9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Решение треугольников: сторона и два угла, две стороны и угол против одной из них

Содержание

В уроке «Решение треугольников: две стороны и угол между ними, три стороны» вы решали треугольник по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам с помощью теоремы косинусов. Теперь разберем два других набора данных: сторону и два угла, а также две стороны и угол, лежащий против одной из них. Во втором случае треугольников может оказаться два, один или ни одного — научимся определять, сколько их и как найти каждый.

Одни и те же данные могут собрать две разные рамки

Продолжим работать с моделью из прошлого урока. Треугольник — рамка из трех реек, соединенных шарнирами. Три данных элемента — замки: что закреплено, то не меняется, остальное рамка достраивает сама. Две рейки с закрепленным шарниром между ними или три рейки собирают рамку единственным образом.

Вообразавр предлагает опыт. Закрепим шарнир $A$ под углом $30^\circ$: из точки $A$ выходят два луча. На одном луче закрепим рейку $AC = 10$. К точке $C$ на шарнире прикрепим рейку длиной $7$ и будем поворачивать ее, пока свободный конец не ляжет на второй луч. Конец ложится на луч дважды — в точках $B_1$ и $B_2$.

Луч под углом 30° к лучу из A, рейка AC = 10, рейка 7 из C ложится на луч в двух положениях CB_1 и CB_2 — Рейка длиной $7$ качается на шарнире $C$ и ложится на луч дважды: замки одни — $A = 30^\circ$, $AC = 10$, $BC = 7$, — а рамки две

У обоих треугольников $AB_1C$ и $AB_2C$ угол $A = 30^\circ$, сторона $AC = 10$ и сторона $BC = 7$. Какой из них «правильный»? И бывает ли так, что рамка не собирается совсем? Ответим в конце урока, а сначала вспомним инструмент.

Напомним: решить треугольник — найти его неизвестные стороны и углы по трем данным элементам. Обозначения прежние: $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ — каждая сторона лежит против одноименного угла. В этом уроке главный инструмент — теорема синусов из урока «Теорема синусов, теорема косинусов, формулы площади с использованием синуса».

Теорема синусов

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов; отношение равно $2R$:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Здесь $R$ — радиус описанной окружности. В каждой дроби стоят сторона и угол, который лежит против нее.

{"questions":[{"content":"Какое равенство верно для сторон и углов треугольника $ABC$ (теорема синусов)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a \\sin A = b \\sin B$","$\\dfrac{a}{\\sin B} = \\dfrac{b}{\\sin A}$","$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$","$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin C}$"],"explanations":["Синус стоит в знаменателе: отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково у всех сторон","Здесь каждая сторона разделена на синус не своего, а соседнего угла: $a$ лежит против $A$","","Против стороны $b$ лежит угол $B$, а угол $C$ лежит против $c$"],"answer":[2]}},"hints":["В теореме синусов каждая сторона делится на синус угла, <em>лежащего против нее</em>.","Против стороны $a$ лежит угол $A$, против $b$ — угол $B$.","Ответ: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$."],"step":1}],"mix":1}

Сторона и два угла собирают рамку однозначно

Пусть известны сторона $a = 8$ и углы $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$. Сначала найдем третий угол: $C = 180^\circ-45^\circ-60^\circ = 75^\circ$. Теперь известны все три угла, а сторона $a = BC$ соединяет вершины $B$ и $C$. Получилась рейка с двумя шарнирами на концах: из точки $B$ выходит луч под углом $60^\circ$ к рейке, из точки $C$ — под углом $75^\circ$. Два луча пересекаются в одной точке $A$, поэтому рамка одна. Это признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Рейка BC = 8 с углами 60° при B и 75° при C: лучи сходятся в вершине A с углом 45°, стороны b и c искомые; сторона и угол против нее одного цвета — Рейка $BC = 8$ и шарниры $60^\circ$ и $75^\circ$ на ее концах: лучи сходятся в одной точке $A$. Одним цветом — сторона и угол против нее

Длины двух других реек дает теорема синусов. В нашем наборе есть полная пара: сторона $a$ и угол $A$ против нее известны оба. Значит, известно общее отношение $\dfrac{a}{\sin A}$, а каждая неизвестная сторона равна этому отношению, умноженному на синус угла против нее.

