12 ab\\sin C$; $S = ab\\sin\\alpha$; $d^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos\\alpha$; $R = \\dfrac{a}{2\\sin A}$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 8\\sqrt3$, угол $A = 60^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$2R = \\dfrac{BC}{\\sin A} = \\dfrac{8\\sqrt3}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 16$.","$R = 8$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $MNK$ сторона $NK = 9\\sqrt2$, угол $M = 45^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$2R = \\dfrac{NK}{\\sin M} = \\dfrac{9\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = 18$.","$R = 9$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 5\\sqrt2$, угол $A = 135^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Для тупого угла $\\sin 135^\\circ = \\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$.","$2R = \\dfrac{5\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = 10$, $R = 5$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $MNK$ сторона $NK = 6\\sqrt2$, угол $M = 135^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Для тупого угла $\\sin 135^\\circ = \\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$.","$2R = \\dfrac{6\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = 12$, $R = 6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Две стороны треугольника равны 8 и 15, угол между ними $30^\\circ$. Найдите высоту, проведенную к стороне 15. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$S = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot 15 \\cdot \\dfrac12 = 30$.","$h = \\dfrac{2S}{15} = \\dfrac{60}{15} = 4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Две стороны треугольника равны 9 и 16, угол между ними $30^\\circ$. Найдите высоту, проведенную к стороне 16 (десятичная дробь). [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["$S = \\dfrac12 \\cdot 9 \\cdot 16 \\cdot \\dfrac12 = 36$.","$h = \\dfrac{2S}{16} = \\dfrac{72}{16} = 4{,}5$."],"step":1},{"id":"6","content":"Стороны параллелограмма 4 и 9, его углы $60^\\circ$ и $120^\\circ$. Формула $d^2 = 4^2 + 9^2-2 \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\cos 120^\\circ$ дает [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["большую диагональ","сторону параллелограмма","меньшую диагональ","половину диагонали"],"answer":0}},"hints":["В теореме косинусов сторона лежит против угла, который стоит в формуле: здесь против угла $120^\\circ$.","$\\cos 120^\\circ = -\\frac12$, поэтому $d^2 = 16 + 81 + 36 = 133$ — больше, чем $16 + 81-36 = 61$.","Против тупого угла лежит большая диагональ. Ответ: большую диагональ."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Стороны параллелограмма 5 и 12, его углы $45^\\circ$ и $135^\\circ$. Формула $d^2 = 5^2 + 12^2 + 2 \\cdot 5 \\cdot 12 \\cdot \\cos 135^\\circ$ дает [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["большую диагональ","сторону параллелограмма","меньшую диагональ","половину диагонали"],"answer":2}},"hints":["$\\cos 135^\\circ = -\\cos 45^\\circ$, поэтому $+2 \\cdot 5 \\cdot 12 \\cdot \\cos 135^\\circ = -2 \\cdot 5 \\cdot 12 \\cdot \\cos 45^\\circ$.","Получилась теорема косинусов с углом $45^\\circ$: $d^2 = 169-60\\sqrt2 \\approx 84{,}1$ — меньше, чем $169 + 60\\sqrt2$.","Против острого угла лежит меньшая диагональ. Ответ: меньшую диагональ."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-1]]Стороны параллелограмма 7 и 8, острый угол $60^\\circ$. Решавр ищет <em>меньшую</em> диагональ: «$d^2 = 7^2 + 8^2 + 2 \\cdot 7 \\cdot 8 \\cdot \\cos 60^\\circ = 169$, $d = 13$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lww0mac9tn73.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["<span>Неверен косинус: $\\cos 60^\\circ$<br>равен $\\frac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\frac12$</span>","<span>Неверна сумма: $49 + 64 + 56$<br>равно не 169, а 159</span>","<span>Ошибки нет: 13 — меньшая,<br>она против угла $60^\\circ$</span>","<span>Найдена большая диагональ:<br>меньшая равна $\\sqrt{57}$</span>"],"explanations":["$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\sin 60^\\circ$; $\\cos 60^\\circ = \\frac12$, здесь Решавр прав","$49 + 64 + 56 = 169$: арифметика верна, ошибка в знаке перед $2ab\\cos\\alpha$","Против острого угла диагональ короче: $d = \\sqrt{57} \\approx 7{,}5 < 13$",""],"answer":[3]}},"hints":["Диагональ против острого угла короче, в ее формуле стоит «минус».","$d_{\\text{мал}}^2 = 49 + 64-56 = 57$. Диагональ 13 лежит против тупого угла $120^\\circ$ — она большая.","Ответ: найдена большая диагональ."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-2]]Стороны параллелограмма 14 и 16, острый угол $60^\\circ$. Решавр ищет <em>меньшую</em> диагональ: «$d^2 = 14^2 + 16^2 + 2 \\cdot 14 \\cdot 16 \\cdot \\cos 60^\\circ = 676$, $d = 26$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vebxtnfnpmdq.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["<span>Найдена большая диагональ:<br>меньшая равна $\\sqrt{228}$</span>","<span>Ошибки нет: 26 — меньшая,<br>она против угла $60^\\circ$</span>","<span>Неверен косинус: $\\cos 60^\\circ$<br>равен $\\frac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\frac12$</span>","<span>Неверна сумма: $196 + 256 + 224$<br>равно не 676, а 666</span>"],"explanations":["","Против острого угла диагональ короче: $d = \\sqrt{228} \\approx 15{,}1 < 26$","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\sin 60^\\circ$; $\\cos 60^\\circ = \\frac12$, здесь Решавр прав","$196 + 256 + 224 = 676$: арифметика верна, ошибка в знаке перед $2ab\\cos\\alpha$"],"answer":[0]}},"hints":["Диагональ против острого угла короче, в ее формуле стоит «минус».","$d_{\\text{мал}}^2 = 196 + 256-224 = 228$. Диагональ 26 лежит против тупого угла $120^\\circ$ — она большая.","Ответ: найдена большая диагональ."