9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Сторона или угол: задачи ОГЭ на решение треугольников

Содержание

Вы знаете теоремы синусов и косинусов и формулу площади треугольника через синус из урока «Теорема синусов, теорема косинусов, формулы площади с использованием синуса». Здесь — практикум: научимся по данным задачи сразу видеть, какой инструмент короче, и решим задачи ОГЭ на радиус описанной окружности, площадь и высоту, диагонали параллелограмма и медиану.

Одну сторону можно найти тремя путями

Представим треугольник как рамку из трех реек, соединенных шарнирами. Три данных элемента — замки: что закреплено, то не меняется, остальное рамка достраивает сама. Закрепим шарнир $A$ под углом $60^\circ$ и рейки $AB = 24$ и $AC = 35$. Рамка стала жесткой: третья рейка $BC$ может иметь только одну длину. Найдем ее тремя путями.

Треугольник ABC: AB = 24, AC = 35, угол A = 60°, высота BH = 12√3 делит основание на AH = 12 и HC = 23, BC искомая — Рамка $AB = 24$, $AC = 35$, $\angle A = 60^\circ$ жесткая: длина $BC$ одна. Пунктир — высота $BH$ для второго пути

Путь	Что делаем	Шагов	Результат
Построение	Чертим и измеряем линейкой	1	около $31$
Через высоту	Высота и теорема Пифагора	4	$31$
Теорема косинусов	Подставляем в теорему	1	$31$

Пример 1

В треугольнике $ABC$: $AB = 24$, $AC = 35$, $\angle A = 60^\circ$. Найдите $BC$.

Решение. Угол $A$ стоит между данными сторонами, поэтому сторону против него дает теорема косинусов:

$$BC^2 = 576 + 1225-840$$

$$BC^2 = 961, \quad BC = 31$$

Проверка путем через высоту:

$$BC^2 = (12\sqrt3)^2 + 23^2$$

$$BC^2 = 432 + 529 = 961$$

Ответ: $31$.

Все три пути верны, но первый дает только приближение, а второй вчетверо длиннее третьего. Короткий путь — тот, где замки рамки совпадают с данными теоремы. Остается вопрос: что делать, если нужна не сторона, а, например, медиана, и ни одного угла не дано? Ответим в конце урока: найдем медиану треугольника со сторонами $10$, $18$ и $20$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике известны две стороны и угол между ними. Нужно найти третью сторону. Что применить?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Формулу площади","Теорему косинусов","Теорему Пифагора","Теорему синусов"],"explanations":["Площадь по двум сторонам и углу вычислить можно, но третью сторону она не даст","","Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника, а прямого угла в условии нет","Теореме синусов нужна пара «сторона и угол против нее», а здесь известный угол стоит между сторонами"],"answer":[1]}},"hints":["Для третьей стороны по двум другим и углу между ними подходит теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$.","Теорема синусов потребовала бы сторону и противолежащий ей угол — такой пары нет.","Ответ: теорема косинусов."],"step":1}],"mix":1}

Инструмент выбирают по замкам рамки

Напомним обозначения: $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ — каждая сторона лежит против одноименного угла. В теореме синусов каждая дробь — это пара «сторона и угол против нее». Назовем пару полной, если известны и сторона, и угол. Теорема синусов работает только тогда, когда полная пара есть.

Четыре случая: две стороны и угол или три стороны — теорема косинусов, сторона и два угла — теорема синусов, прямоугольный — sin, cos, tg и Пифагор — Замки на рамке подсказывают инструмент: есть полная пара «сторона — угол против нее» — теорема синусов, нет — теорема косинусов

Правило выбора

Отметьте на чертеже данные — замки рамки.
Есть прямой угол — хватит синуса, косинуса, тангенса острого угла и теоремы Пифагора.
Известны два угла — найдите третий из суммы $180^\circ$; появится полная пара, работает теорема синусов.
Полной пары нет: две стороны и угол между ними или три стороны — теорема косинусов.

