Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Угол $\\alpha$ тупой. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cos\\alpha < 0$, $\\sin\\alpha < 0$","$\\cos\\alpha > 0$, $\\sin\\alpha < 0$","$\\cos\\alpha > 0$, $\\sin\\alpha > 0$","$\\cos\\alpha < 0$, $\\sin\\alpha > 0$"],"explanations":["Синус — ордината, а вся полуокружность лежит выше оси абсцисс","Наоборот: отрицателен косинус; синус на полуокружности отрицательным не бывает","Так у острого угла; у тупого точка $P$ левее оси ординат, и косинус отрицателен",""],"answer":[3]}},"hints":["У тупого угла точка $P$ лежит левее оси ординат и выше оси абсцисс.","Абсцисса (косинус) отрицательна, ордината (синус) положительна.","Ответ: $\\cos\\alpha < 0$, $\\sin\\alpha > 0$."],"step":1},{"id":"1","content":"Угол $\\alpha$ острый. Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\cos\\alpha < 0$, $\\sin\\alpha > 0$","$\\cos\\alpha > 0$, $\\sin\\alpha > 0$","$\\cos\\alpha > 0$, $\\sin\\alpha < 0$","$\\cos\\alpha < 0$, $\\sin\\alpha < 0$"],"explanations":["Так у тупого угла; у острого точка $P$ правее оси ординат, и косинус положителен","","Синус — ордината, а вся полуокружность лежит выше оси абсцисс","Отрицательный косинус бывает у тупого угла, отрицательный синус — не бывает на полуокружности"],"answer":[1]}},"hints":["У острого угла точка $P$ лежит правее оси ординат и выше оси абсцисс.","Абсцисса (косинус) положительна, ордината (синус) тоже положительна.","Ответ: $\\cos\\alpha > 0$, $\\sin\\alpha > 0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Вычислите $\\cos 60^\\circ + \\cos 120^\\circ$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["$\\cos 60^\\circ = \\dfrac12$; угол $120^\\circ$ симметричен $60^\\circ$, его косинус с другим знаком.","$\\dfrac12 + \\left(-\\dfrac12\\right)$.","$0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Вычислите $\\sin 30^\\circ + \\sin 150^\\circ$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["$\\sin 30^\\circ = \\dfrac12$; угол $150^\\circ$ симметричен $30^\\circ$, точки на одной высоте.","$\\dfrac12 + \\dfrac12$.","$1$."],"step":1},{"id":"3","content":"Тангенс угла $\\alpha$ — это отношение [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\cos\\alpha$ к $\\sin\\alpha$","$1$ к $\\cos\\alpha$","$\\sin\\alpha$ к $1$","$\\sin\\alpha$ к $\\cos\\alpha$"],"answer":3}},"hints":["На рейке: высота к тени.","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$ при $\\alpha \\ne 90^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Рейка длины $1$ поднята на шарнире под углом $\\alpha$ ($\\alpha \\ne 90^\\circ$), тень на полу берем со знаком. Тангенс угла $\\alpha$ — это отношение [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["высоты конца рейки к ее тени","высоты конца рейки к ее длине","тени рейки к высоте ее конца","тени рейки к ее длине"],"answer":0}},"hints":["Высота конца рейки — $\\sin\\alpha$, тень со знаком — $\\cos\\alpha$.","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$ — высота к тени."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\cos 120^\\circ$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$-\\dfrac12$","$-\\dfrac{\\sqrt2}{2}$","$\\dfrac12$","$-\\dfrac{\\sqrt3}{2}$"],"explanations":["","$-\\frac{\\sqrt2}{2}$ — это $\\cos 135^\\circ$; угол $120^\\circ$ ближе к $90^\\circ$, и его косинус по модулю меньше","Это $\\cos 60^\\circ$; у тупого угла абсцисса точки отрицательна","$-\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 150^\\circ$; угол $120^\\circ$ симметричен $60^\\circ$, а не $30^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $120^\\circ$ тупой: точка $P$ левее оси ординат, косинус отрицателен.","По симметрии с $60^\\circ$: $\\cos 120^\\circ = -\\cos 60^\\circ$.","$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\cos 