Алгоритм: сторона и два угла

Найдите третий угол: сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Найдите отношение для полной пары «сторона — угол против нее», например $\dfrac{a}{\sin A}$.
Умножьте это отношение на синус угла, лежащего против искомой стороны: $$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$$
Проверьте: против большего угла лежит большая сторона.

Пример 1

Решите треугольник $ABC$, если $a = 8$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$.

Решение. Третий угол: $C = 180^\circ-45^\circ-60^\circ = 75^\circ$.

Отношение для пары $a$ и $A$: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{8}{\frac{\sqrt2}{2}} = 8\sqrt2$.

Сторона $b$ лежит против угла $B$: $b = 8\sqrt2 \cdot \sin 60^\circ = 8\sqrt2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt6 \approx 9{,}8$.

Сторона $c$ лежит против угла $C$: $c = 8\sqrt2 \cdot \sin 75^\circ \approx 8\sqrt2 \cdot 0{,}966 \approx 10{,}9$ (синус $75^\circ$ — по калькулятору).

Проверка: $45^\circ < 60^\circ < 75^\circ$ и $8 < 9{,}8 < 10{,}9$ — против большего угла большая сторона.

Ответ: $C = 75^\circ$, $b = 4\sqrt6$, $c \approx 10{,}9$.

Ошибка

Сторону ставят в пару не с тем углом. Пишут $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin C}$: угол $C$ стоит в записи «следующим» и касается стороны $b$.

Проверка на числах. В примере 1 так получится $b = 8\sqrt2 \cdot \sin 75^\circ \approx 10{,}9$ — ровно столько же, сколько $c$. Если $b = c$, то треугольник равнобедренный и $B = C$. Но тогда $\sin 60^\circ = \sin 75^\circ$, а это неверно: $\sin 60^\circ \ne \sin 75^\circ$. Значит, пара выбрана неверно; по правильной формуле $b \approx 9{,}8$, а $c \approx 10{,}9$.

Где сломалось. Точка $C$ — конец стороны $b = CA$, угол $C$ к ней прилежит. Против стороны лежит та вершина, которой у этой стороны нет: против $CA$ — вершина $B$.

Один треугольник дважды: слева сторона b ставится в пару с углом B (верно), справа с углом C на ее конце (неверно) — Против стороны $b = CA$ лежит вершина $B$ — та, которой у этой стороны нет; угол $C$ находится на ее конце

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ известны сторона $a$ и углы $A$ и $B$. Расставьте шаги нахождения стороны $c$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["<span>Третий угол:<br>$C = 180^\\circ-A-B$</span>","<span>Отсюда синус третьего угла:<br>значение $\\sin C$</span>","<span>Поэтому сторона через пару $a$, $A$:<br>$c = \\dfrac{a \\sin C}{\\sin A}$</span>","<span>После вычисления проверка: против<br>большего угла большая сторона</span>"]}},"hints":["Каждый шаг использует результат предыдущего: без угла $C$ нет $\\sin C$, без $\\sin C$ нельзя найти $c$, а проверка возможна только для готовой стороны.","Для теоремы синусов нужна полная пара «сторона — угол против нее»: это $a$ и $A$.","Порядок: угол $C$ → $\\sin C$ → сторона $c = \\dfrac{a \\sin C}{\\sin A}$ → проверка «против большего угла большая сторона»."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $a = 3\\sqrt2$, угол $A = 45^\\circ$, угол $B = 30^\\circ$. Найдите сторону $b$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fee8e2zhq5aj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Сторона $a$ лежит против угла $A$, сторона $b$ — против угла $B$: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$.","$b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A} = \\dfrac{3\\sqrt2 \\cdot \\frac12}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = 3$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $a = 8$, $A = 30^\\circ$, $B = 45^\\circ$. Решавр записал: «$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin C}$, отсюда $b = \\dfrac{8 \\sin C}{\\sin 30^\\circ}$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сторону можно ставить в пару с любым углом","Делить надо на $\\sin 45^\\circ$, а умножать на $\\sin 30^\\circ$","Угол $C$ еще не найден: сначала $C = 105^\\circ$, потом формула","Сторона $b$ лежит против $B$, а не $C$: пара $b$ и $\\sin B$"],"explanations":["Равны только отношения стороны к синусу противолежащего угла","Деление на $\\sin A$ в записи Решавра стоит верно: проблема в паре $b$ и $\\sin C$","Дело не в этом: угол $C$ легко найти, но он относится к стороне $c$, а не $b$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона $b$ лежит против угла $B$, а не $C$.","Нужно так: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$, $b = \\dfrac{8 \\sin 45^\\circ}{\\sin 30^\\circ} = 8\\sqrt2$.","Ответ: сторона $b$ поставлена в пару с углом $C$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Синус не различает острый и тупой угол