Что дано	Инструмент	Что найти первым
Две стороны и угол между ними	Теорема косинусов	Сторону против данного угла
Три стороны	Теорема косинусов	Угол против большей стороны: знак его косинуса покажет вид треугольника
Сторона и два угла	Теорема синусов	Третий угол из суммы углов
Две стороны и угол против одной из них	Теорема синусов	Угол против второй стороны; треугольников может быть два (см. ниже)
Прямоугольный треугольник	$\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ острого угла, теорема Пифагора	То, что просят

Случай «две стороны и угол против одной из них» коварен: рейка может лечь двумя способами, и задача получает два ответа. Как это распознать, разбирается в уроке «Решение треугольников: сторона и два угла, две стороны и угол против одной из них». В задачах этого урока такие данные не встретятся.

Пример 2

В треугольнике $ABC$: $AB = 10$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Найдите $AC$.

Решение. Известны два угла, найдем третий:

$$\angle C = 180^\circ-105^\circ-30^\circ = 45^\circ$$

Сторона $AB$ лежит против угла $C$ — пара полная. Сторона $AC$ лежит против угла $B$. По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}$$

$$AC = \frac{10 \cdot \frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} = \frac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2$$

Ответ: $5\sqrt2$.

Ошибка

Берут теорему синусов, когда известны две стороны и угол между ними. Для рамки из примера 1 пишут:

$$\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{24}{\sin C}$$

Проверка на числах. Подставим верный ответ $BC = 31$: получится $\sin C = \dfrac{24 \sin 60^\circ}{31} \approx 0{,}67$. Равенство верное, но из него нельзя было найти $BC$: в нем два неизвестных, $BC$ и $\sin C$.

Где сломалось. Угол $A$ стоит между данными сторонами. Против $BC$ лежит известный угол, но сама $BC$ неизвестна; против $AB$ и $AC$ лежат неизвестные углы. Полной пары нет — нужна теорема косинусов.

Треугольник ABC со сторонами AB = 24, AC = 35 и углом A = 60°: у каждой пары сторона-угол не хватает данных, в уравнении два неизвестных — При двух сторонах и угле между ними каждой паре чего-то не хватает: у $BC$ — длины, у $AB$ и $AC$ — угла напротив

{"questions":[{"content":"Сопоставьте данные треугольника и инструмент, которым удобнее всего найти нужный элемент.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Две стороны и угол между ними; нужна третья сторона","Три стороны; нужен угол","Сторона и два угла; нужна другая сторона","Катет и острый угол прямоугольного треугольника; нужен другой катет"],"items":["Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$","Косинус угла: $\\cos C = \\dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$","Третий угол, затем теорема синусов","Тангенс: противолежащий катет / прилежащий","Формула площади $S = \\frac12 ab\\sin C$"]}},"instruction":"Сопоставьте данные и инструмент","hints":["Ищите, есть ли полная пара «сторона — угол против нее»: тогда работает теорема синусов.","Две стороны и угол между ними или три стороны — случаи теоремы косинусов; прямой угол — случай определений синуса, косинуса и тангенса.","Ответ: две стороны и угол между ними — $c^2$ по теореме косинусов; три стороны — косинус угла; сторона и два угла — третий угол и теорема синусов; катет и острый угол — тангенс."],"step":1},{"content":"В треугольнике $KLM$ известно: $KL = 6$, угол $K = 75^\\circ$, угол $L = 45^\\circ$. Решавр ищет $KM$: «По теореме косинусов $KM^2 = KL^2 + LM^2-2 \\cdot KL \\cdot LM \\cos L$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["<span>Ошибки нет: сторона $LM$<br>найдется из этого же равенства</span>","<span>Сторона $LM$ неизвестна: нужен<br>угол $M$ и теорема синусов</span>","<span>Угол взят не тот: для стороны<br>$KM$ в формуле нужен угол $K$</span>","<span>Функция не та: в теореме<br>косинусов стоит $\\sin L$, не $\\cos L$</span>"],"explanations":["Из одного равенства два неизвестных, $KM$ и $LM$, не найти: нужна пара «сторона — угол против нее»","","Сторона $KM$ лежит против вершины $L$, поэтому в формуле для $KM^2$ стоит именно $\\cos L$. Ошибка в другом: $LM$ неизвестна","В теореме косинусов стоит косинус угла между сторонами; формула Решавра записана верно, но в ней два неизвестных"],"answer":[1]}},"hints":["Отметьте замки: одна сторона $KL$ и два угла. Сторона $LM$ не дана — в равенстве Решавра два неизвестных, $KM$ и $LM$.","Найдите третий угол: $M = 180^\\circ-75^\\circ-45^\\circ = 60^\\circ$. Сторона $KL$ лежит против угла $M$ — пара полная, работает теорема синусов.","$KM = \\dfrac{KL \\sin L}{\\sin M} = \\dfrac{6 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 2\\sqrt6$. Ответ: не тот инструмент, нужна теорема синусов."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Рейка и угол напротив задают окружность