150^\\circ$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{\\sqrt3}{2}$","$-\\dfrac12$","$-\\dfrac{\\sqrt2}{2}$","$-\\dfrac{\\sqrt3}{2}$"],"explanations":["Это $\\cos 30^\\circ$; у тупого угла абсцисса точки отрицательна","$-\\frac12$ — это $\\cos 120^\\circ$, а также $\\sin 150^\\circ$ со знаком минус: синус и косинус перепутаны; косинус $150^\\circ$ по модулю равен $\\cos 30^\\circ$","$-\\frac{\\sqrt2}{2}$ — это $\\cos 135^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол $150^\\circ$ тупой: точка $P$ левее оси ординат, косинус отрицателен.","По симметрии с $30^\\circ$: $\\cos 150^\\circ = -\\cos 30^\\circ$.","$\\cos 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите углы по знаку косинуса.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["$\\cos\\alpha > 0$","$\\cos\\alpha = 0$","$\\cos\\alpha < 0$"],"items":[["$20^\\circ$","$75^\\circ$"],["$90^\\circ$"],["$100^\\circ$","$160^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите углы","hints":["Косинус — абсцисса точки полуокружности: справа от оси ординат положительна, слева отрицательна, на оси равна нулю.","Острые углы — справа, тупые — слева, $90^\\circ$ — на оси.","$\\cos > 0$: $20^\\circ$, $75^\\circ$; $\\cos = 0$: $90^\\circ$; $\\cos < 0$: $100^\\circ$, $160^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите углы по знаку косинуса.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["$\\cos\\alpha > 0$","$\\cos\\alpha = 0$","$\\cos\\alpha < 0$"],"items":[["$10^\\circ$","$85^\\circ$"],["$90^\\circ$"],["$95^\\circ$","$170^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите углы","hints":["Косинус — абсцисса точки полуокружности: справа от оси ординат положительна, слева отрицательна, на оси равна нулю.","Острые углы — справа, тупые — слева, $90^\\circ$ — на оси.","$\\cos > 0$: $10^\\circ$, $85^\\circ$; $\\cos = 0$: $90^\\circ$; $\\cos < 0$: $95^\\circ$, $170^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]Решавр нашел $\\operatorname{tg} 120^\\circ$: «$\\cos 120^\\circ = \\cos 60^\\circ = \\dfrac12$, $\\sin 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, значит, $\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2} : \\dfrac12 = \\sqrt3$». Где ошибка и каков верный ответ?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r5audeo1a8pt.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\sqrt3$","Перепутаны синус и косинус: $\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\dfrac12 : \\dfrac{\\sqrt3}{2} = \\dfrac{\\sqrt3}{3}$","Неверен знак косинуса: $\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому $\\operatorname{tg} 120^\\circ = -\\sqrt3$","Неверен знак синуса: $\\sin 120^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$, поэтому $\\operatorname{tg} 120^\\circ = -\\sqrt3$"],"explanations":["Тень рейки под $120^\\circ$ лежит позади шарнира: косинус, а с ним и тангенс тупого угла отрицательны","Тангенс — синус к косинусу, у Решавра порядок верный; ошибка только в знаке косинуса","","Число верное, причина неверная: синус тупого угла положителен — высота рейки направлена вверх; минус дает косинус"],"answer":[2]}},"hints":["Поставьте рейку под $120^\\circ$: ее тень ушла назад, влево от начала координат, а высота направлена вверх.","Отрицателен косинус: $\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$; синус $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$ найден верно.","$\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2} : \\left(-\\dfrac12\\right) = -\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]Решавр нашел $\\operatorname{tg} 150^\\circ$: «$\\cos 150^\\circ = \\cos 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, $\\sin 150^\\circ = \\dfrac12$, значит, $\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac12 : \\dfrac{\\sqrt3}{2} = \\dfrac{\\sqrt3}{3}$». Где ошибка и каков верный ответ?