В прошлом уроке угол находили по косинусу, и ответ был единственным: у острого угла косинус положителен, у тупого — отрицателен. С синусом иначе. Вспомним единичную полуокружность из урока «Единичная полуокружность. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»: синус угла — это высота (ордината) точки полуокружности. Точки для углов $30^\circ$ и $150^\circ$ симметричны относительно оси ординат и стоят на одной высоте $\dfrac12$.

Единичная полуокружность: точки при 30° и 150° лежат на одной высоте 1/2, поэтому синусы равны — Углы $30^\circ$ и $150^\circ$ дают точки на одной высоте: $\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \dfrac12$

Важно

$$\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$$

Если синус угла треугольника равен $s$ и $0 < s < 1$, то угол может быть острым $\alpha$ или тупым $180^\circ-\alpha$. Калькулятор и таблица выдают только острый. Только при $s = 1$ угол один — прямой.

В случае «сторона и два угла» это не мешало: углы мы знали заранее и брали их синусы. Трудность появляется, когда угол ищут по синусу, — в случае двух сторон и угла против одной из них.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$. Тогда угол $B$ равен $60^\\circ$ или [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$150^\\circ$","$30^\\circ$","$90^\\circ$","$120^\\circ$"],"answer":3}},"hints":["Синус — высота точки на единичной полуокружности. На той же высоте есть вторая точка, симметричная первой относительно оси ординат.","Вторая точка соответствует углу $180^\\circ-60^\\circ$. Угол $30^\\circ$ дает косинус $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не синус; у угла $90^\\circ$ синус равен $1$; угол $150^\\circ$ имеет синус $\\dfrac12$.","Ответ: $120^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Две стороны и угол против одной: сколько раз рейка ляжет на луч

Пусть известны угол $A$, прилежащая к нему сторона $b = AC$ и сторона $a = BC$, лежащая против него. В рамке это выглядит так: шарнир $A$ и рейка $AC$ закреплены, а рейка $a$ висит на шарнире $C$ и качается. Сколько раз ее свободный конец ляжет на луч $AB$, столько и треугольников.

Главная мерка — высота $CH$, кратчайшее расстояние от точки $C$ до прямой $AB$. Из прямоугольного треугольника $ACH$: $h = CH = b \sin A$. При $A = 30^\circ$ и $b = 10$ получаем $h = 10 \cdot \dfrac12 = 5$. Рейка короче $5$ до луча не достает, рейка длиной $5$ касается его в точке $H$, а рейка длиннее ложится на прямую $AB$ в двух точках, симметричных относительно $H$.