Закрепим рейку $BC$ и угол при вершине $A$, а саму вершину отпустим. Опишем около треугольника $ABC$ окружность. Из любой точки $A’$ той же дуги хорда $BC$ видна под тем же углом: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (курс 8 класса). Сколько бы ни двигалась вершина $A$ по дуге, рамка остается вписанной в ту же окружность. Значит, рейка и угол напротив задают радиус описанной окружности.

Теорема синусов

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов; отношение равно $2R$:

$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$

Здесь $R$ — радиус описанной окружности. Для радиуса достаточно одной полной пары.

Пример 3

В треугольнике $ABC$: $BC = 4\sqrt3$, $\angle A = 120^\circ$. Найдите радиус описанной окружности.

Решение. Угол тупой, его синус находим через острый угол:

$$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ-120^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$$

$$2R = \frac{4\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 8, \quad R = 4$$

Ответ: $4$.

Ошибка

Берут $\sin 150^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$. Хорда $BC = 7$ видна из точки $A$ окружности под углом $150^\circ$. Ошибочный расчет:

$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt3}{2}}, \quad R = \frac{7}{\sqrt3} \approx 4{,}04$$

Проверка на числах. Возьмем точку $D$ на другой дуге той же окружности. Четырехугольник $ABDC$ вписанный, поэтому $\angle D = 180^\circ-150^\circ = 30^\circ$. Из точки $D$ радиус равен $\dfrac{7}{2 \cdot \frac12} = 7$. У одной окружности не может быть двух радиусов.

Где сломалось. $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ-150^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac12$. Число $\dfrac{\sqrt3}{2}$ — это синус $60^\circ$ и $120^\circ$. Синусы углов $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$ равны, это доказано в уроке «Единичная полуокружность. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения».

Окружность радиуса 7 с хордой BC = 7: угол A = 150° и угол D = 30° опираются на одну хорду, красная окружность радиуса 7/√3 неверна — Из точек $A$ и $D$ хорда $BC = 7$ видна под углами $150^\circ$ и $30^\circ$, а окружность одна: $R = 7$. Красная окружность радиуса $\frac{7}{\sqrt3}$ — ответ с ошибкой, через $D$ она не проходит

{"questions":[{"content":"Хорда $BC = 6$ стягивает вписанный угол $A = 30^\\circ$. Чему равен радиус окружности? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["По теореме синусов $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$.","$2R = \\dfrac{6}{\\frac12} = 12$, $R = 6$."],"step":1},{"content":"Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $5$, угол $A = 150^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["По теореме синусов $BC = 2R\\sin A$; для тупого угла $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$BC = 2 \\cdot 5 \\cdot \\dfrac12 = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Хорда $PQ = 11$ видна из точки $T$ окружности под углом $150^\\circ$. Решавр находит радиус: «$2R = \\dfrac{11}{\\sin 150^\\circ} = \\dfrac{22}{\\sqrt3}$, значит, $R = \\dfrac{11}{\\sqrt3}$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["<span>Ошибки нет: $\\sin 150^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$<br>и $R = \\frac{11}{\\sqrt3}$</span>","<span>Неверна формула: $\\frac{PQ}{\\sin T}$<br>равно $R$, поэтому $R = \\frac{22}{\\sqrt3}$</span>","<span>Неверен синус: $\\sin 150^\\circ = \\frac12$,<br>поэтому радиус $R = 11$</span>","<span>Нужен $\\cos 150^\\circ$, он меньше<br>нуля — такой окружности нет</span>"],"explanations":["$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это синус $60^\\circ$ и $120^\\circ$; $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\frac12$","Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру $2R$, а не радиусу","","В формуле радиуса стоит синус; синус любого угла треугольника положителен, окружность существует"],"answer":[2]}},"hints":["Найдите синус тупого угла через острый: $\\sin 150^\\circ = \\sin(180^\\circ-150^\\circ) = \\sin 30^\\circ$.","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac12$, поэтому $2R = \\dfrac{11}{\\frac12} = 22$.","Ответ: неверно взят синус, $R = 11$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Площадь зависит от раствора шарнира