[[choice-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8x1ah3hyhhpj.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Неверен знак синуса: $\\sin 150^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому $\\operatorname{tg} 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{3}$","Перепутаны синус и косинус: $\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2} : \\dfrac12 = \\sqrt3$","Неверен знак косинуса: $\\cos 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$, поэтому $\\operatorname{tg} 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{3}$","Ошибки нет: $\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{3}$"],"explanations":["Число верное, причина неверная: синус тупого угла положителен — высота рейки направлена вверх; минус дает косинус","Тангенс — синус к косинусу, у Решавра порядок верный; ошибка только в знаке косинуса","","Тень рейки под $150^\\circ$ лежит позади шарнира: косинус, а с ним и тангенс тупого угла отрицательны"],"answer":[2]}},"hints":["Поставьте рейку под $150^\\circ$: ее тень ушла назад, влево от начала координат, а высота направлена вверх.","Отрицателен косинус: $\\cos 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$; синус $\\dfrac12$ найден верно.","$\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac12 : \\left(-\\dfrac{\\sqrt3}{2}\\right) = -\\dfrac{\\sqrt3}{3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]Точка $P(0; 1)$ лежит на единичной полуокружности. Какому углу она соответствует? Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r8n6buqrnj2b.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"90"}},"hints":["Абсцисса равна нулю: точка на оси ординат, тени нет.","Ордината $1$ — самая высокая точка полуокружности.","$90^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]Точка $P\\left(-\\dfrac{\\sqrt3}{2}; \\dfrac12\\right)$ лежит на единичной полуокружности. Какому углу она соответствует? Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xkizzuog7nte.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Абсцисса отрицательна — угол тупой; ордината $\\dfrac12$ — как у $30^\\circ$.","$180^\\circ-30^\\circ$.","$150^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр пишет: «$\\operatorname{tg} 90^\\circ = \\dfrac{\\sin 90^\\circ}{\\cos 90^\\circ} = \\dfrac{1}{0} = 0$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Делить на нуль нельзя: $\\operatorname{tg} 90^\\circ$ не существует","$\\dfrac10 = 1$, а не $0$","Ошибки нет: $\\operatorname{tg} 90^\\circ = 0$","$\\sin 90^\\circ = 0$, а $\\cos 90^\\circ = 1$, и ответ $0$ верен"],"explanations":["","Дробь с нулем в знаменателе не равна никакому числу","Нулю равен тангенс при нулевом синусе ($0^\\circ$, $180^\\circ$); при $\\cos = 0$ тангенса нет","Точка для $90^\\circ$ — $(0; 1)$: синус (ордината) равен $1$, косинус (абсцисса) — $0$"],"answer":[0]}},"hints":["Посмотрите на знаменатель дроби.","На нуль делить нельзя: дробь $\\dfrac10$ не имеет значения.","$\\operatorname{tg} 90^\\circ$ не существует, а не равен нулю."],"step":1},{"id":"8","content":"Иксератопс составил таблицу: $\\operatorname{tg} 0^\\circ = 0$, $\\operatorname{tg} 90^\\circ = 1$, $\\operatorname{tg} 180^\\circ = 0$. Какая запись неверна и почему?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\operatorname{tg} 90^\\circ = 1$: при $\\cos 90^\\circ = 0$ тангенса не существует","$\\operatorname{tg} 0^\\circ = 0$: должно быть $1$","$\\operatorname{tg} 180^\\circ = 0$: должно быть $-1$","Все записи верны"],"explanations":["","$\\operatorname{tg} 0^\\circ = \\frac{0}{1} = 0$; единице равен косинус $0^\\circ$","$\\operatorname{tg} 180^\\circ = \\frac{\\sin 180^\\circ}{\\cos 180^\\circ} = \\frac{0}{-1} = 0$; $-1$ — это косинус $180^\\circ$","$\\operatorname{tg} 90^\\circ$ — это $\\frac{1}{0}$, а такой дроби нет"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте каждую запись через $\\dfrac{\\sin}{\\cos}$: $\\dfrac{0}{1}$, $\\dfrac{1}{0}$, $\\dfrac{0}{-1}$.","$\\dfrac{0}{1} = 0$ и $\\dfrac{0}{-1} = 0$ верны; $\\dfrac{1}{0}$ не существует.","Неверна запись $\\operatorname{tg} 90^\\circ = 1$."],"step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $\\sin A = \\dfrac12$, а угол $B = 100^\\circ$. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Синусу $\\dfrac12$ отвечают два угла: $30^\\circ$ и $150^\\circ$.","В треугольнике не может быть двух тупых углов: $100^\\circ + 150^\\circ > 180^\\circ$.","Значит, $A = 30^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $\\sin A = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$, а угол $B = 95^\\circ$. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Синусу $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$ отвечают два угла: $45^\\circ$ и $135^\\circ$.","В треугольнике не может быть двух тупых углов: $95^\\circ + 135^\\circ > 180^\\circ$.","Значит, $A = 45^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое из чисел больше: $\\operatorname{tg} 120^\\circ$ или $\\operatorname{tg} 150^\\circ$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Они равны: оба тангенса тупых углов равны $-1$","$\\operatorname{tg} 120^\\circ$: он равен $-\\dfrac{\\sqrt3}{3}$, а $\\operatorname{tg} 150^\\circ = -\\sqrt3$","$\\operatorname{tg} 150^\\circ$: он равен $-\\dfrac{\\sqrt3}{3}$, а $\\operatorname{tg} 120^\\circ = -\\sqrt3$","$\\operatorname{tg} 120^\\circ$: он равен $\\sqrt3$, а $\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{3}$"],"explanations":["$-1$ — это $\\operatorname{tg} 135^\\circ$; у других тупых углов тангенсы другие","Значения переставлены: у $120^\\circ$ синус $\\frac{\\sqrt3}{2}$ и косинус $-\\frac12$, их отношение $-\\sqrt3$","","Потерян знак: косинусы тупых углов отрицательны, оба тангенса меньше нуля, и сравнение переворачивается"],"answer":[2]}},"hints":["Вычислите оба через $\\dfrac{\\sin}{\\cos}$, значения берите со знаками.","$\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2} : \\left(-\\dfrac12\\right) = -\\sqrt3$; $\\operatorname{tg} 150^\\circ = \\dfrac12 : \\left(-\\dfrac{\\sqrt3}{2}\\right) = -\\dfrac{\\sqrt3}{3}$.","Оба отрицательны; $-\\dfrac{\\sqrt3}{3} > -\\sqrt3$, больше $\\operatorname{tg} 150^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое из чисел больше: $\\operatorname{tg} 135^\\circ$ или $\\operatorname{tg} 120^\\circ$?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$\\operatorname{tg} 120^\\circ$: он равен $\\sqrt3$, а $\\operatorname{tg} 135^\\circ = 1$","$\\operatorname{tg} 135^\\circ$: он равен $-1$, а $\\operatorname{tg} 120^\\circ = -\\sqrt3$","Сравнить нельзя: тангенсы тупых углов не существуют","$\\operatorname{tg} 120^\\circ$: он равен $-\\dfrac{\\sqrt3}{3}$, а это больше $-1$"],"explanations":["Потерян знак: косинусы тупых углов отрицательны, оба тангенса меньше нуля, и сравнение переворачивается","","Не существует только $\\operatorname{tg} 90^\\circ$; у тупых углов косинус отличен от нуля","$-\\frac{\\sqrt3}{3}$ — это $\\operatorname{tg} 150^\\circ$; у $120^\\circ$ отношение $\\frac{\\sqrt3}{2} : \\left(-\\frac12\\right) = -\\sqrt3$"],"answer":[1]}},"hints":["Вычислите оба через $\\dfrac{\\sin}{\\cos}$, значения берите со знаками.","$\\operatorname{tg} 135^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2} : \\left(-\\dfrac{\\sqrt2}{2}\\right) = -1$; $\\operatorname{tg} 120^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2} : \\left(-\\dfrac12\\right) = -\\sqrt3$.","Оба отрицательны; $-1 > -\\sqrt3$, больше $\\operatorname{tg} 135^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>