Четыре случая рейки a при угле 30°, b = 10 и высоте 5: a = 4 не достает, a = 5 касается, a = 7 дает два положения, a = 12 одно — $A = 30^\circ$, $b = 10$, $h = 5$: рейка $a = 4$ не достает до луча, $a = 5$ касается, $a = 7$ ложится дважды, $a = 12$ — один раз: вторая точка уходит за шарнир $A$

Почему при $a \ge b$ решение одно? Рейка по-прежнему пересекает прямую $AB$ в двух точках, но вторая оказывается по другую сторону от $A$ — на продолжении луча, а не на самом луче. При $a = b$ она совпадает с $A$, и треугольник вырождается в отрезок.

Число решений

Даны угол $A$, сторона $b$ и сторона $a$ против угла $A$. Высота $$h = b \sin A$$

Угол $A$ острый: $a < h$ — решений нет; $a = h$ — одно (прямоугольный треугольник); $h < a < b$ — два; $a \ge b$ — одно.

Угол $A$ тупой или прямой: $a > b$ — одно; $a \le b$ — решений нет.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12$, угол $A = 30^\\circ$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Расстояние до прямой — высота $CH$ в прямоугольном треугольнике $ACH$.","$CH = AC \\cdot \\sin A = 12 \\cdot \\sin 30^\\circ = 12 \\cdot \\dfrac12 = 6$."],"step":1}],"mix":1}

Тупой угол: рейка должна быть длиннее $b$

Если угол $A$ тупой, луч $AB$ уходит от точки $C$, а ближайшая к $C$ точка прямой лежит за шарниром, на продолжении луча. На сам луч рейка ляжет, только если она длиннее $b$, и тогда один раз. Это согласуется с известным свойством: против тупого угла лежит наибольшая сторона.

Ошибка

Берут оба угла и не проверяют сумму. Пусть $A = 120^\circ$, $b = 10$, $a = 9$. По теореме синусов $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{9} \approx 0{,}962$. Синус меньше $1$, и кажется, что все в порядке: $B \approx 74{,}2^\circ$ или $B \approx 105{,}8^\circ$ — «два треугольника».

Проверка на числах. $120^\circ + 74{,}2^\circ = 194{,}2^\circ > 180^\circ$ и $120^\circ + 105{,}8^\circ > 180^\circ$. Ни один угол не помещается в треугольник.

Где сломалось. Синус меньше $1$ означает только то, что рейка достает до прямой $AB$. Обе точки лежат за шарниром $A$, на продолжении луча. Треугольника нет. Каждый найденный угол проверяйте: $A + B < 180^\circ$.

При тупом угле A = 120° рейка 9 достает до прямой лишь за шарниром A (треугольника нет), а рейка 12 дает одно положение на луче — При $A = 120^\circ$ рейка $a = 9$ достает до прямой $AB$, но обе точки — за шарниром $A$: треугольника нет. Рейка $a = 12$ ложится на сам луч один раз

Проверьте правило сами. В модели два ползунка: длина рейки $a$ (от $2$ до $12$ с шагом $0{,}5$) и угол $A$ — на выбор $30^\circ$ или $120^\circ$, при $b = 10$. Под чертежом табло показывает $\sin B$, высоту $h$, оба кандидата на угол $B$ и итог «Решений: n». Задания для себя; ответ сверяйте по табло.

Задание 1. При $A = 30^\circ$ найдите ровно одно решение двумя разными способами. Сверка: в итоге должно стоять «Решений: 1».

Задание 2. При $A = 120^\circ$ найдите такую $a$, при которой $\sin B < 1$, а решений нет. Сверка: оба кандидата на угол $B$ есть, а итог — «Решений: 0».