Возьмем две рейки $a$ и $b$ с шарниром $C$ между ними и будем раскрывать шарнир. Основание $a$ не меняется, а высота, опущенная на него, равна $b \sin C$. При $C = 90^\circ$ высота наибольшая — вся рейка $b$. При тупом угле высота снова уменьшается: $\sin(180^\circ-C) = \sin C$. Площадь равна половине основания, умноженного на высоту.

Площадь и высота

$$S = \frac12 ab \sin C$$

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Параллелограмм диагональю делится на две равные рамки-треугольника, поэтому его площадь вдвое больше:

$$S = ab \sin\alpha$$

Сверху: тупоугольный треугольник со сторонами 20 и 11 и углом 150°, высота 5,5 падает на продолжение стороны; снизу: параллелограмм, диагональ делит его на два треугольника по 55 — Слева: при тупом угле $A$ высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$, $BH = 11 \sin 30^\circ = 5{,}5$. Справа: параллелограмм — две такие рамки, $S = 2 \cdot 55 = 110$

Пример 4

В треугольнике $ABC$: $AB = 11$, $AC = 20$, $\angle A = 150^\circ$. Найдите площадь и высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$.

Решение. $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac12$.

$$S = \frac12 \cdot 11 \cdot 20 \cdot \frac12 = 55$$

$$h = \frac{2S}{AC} = \frac{110}{20} = 5{,}5$$

Проверка. Угол $A$ тупой, основание $H$ высоты лежит на продолжении $CA$ за точку $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAH = 30^\circ$, поэтому $BH = 11 \sin 30^\circ = 5{,}5$.

Ответ: $S = 55$, $h = 5{,}5$.

Параллелограмм со сторонами $11$ и $20$ и углом $150^\circ$ состоит из двух таких треугольников: $S = 11 \cdot 20 \cdot \sin 150^\circ = 110$.

{"questions":[{"content":"Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней: $S = \\dfrac12 a h_a$. Значит, высота к стороне $a$ равна $h_a = $[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{2S}{a}$","$\\dfrac{S}{2a}$","$\\dfrac{S}{a}$","$\\dfrac{a}{2S}$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["Умножьте обе части равенства $S = \\dfrac12 a h_a$ на 2: $2S = a h_a$.","Разделите на $a$: $h_a = \\dfrac{2S}{a}$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 10$ и $AC = 14$, угол $A = 30^\\circ$. Какова длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Площадь по двум сторонам и углу: $S = \\dfrac12 \\cdot 10 \\cdot 14 \\cdot \\dfrac12 = 35$.","Высота к стороне $AC = 14$: $h = \\dfrac{2S}{AC} = \\dfrac{70}{14} = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны параллелограмма равны 7 и 12, угол между ними $30^\\circ$. Найдите площадь. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["$S = ab\\sin\\alpha$.","$S = 7 \\cdot 12 \\cdot \\dfrac12 = 42$."],"step":1}],"mix":1}

Против острого угла параллелограмма лежит короткая диагональ

Треугольная рамка жесткая, а параллелограмм из четырех реек — нет: его можно сложить. Стороны не меняются, а углы и диагонали меняются. Каждая диагональ отрезает треугольник, в котором известны две стороны и угол между ними. Значит, диагональ дает теорема косинусов, а лежит она против того угла, который стоит в формуле.

