Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 9$ и $BC = 15$, угол $C = 120^\\circ$. Найдите $AB$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому член $-2ab\\cos C$ превращается в $+ab$.","$AB^2 = 81 + 225 + 9 \\cdot 15 = 441$.","$AB = 21$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $MNK$ стороны $MN = 11$ и $NK = 24$, угол $N = 120^\\circ$. Найдите $MK$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"31"}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому член $-2ab\\cos N$ превращается в $+ab$.","$MK^2 = 121 + 576 + 11 \\cdot 24 = 961$.","$MK = 31$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 7$, $BC = 13$, $AC = 15$. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cyytpwdbqldr.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Угол $A$ лежит против стороны $BC = 13$.","$\\cos A = \\dfrac{49 + 225-169}{2 \\cdot 7 \\cdot 15} = \\dfrac{105}{210} = \\dfrac12$.","$A = 60^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В треугольнике $PQR$ стороны $PQ = 16$, $QR = 21$, $PR = 19$. Найдите угол $Q$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yk1vlp7vg1py.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Угол $Q$ лежит против стороны $PR = 19$.","$\\cos Q = \\dfrac{16^2 + 21^2-19^2}{2 \\cdot 16 \\cdot 21} = \\dfrac{256 + 441-361}{672} = \\dfrac{336}{672} = \\dfrac12$.","$Q = 60^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Стороны треугольника равны 6, 8 и 11. Каким по углам он является?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Такого треугольника нет","Прямоугольный","Тупоугольный","Остроугольный"],"explanations":["Неравенство треугольника выполнено: $6 + 8 = 14 > 11$","Прямой угол был бы при $6^2 + 8^2 = 11^2$, но $100 \\ne 121$","","Остроугольным он был бы при $6^2 + 8^2 > 11^2$, а здесь $100 < 121$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверяем наибольший угол — против стороны 11.","$6^2 + 8^2 = 100 < 121 = 11^2$, значит, $\\cos \\varphi = \\dfrac{36 + 64-121}{96} < 0$.","Угол тупой: треугольник тупоугольный."],"step":1},{"id":"3","content":"Стороны треугольника равны 5, 9 и 10. Каким по углам он является?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Тупоугольный","Остроугольный","Такого треугольника нет","Прямоугольный"],"explanations":["Тупым угол был бы при $5^2 + 9^2 < 10^2$, а здесь $106 > 100$","","Неравенство треугольника выполнено: $5 + 9 = 14 > 10$","Прямой угол был бы при $5^2 + 9^2 = 10^2$, но $106 \\ne 100$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверяем наибольший угол — против стороны 10.","$5^2 + 9^2 = 106 > 100 = 10^2$, значит, $\\cos \\varphi = \\dfrac{25 + 81-100}{90} > 0$.","Наибольший угол острый, поэтому все углы острые."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $PQR$ даны стороны $PQ$ и $QR$. Между ними стоит [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["угол $P$","угол $Q$","угол $R$","любой угол треугольника"],"answer":1}},"hints":["Угол между двумя сторонами находится в их общей вершине.","Стороны $PQ$ и $QR$ имеют общую вершину $Q$. Ответ: угол $Q$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $MNK$ даны стороны $MK$ и $KN$. Между ними стоит [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["угол $N$","угол $M$","угол $K$","любой угол треугольника"],"answer":2}},"hints":["Угол между двумя сторонами находится в их общей вершине.","Стороны $MK$ и $KN$ имеют общую вершину $K$. Ответ: угол $K$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ известны три элемента. Что по ним сразу находится по теореме косинусов?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Третья сторона","Угол","Сразу ничего: угол не между сторонами"],"items":[["$AB$, $BC$, $\\angle B$","$AC$, $BC$, $\\angle C$"],["$AB$, $BC$, $AC$"],["$AB$, $BC$, $\\angle A$","$AC$, $BC$, $\\angle B$"]]}},"instruction":"Распределите наборы","hints":["Сторону формула дает сразу, только если известный угол стоит <em>между</em> двумя известными сторонами — в их общей вершине.","По трем сторонам формула сразу дает косинус любого угла.","$AB$, $BC$ и $\\angle B$; $AC$, $BC$ и $\\angle C$ — сторона. Три стороны — угол. В наборах с $\\angle A$ при $AB$, $BC$ и с $\\angle B$ при $AC$, $BC$ угол не между сторонами."