ssa-dva-polozheniya

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Даны $A = 150^\\circ$, $a = 4$, $b = 6$. Решавр получил $\\sin B = \\dfrac34$ и объявил два возможных угла: $B \\approx 48{,}6^\\circ$ и $B \\approx 131{,}4^\\circ$. Почему ни один из них не годится?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vldf73fiw0wf.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Оба годятся: каждый из них меньше $180^\\circ$, решений два","Формула неверна: надо $\\sin B = \\dfrac{a}{b \\sin A}$, и тогда решений нет","Годится острый угол $48{,}6^\\circ$, а тупой $131{,}4^\\circ$ не годится","Сумма $150^\\circ + B$ больше $180^\\circ$ в обоих случаях: решений нет"],"explanations":["Меньше $180^\\circ$ должна быть сумма $A + B$, а она больше в обоих случаях","Формула $\\sin B = \\dfrac{b\\sin A}{a}$ применена верно, перевернутое отношение дало бы значение больше 1","Первый угол тоже не подходит: $150^\\circ + 48{,}6^\\circ > 180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Любой найденный угол надо проверить суммой: $A + B < 180^\\circ$.","$150^\\circ + 48{,}6^\\circ = 198{,}6^\\circ > 180^\\circ$, $150^\\circ + 131{,}4^\\circ > 180^\\circ$.","Ответ: ни один угол не подходит, треугольника нет (против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $a < b$)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите наборы данных по числу треугольников. Во всех наборах сторона $a$ лежит против угла $A$, сторона $b$ — прилежащая к нему.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Ни одного","Один","Два"],"items":[["$A = 30^\\circ$, $b = 16$, $a = 6$","$A = 135^\\circ$, $b = 6$, $a = 4$"],["$A = 30^\\circ$, $b = 16$, $a = 8$","$A = 30^\\circ$, $b = 16$, $a = 20$","$A = 120^\\circ$, $b = 4$, $a = 6$"],["$A = 30^\\circ$, $b = 16$, $a = 12$"]]}},"hints":["Для острого угла найдите высоту $h = b \\sin A$ и сравните $a$ с $h$ и с $b$. Для тупого угла сравните $a$ и $b$.","При $A = 30^\\circ$, $b = 16$ высота $h = 8$: $a = 6 < 8$ — нет; $a = 8$ — одно; $8 < 12 < 16$ — два; $20 \\ge 16$ — одно. При тупом $A$: $a = 4 < b = 6$ — нет; $a = 6 > b = 4$ — одно.","Ответ: ни одного — $a = 6$ при $A = 30^\\circ$ и набор с $135^\\circ$; один — $a = 8$, $a = 20$ и набор с $120^\\circ$; два — $a = 12$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Два решения — и оба верные

Вернемся к рамке из начала урока и решим ее полностью. Сначала считаем по теореме синусов, затем проверяем каждый найденный угол суммой.

Пример 2

Решите треугольник $ABC$, если $A = 30^\circ$, $b = 10$, $a = 7$.

Решение. Число решений: $h = b \sin A = 5$, и $5 < 7 < 10$ — решений два.

По теореме синусов $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} = \dfrac{10 \cdot \frac12}{7} = \dfrac57 \approx 0{,}714$. Острый угол с таким синусом $B_1 \approx 45{,}6^\circ$ (по калькулятору), тупой $B_2 \approx 180^\circ-45{,}6^\circ = 134{,}4^\circ$.

Проверка суммы: $30^\circ + 45{,}6^\circ = 75{,}6^\circ < 180^\circ$ и $30^\circ + 134{,}4^\circ = 164{,}4^\circ < 180^\circ$ — подходят оба.

Первый треугольник: $C_1 \approx 180^\circ-30^\circ-45{,}6^\circ = 104{,}4^\circ$, $c_1 = \dfrac{a \sin C_1}{\sin A} = 14 \sin 104{,}4^\circ \approx 13{,}6$.

Второй треугольник: $C_2 \approx 180^\circ-30^\circ-134{,}4^\circ = 15{,}6^\circ$, $c_2 = 14 \sin 15{,}6^\circ \approx 3{,}8$.

Ответ: два треугольника: $B \approx 45{,}6^\circ$, $C \approx 104{,}4^\circ$, $c \approx 13{,}6$ или $B \approx 134{,}4^\circ$, $C \approx 15{,}6^\circ$, $c \approx 3{,}8$.