Диагонали параллелограмма

Для сторон $a$, $b$ и угла $\alpha$ между ними диагональ против этого угла:

$$d^2 = a^2 + b^2-2ab \cos\alpha$$

Против острого угла лежит меньшая диагональ, против тупого — большая. Соседние углы дают в сумме $180^\circ$, их косинусы противоположны, поэтому:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$

Параллелограмм ABCD, AB = 20, AD = 12, угол A = 60°: диагональ BD против острого угла 4√19 ≈ 17,4, диагональ AC против тупого угла 28 — Диагональ $BD$ лежит против острого угла $A = 60^\circ$ и короче, $AC$ — против тупого угла $B = 120^\circ$ и длиннее

Пример 5

Стороны параллелограмма $ABCD$: $AB = 20$, $AD = 12$, тупой угол $B = 120^\circ$. Найдите обе диагонали.

Решение. Большая диагональ $AC$ лежит против тупого угла $B$:

$$AC^2 = 400 + 144-480 \cos 120^\circ$$

$$AC^2 = 544 + 240 = 784, \quad AC = 28$$

Меньшая $BD$ лежит против угла $A = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ$:

$$BD^2 = 544-240 = 304, \quad BD = 4\sqrt{19}$$

Проверка: $784 + 304 = 1088 = 2(400 + 144)$.

Ответ: $28$ и $4\sqrt{19} \approx 17{,}4$.

Ошибка

Диагональ ищут не против того угла. Пусть в условии примера 5 нужна только меньшая диагональ. В формулу подставляют данный угол $120^\circ$ и получают $28$.

Проверка на числах. По сумме квадратов вторая диагональ равна $\sqrt{1088-784} = \sqrt{304} \approx 17{,}4$. Она короче $28$, значит, $28$ — большая диагональ.

Где сломалось. В формуле вычитается $2ab\cos\alpha$. У острого угла косинус положителен, и квадрат диагонали меньше $a^2 + b^2$; у тупого косинус отрицателен, и квадрат больше. Поэтому против тупого угла $120^\circ$ лежит большая диагональ, а меньшую ищут через острый угол.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Стороны параллелограмма равны 7 и 15, острый угол $60^\\circ$. Найдите меньшую диагональ. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/t1tfiobbustv.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Меньшая диагональ лежит против острого угла, поэтому в формуле стоит $\\cos 60^\\circ$ со знаком «минус».","$d^2 = 49 + 225-2 \\cdot 7 \\cdot 15 \\cdot \\dfrac12 = 169$, $d = 13$."],"step":1},{"content":"Стороны параллелограмма равны 4 и 7, одна из диагоналей равна 7. Найдите другую диагональ. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.","$49 + d_2^2 = 2(16 + 49) = 130$, $d_2^2 = 81$.","$d_2 = 9$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны параллелограмма равны 15 и 25, его тупой угол $120^\\circ$. Решавр ищет <em>меньшую</em> диагональ: «$d^2 = 15^2 + 25^2-2 \\cdot 15 \\cdot 25 \\cdot \\cos 120^\\circ = 1225$, $d = 35$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["<span>Ошибки нет: против тупого<br>угла лежит меньшая диагональ</span>","<span>Неверен косинус: $\\cos 120^\\circ$<br>равен $\\frac12$, а не $-\\frac12$</span>","<span>Диагональ параллелограмма<br>теоремой косинусов не найти</span>","<span>Найдена большая диагональ: она<br>лежит против тупого угла $120^\\circ$</span>"],"explanations":["Наоборот: у тупого угла косинус отрицателен, и диагональ против него длиннее, $35 > 5\\sqrt{19}$","Косинус тупого угла отрицателен: $\\cos 120^\\circ = -\\cos 60^\\circ = -\\frac12$, здесь Решавр прав","Диагональ делит параллелограмм на два треугольника, в каждом известны две стороны и угол между ними",""],"answer":[3]}},"hints":["Решавр взял угол $120^\\circ$, а диагональ всегда лежит против того угла, который подставлен в формулу.","Против тупого угла лежит большая диагональ: у тупого угла косинус отрицателен, и при вычитании $2ab\\cos\\alpha$ квадрат диагонали больше $a^2 + b^2$.","Меньшая лежит против угла $60^\\circ$: $d^2 = 225 + 625-375 = 475$, $d = 5\\sqrt{19} \\approx 21{,}8$. Ответ: найдена большая диагональ."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Медиана — половина диагонали достроенной рамки