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $MNK$ известны три элемента. Что по ним сразу находится по теореме косинусов?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Третья сторона","Угол","Сразу ничего: угол не между сторонами"],"items":[["$MN$, $NK$, $\\angle N$","$MK$, $NK$, $\\angle K$"],["$MN$, $NK$, $MK$"],["$MN$, $MK$, $\\angle K$","$NK$, $MK$, $\\angle N$"]]}},"instruction":"Распределите наборы","hints":["Сторону формула дает сразу, только если известный угол стоит <em>между</em> двумя известными сторонами — в их общей вершине.","По трем сторонам формула сразу дает косинус любого угла.","$MN$, $NK$ и $\\angle N$; $MK$, $NK$ и $\\angle K$ — сторона. Три стороны — угол. В наборах с $\\angle K$ при $MN$, $MK$ и с $\\angle N$ при $NK$, $MK$ угол не между сторонами."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 5$, $AC = 8$, $\\angle B = 60^\\circ$. Решавр пишет: «$BC^2 = 5^2 + 8^2-2 \\cdot 5 \\cdot 8 \\cdot \\cos 60^\\circ = 49$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/twcdmnor9quv.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: угол $B$ дан, его и берут","Надо было взять $\\cos 120^\\circ$","Не извлечен корень из 49","Угол $B$ не стоит между сторонами $AB$ и $AC$, формула не подходит"],"explanations":["Дан не любой угол, а угол между теми сторонами, что стоят в формуле","Смежный угол здесь ни при чем: ошибка не в величине угла, а в том, в какой он вершине","Корень здесь вторичен: вычисление построено на неверной формуле, а вопрос — какой угол поставлен",""],"answer":[3]}},"hints":["В формуле под косинусом стоит угол между двумя взятыми сторонами.","$AB$ и $AC$ выходят из вершины $A$; угол $B$ лежит против $AC$ и между $AB$ и $BC$.","Ответ: угол $B$ не между $AB$ и $AC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]В треугольнике $PQR$ известно: $PQ = 14$, $QR = 12$, $\\angle R = 40^\\circ$. Решавр хочет найти $PR$ и пишет: «$PR^2 = 14^2 + 12^2-2 \\cdot 14 \\cdot 12 \\cos 40^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mtzy6m0q6iws.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: угол дан в условии, его и берут","Угол $R$ не стоит между $PQ$ и $QR$: между ними угол $Q$","Надо взять угол $P$","Надо найти $PQ$, а не $PR$: стороны $PQ$ и $QR$ уже известны"],"explanations":["Формула требует угол именно между теми сторонами, что стоят в ней","","Угол $P$ лежит между $PQ$ и $PR$, а не между $PQ$ и $QR$; в формулу для $PR$ нужен угол между $PQ$ и $QR$, то есть $Q$","Спрашивается сторона $PR$; ошибка не в цели, а в том, что угол $R$ не лежит между $PQ$ и $QR$"],"answer":[1]}},"hints":["Для стороны $PR$ в формуле нужны две другие стороны, $PQ$ и $QR$, и угол между ними.","Стороны $PQ$ и $QR$ выходят из вершины $Q$, а дан угол $R$.","Ответ: угол $R$ не между $PQ$ и $QR$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $a = 5$, $b = 7$, $C = 120^\\circ$. Решавр записал: «$c^2 = 25 + 49 + 35 = 109$, значит, $c = 109$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Корень надо извлекать из каждого слагаемого: $c = 5 + 7 + \\sqrt{35}$","Слагаемое $35$ надо было вычесть","Не извлечен корень: $c^2 = 109$, а $c = \\sqrt{109}$","Ошибки нет: $c = 109$"],"explanations":["$\\sqrt{x + y} \\ne \\sqrt{x} + \\sqrt{y}$: корень извлекается из всей суммы $109$","Для тупого угла слагаемое $ab = 35$ именно прибавляется: $\\cos 120^\\circ = -\\frac12$","","Сторона 109 больше суммы двух других, $5 + 7 = 12$, — такого треугольника быть не может"],"answer":[2]}},"hints":["Теорема косинусов дает квадрат стороны.","$c^2 = 109$, значит, $c = \\sqrt{109} \\approx 10{,}4$.","Ответ: не извлечен корень."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $a = 4$, $b = 9$, $C = 60^\\circ$. Решавр записал: «$c^2 = 16 + 81-36 = 61$, значит, $c = 61$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо было взять $\\cos 60^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$","Не извлечен корень: $c^2 = 61$, а $c = \\sqrt{61}$","Ошибки нет: $c = 61$","Число 36 надо было прибавить"],"explanations":["Это значение синуса; косинус $60^\\circ$ равен $\\frac12$, и $2 \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\frac12 = 36$","","Сторона 61 больше суммы двух других, $4 + 9 = 13$, — такого треугольника быть не может","Для угла $60^\\circ$ слагаемое $2ab\\cos 60^\\circ = ab = 36$ вычитается: знак стоит верно"],"answer":[1]}},"hints":["Теорема косинусов дает квадрат стороны.","$c^2 = 61$, значит, $c = \\sqrt{61} \\approx 7{,}8$.","Ответ: не извлечен корень."