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-3]]Стороны треугольника равны 7, 11 и 12. Найдите медиану, проведенную к стороне 12. [[input-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uz740qjvrn73.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Для медианы $m$ к стороне $c$: $4m^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$.","$4m^2 = 2 \\cdot 49 + 2 \\cdot 121-144 = 196$, $2m = 14$.","$m = 7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-4]]Стороны треугольника равны 9, 13 и 10. Найдите медиану, проведенную к стороне 10. [[input-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/knfxo4bsdxio.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Для медианы $m$ к стороне $c$: $4m^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$.","$4m^2 = 2 \\cdot 81 + 2 \\cdot 169-100 = 400$, $2m = 20$.","$m = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 9$, $AC = 10$, угол $A = 60^\\circ$. Решавр ищет $BC$: «По теореме синусов $\\dfrac{BC}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{9}{\\sin C}$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["<span>Данных мало: по двум сторонам<br>и углу $BC$ найти нельзя</span>","<span>Неверен угол: в пару к $BC$<br>нужен $\\sin 120^\\circ$, а не $\\sin 60^\\circ$</span>","<span>Ошибки нет: из этой пропорции<br>сразу найдется $BC$</span>","<span>Не тот инструмент:<br>нужна теорема косинусов</span>"],"explanations":["Хватает: две стороны и угол между ними дают единственный треугольник","Против $BC$ лежит угол $A = 60^\\circ$, и $\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ$: дело в выбранной теореме","Во второй дроби неизвестен $\\sin C$, и $BC$ из одного равенства не получить",""],"answer":[3]}},"hints":["В теореме синусов нужна пара «сторона — угол против нее»; для $AB = 9$ противолежащий угол $C$ неизвестен.","Угол $A$ стоит между данными сторонами — это случай теоремы косинусов.","Ответ: инструмент выбран неверно, нужна теорема косинусов."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 6$, $AC = 11$, угол $A = 50^\\circ$. Решавр ищет $BC$: «По теореме синусов $\\dfrac{BC}{\\sin 50^\\circ} = \\dfrac{6}{\\sin C}$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["<span>Не тот инструмент:<br>нужна теорема косинусов</span>","<span>Данных мало: по двум сторонам<br>и углу $BC$ найти нельзя</span>","<span>Ошибки нет: из этой пропорции<br>сразу найдется $BC$</span>","<span>Неверен угол: в пару к $BC$<br>нужен $\\sin 130^\\circ$, а не $\\sin 50^\\circ$</span>"],"explanations":["","Хватает: две стороны и угол между ними дают единственный треугольник","Во второй дроби неизвестен $\\sin C$, и $BC$ из одного равенства не получить","Против $BC$ лежит угол $A = 50^\\circ$, и $\\sin 130^\\circ = \\sin 50^\\circ$: дело в выбранной теореме"],"answer":[0]}},"hints":["В теореме синусов нужна пара «сторона — угол против нее»; для $AB = 6$ противолежащий угол $C$ неизвестен.","Угол $A$ стоит между данными сторонами — это случай теоремы косинусов.","Ответ: инструмент выбран неверно, нужна теорема косинусов."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Две стороны треугольника 8 и 11, угол между ними $150^\\circ$. Решавр считает площадь: «$S = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot 11 \\cdot \\sin 150^\\circ = 44 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2} = 22\\sqrt3$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["<span>Ошибки нет: $\\sin 150^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$,<br>синус посчитан верно</span>","<span>Неверен знак: синус тупого угла<br>отрицателен, $\\sin 150^\\circ = -\\frac12$</span>","<span>Неверна формула: для угла $150^\\circ$<br>в ней нужен $\\cos 150^\\circ$</span>","<span>Неверен синус: $\\sin 150^\\circ = \\frac12$,<br>площадь равна 22</span>"],"explanations":["Это значение $\\sin 60^\\circ$ и $\\sin 120^\\circ$; у $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$","Синус любого угла треугольника положителен: отрицательным бывает лишь косинус тупого угла","Площадь выражается через синус угла между сторонами при любом угле",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin(180^\\circ-150^\\circ) = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$S = 44 \\cdot \\dfrac12 = 22$.","Ответ: неверное значение синуса."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Две стороны треугольника 6 и 9, угол между ними $150^\\circ$. Решавр считает площадь: «$S = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 9 \\cdot \\sin 150^\\circ = 27 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2}$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["<span>Неверен знак: синус тупого угла<br>отрицателен, $\\sin 150^\\circ = -\\frac12$</span>","<span>Неверен синус: $\\sin 150^\\circ = \\frac12$,<br>площадь равна $13{,}5$</span>","<span>Неверна формула: для угла $150^\\circ$<br>в ней нужен $\\cos 150^\\circ$</span>","<span>Ошибки нет: $\\sin 150^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$,<br>синус посчитан верно</span>"],"explanations":["Синус любого угла треугольника положителен: отрицательным бывает лишь косинус тупого угла","","Площадь выражается через синус угла между сторонами при любом угле","Это значение $\\sin 60^\\circ$ и $\\sin 120^\\circ$; у $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin(180^\\circ-150^\\circ) = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$S = 27 \\cdot \\dfrac12 = 13{,}5$.","Ответ: неверное значение синуса."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>