Рамка объясняет, почему два угла $B$ в сумме дают $180^\circ$. Обе рейки $CB_1$ и $CB_2$ имеют длину $7$, поэтому треугольник $CB_1B_2$ равнобедренный и углы при его основании $B_1B_2$ равны, по $45{,}6^\circ$. В треугольнике $AB_1C$ угол при вершине $B_1$ и есть этот угол. А в треугольнике $AB_2C$ угол при вершине $B_2$ смежный с углом при основании, поэтому равен $180^\circ-45{,}6^\circ = 134{,}4^\circ$.

Два решения: при B_1 угол 45,6°, при B_2 смежный угол 134,4°, стороны c ≈ 13,6 и c ≈ 3,8; штриховкой выделен тупой вариант — $CB_1 = CB_2 = 7$, поэтому угол при $B_2$ дополняет угол при $B_1$ до $180^\circ$. Красным — второй треугольник, который теряют, если берут только острый угол

Ошибка

Берут только острый угол. Калькулятор по синусу $\dfrac57$ выдает $45{,}6^\circ$, и задачу считают решенной: «один треугольник, $c \approx 13{,}6$».

Проверка на числах. Подставим тупой угол $B = 134{,}4^\circ$: тогда $C \approx 15{,}6^\circ$, $c \approx 3{,}8$. Отношения: $\dfrac{7}{\sin 30^\circ} = 14$, $\dfrac{10}{\sin 134{,}4^\circ} \approx \dfrac{10}{0{,}714} \approx 14$, $\dfrac{3{,}8}{\sin 15{,}6^\circ} \approx \dfrac{3{,}8}{0{,}269} \approx 14$. Теорема синусов выполняется, сумма углов равна $180^\circ$ — второй треугольник существует.

Где сломалось. Синус не различает углы $B$ и $180^\circ-B$, а калькулятор показывает только острый. Второй угол нужно найти самому и проверить суммой.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Решавр решает треугольник по $A = 30^\\circ$, $a = 12$, $b = 12\\sqrt3$. Он находит $\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, пишет $B = 60^\\circ$ и заключает: «треугольник один». Что он упустил?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fikwxluju7pe.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Угол надо искать по косинусу: $\\cos B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, значит, $B = 30^\\circ$","Угол $B$ должен быть равен $A = 30^\\circ$, поэтому решение вообще одно","Ошибки нет: сумма $30^\\circ + 120^\\circ$ превысит $180^\\circ$, второго угла нет","Пропущен тупой угол $120^\\circ$: он тоже подходит, решений два"],"explanations":["Теорема синусов дает именно синус: $\\sin B$ найден верно","Равенство углов следует из равенства сторон, а здесь $a \\ne b$","Сумма равна $150^\\circ < 180^\\circ$: тупой угол подходит",""],"answer":[3]}},"hints":["У синуса $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$ два угла: $60^\\circ$ и $120^\\circ$.","$h = b\\sin A = 6\\sqrt3 \\approx 10{,}4 < a = 12 < b$, значит, треугольников два.","Проверка: $30^\\circ + 120^\\circ = 150^\\circ < 180^\\circ$ — второй угол подходит."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $a = 10$ (против $A$), сторона $b = 10\\sqrt2$. Найдите острый угол $B$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9eibtqor7vcf.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a} = \\dfrac{10\\sqrt2 \\cdot \\frac12}{10} = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$.","Острый угол с таким синусом — $45^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Ответ единственный, только если условие выбирает рамку

Теперь можно ответить на вопрос из начала урока. При $A = 30^\circ$, $b = 10$, $a = 7$ «правильны» оба треугольника: эти три замка рамку не фиксируют. Ответ будет единственным, если условие дает еще одно ограничение.

Сказано, что угол $B$ острый или тупой, — берем одно из двух значений. Известно, что $a \ge b$, — против большей стороны лежит больший угол, поэтому $B \le A$ и угол $B$ острый. Угол $A$ тупой — угол $B$ может быть только острым, а проверка суммы покажет, есть ли решение вообще. Если ограничения нет, в ответе нужно указать оба треугольника.