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $a = 5$, $b = 8$, $C = 120^\\circ$. Решавр пишет: «$c^2 = 25 + 64-2 \\cdot 5 \\cdot 8 \\cdot \\cos 120^\\circ = 25 + 64-40 = 49$, $c = 7$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Угол $120^\\circ$ нельзя подставлять в формулу","Взят $\\cos 120^\\circ = \\frac12$ вместо $-\\frac12$: правильно $c^2 = 129$","Ошибки нет: $c = 7$","Не извлечен корень"],"explanations":["Формула работает для любого угла от $0^\\circ$ до $180^\\circ$, в том числе тупого","","Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $7 < 8$ — ответ нарушает это","Корень извлечен: $c = \\sqrt{49} = 7$; ошибка раньше, в числе под корнем"],"answer":[1]}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$: косинус тупого угла отрицателен.","$-2 \\cdot 5 \\cdot 8 \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = +40$, поэтому $c^2 = 25 + 64 + 40 = 129$.","Ответ: при подстановке потерян знак косинуса."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $a = 7$, $b = 10$, $C = 120^\\circ$. Решавр пишет: «$c^2 = 49 + 100-70 = 79$, $c = \\sqrt{79}$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Вместо $\\cos 120^\\circ$ надо брать $\\cos 60^\\circ$","Нужно было извлечь корень из 149, а не из 79","Ошибки нет: $c^2 = 79$","Потерян знак косинуса: правильно $c^2 = 49 + 100 + 70 = 219$"],"explanations":["Тупой угол в формулу подставляется как есть; $\\cos 60^\\circ$ дал бы тот же ответ, что у Решавра","Число 149 — это $49 + 100$ без последнего слагаемого, оно не получается ни при каком знаке косинуса","Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $\\sqrt{79} < 10$ — ответ нарушает это",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$: косинус тупого угла отрицателен.","$-2 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = +70$, поэтому $c^2 = 49 + 100 + 70 = 219$.","Ответ: потерян знак косинуса."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стороны треугольника равны $5$, $7$ и $x$, причем $x$ — наибольшая сторона. При каком наибольшем целом $x$ треугольник остроугольный? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Угол против наибольшей стороны $x$ острый, если $x^2 < 5^2 + 7^2 = 74$.","$8^2 = 64 < 74$, а $9^2 = 81 > 74$.","Проверим неравенство треугольника: $8 < 5 + 7$. Ответ: $x = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стороны треугольника равны $6$, $8$ и $x$, причем $x$ — наибольшая сторона. При каком наибольшем целом $x$ треугольник остроугольный? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Угол против наибольшей стороны $x$ острый, если $x^2 < 6^2 + 8^2 = 100$.","$9^2 = 81 < 100$, а $10^2 = 100$ дает прямой угол.","Проверим неравенство треугольника: $9 < 6 + 8$. Ответ: $x = 9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $a = BC = 5$, $b = AC = 8$, угол $C = 60^\\circ$. Найдите сторону $c$, а затем $\\cos A$. Ответ запишите обыкновенной дробью, например $3/5$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["11/14","11 / 14"]}},"hints":["$c^2 = 5^2 + 8^2-2 \\cdot 5 \\cdot 8 \\cdot \\dfrac12 = 49$, $c = 7$.","Угол $A$ лежит против $a = 5$: $\\cos A = \\dfrac{b^2 + c^2-a^2}{2bc} = \\dfrac{64 + 49-25}{2 \\cdot 8 \\cdot 7}$.","$\\cos A = \\dfrac{88}{112} = \\dfrac{11}{14}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $a = BC = 8$, $b = AC = 5$, угол $C = 60^\\circ$. Найдите сторону $c$, а затем $\\cos A$. Ответ запишите обыкновенной дробью, например $3/5$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["1/7","1 / 7"]}},"hints":["$c^2 = 8^2 + 5^2-2 \\cdot 8 \\cdot 5 \\cdot \\dfrac12 = 49$, $c = 7$.","Угол $A$ лежит против $a = 8$: $\\cos A = \\dfrac{b^2 + c^2-a^2}{2bc} = \\dfrac{25 + 49-64}{2 \\cdot 5 \\cdot 7}$.","$\\cos A = \\dfrac{10}{70} = \\dfrac17$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>