Замки	Рамка	Инструмент	Решений
Две стороны и угол между ними	Две рейки и шарнир между ними	Теорема косинусов	Одно
Три стороны	Три рейки	Теорема косинусов	Одно или ни одного
Сторона и два угла	Рейка и два шарнира на ее концах	Сумма углов, теорема синусов	Одно
Две стороны и угол против одной	Рейка качается на шарнире	$h = b \sin A$, теорема синусов, проверка суммы	Ни одного, одно или два

В задачах экзамена на теорему синусов углы обычно табличные, а ответ — целое число или число с корнем. Если угол ищут по синусу, всегда выписывайте оба значения и проверяйте каждое суммой углов.

{"questions":[{"content":"Известны угол $A = 40^\\circ$ и стороны $a$ и $b$, причем сторона $a$ лежит против угла $A$. При каком дополнительном условии треугольник точно единственный?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a \\ge b$","Угол $B$ больше угла $A$","$a < b$","$a > b \\sin A$"],"explanations":["","Это следует из $b > a$ и выполняется у обоих решений, и с острым, и с тупым углом $B$","При $b \\sin A < a < b$ как раз получаются два решения: рейка ложится на луч дважды","Это условие гарантирует только, что рейка достает до прямой; при $a < b$ решений два"],"answer":[0]}},"hints":["Решение одно, если угол $B$ заведомо острый: тогда из двух углов с одним синусом подходит один.","Против большей стороны лежит больший угол: при $a \\ge b$ угол $B \\le A = 40^\\circ$, он острый.","Ответ: $a \\ge b$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $a = 5$ (против $A$), сторона $b = 5\\sqrt3$, и угол $B$ тупой. Найдите угол $C$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xhz97bkj1b2p.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a} = \\dfrac{5\\sqrt3 \\cdot \\frac12}{5} = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, угол $B$ тупой, поэтому $B = 180^\\circ-60^\\circ = 120^\\circ$.","$C = 180^\\circ-30^\\circ-120^\\circ = 30^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Теперь вы умеете решать треугольник по любым трем элементам, среди которых есть сторона. Сторона и два угла собирают рамку однозначно: сначала третий угол, затем теорема синусов с парами «сторона — угол против нее». Две стороны и угол против одной из них — рейка, которая качается на шарнире: сравните ее с высотой $h = b \sin A$ и со стороной $b$, и вы узнаете, сколько треугольников существует. Угол, найденный по синусу, всегда имеет двойника $180^\circ-B$; оставляйте те значения, которые проходят проверку $A + B < 180^\circ$. Эти приемы понадобятся в следующем уроке, где по данным задачи нужно самому выбрать инструмент, и в задачах ОГЭ на треугольники.

Часто задаваемые вопросы

Почему при двух сторонах и угле между ними треугольник один, а при угле против одной стороны — нет?

Когда угол стоит между сторонами, шарнир закрепляет обе рейки, и их концы стоят на месте — третья рейка определена. Когда угол лежит против стороны $a$, эта рейка закреплена только одним концом в точке $C$ и может качаться. Ее свободный конец может лечь на луч в двух местах.

Можно ли обойтись без синуса и сразу получить оба решения?

Можно через теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2-2bc \cos A$ — квадратное уравнение относительно $c$. Для примера 2 это $c^2-10\sqrt3\, c + 51 = 0$, его корни $c \approx 13{,}6$ и $c \approx 3{,}8$ — те же два треугольника. Два положительных корня — два решения, один — одно, ни одного — решений нет.

Что делать, если по теореме синусов получилось $\sin B > 1$?

Синус угла не бывает больше $1$, поэтому такого треугольника нет. В модели это значит, что рейка $a$ короче высоты $h = b \sin A$ и не достает до луча.

Как быстро вспомнить, сколько решений?

Представьте рейку на шарнире $C$. Короче высоты $h$ — не достает, равна $h$ — касается, между $h$ и $b$ — ложится дважды, не короче $b$ — второй конец уходит за шарнир $A$, остается одно положение. При тупом угле $A$ рейка должна быть длиннее $b$.

Награды за урок