Вернемся к вопросу из начала урока: стороны треугольника $10$, $18$ и $20$, нужна медиана к стороне $18$. Углов нет, а медиана не сторона рамки. Достроим рамку. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$. Диагонали четырехугольника $ACBD$ делятся точкой $M$ пополам, значит, это параллелограмм. Его стороны — $10$ и $20$, диагонали — $AB = 18$ и $CD = 2m$.

Треугольник ABC со сторонами 20, 10, 18, медиана CM = m; достройка до параллелограмма ACBD, диагональ CD = 2m — Медиану $CM$ удвоили: получился параллелограмм $ACBD$ со сторонами $20$ и $10$, его диагонали — $18$ и $2m$

Пример 6

Стороны треугольника $ABC$: $AC = 20$, $BC = 10$, $AB = 18$. Найдите медиану $CM$.

Решение. Достроим до параллелограмма $ACBD$, $CD = 2m$. Сумма квадратов диагоналей:

$$18^2 + (2m)^2 = 2(20^2 + 10^2)$$

$$324 + 4m^2 = 1000$$

$$4m^2 = 676, \quad 2m = 26, \quad m = 13$$

Ответ: $13$.

Медиана по трем сторонам

Медиана $m_c$ к стороне $c$ — половина диагонали параллелограмма со сторонами $a$ и $b$:

$$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$$

Другой путь: дважды теорема косинусов

Скрыть

По трем сторонам найдем косинус угла $A$:

$$\cos A = \frac{400 + 324-100}{2 \cdot 20 \cdot 18} = \frac{13}{15}$$

В треугольнике $ACM$ известны $AC = 20$, $AM = 9$ и угол $A$ между ними:

$$CM^2 = 400 + 81-2 \cdot 20 \cdot 9 \cdot \frac{13}{15}$$

$$CM^2 = 481-312 = 169, \quad CM = 13$$

Ответ тот же, но путь длиннее: достроенная рамка экономит одно действие и дроби.

Задача повышенной сложности: биссектриса

Скрыть

В треугольнике $ABC$: $CA = 6$, $CB = 3$, $\angle C = 120^\circ$. Найдите биссектрису $CL$.

Решение. Биссектриса делит треугольник на два с углами $60^\circ$ при вершине $C$. Площадь целого равна сумме площадей частей; обозначим $CL = l$:

$$\frac12 \cdot 6 \cdot 3 \sin 120^\circ = \frac12 \cdot 6l \sin 60^\circ + \frac12 \cdot 3l \sin 60^\circ$$

Синусы равны, сократим на $\dfrac12 \sin 60^\circ$:

$$18 = 9l, \quad l = 2$$

Ответ: $2$.

{"questions":[{"content":"Нужно найти медиану $CM$ треугольника $ABC$, если известны три его стороны. Расставьте шаги так, чтобы каждый опирался на предыдущий.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Продлить медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$","Отсюда $ACBD$ — параллелограмм: его диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам","По свойству диагоналей параллелограмма записать $AB^2 + CD^2 = 2(AC^2 + BC^2)$ и найти $CD$","Отсюда медиана — половина найденной диагонали $CD$: $CM = \\dfrac{CD}{2}$"]}},"hints":["Сначала нужна новая точка: без нее нет параллелограмма.","Параллелограмм нужен, чтобы применить свойство его диагоналей; затем из формулы находится $CD$.","Порядок: продлить медиану → параллелограмм $ACBD$ → сумма квадратов диагоналей → $CM = \\dfrac{CD}{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Треугольник имеет стороны 8, 14 и 18. Чему равна медиана, проведенная к самой длинной стороне? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xzqbongh4rco.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Достроим треугольник до параллелограмма со сторонами 8 и 14: его диагонали равны $18$ и $2m$.","$(2m)^2 + 18^2 = 2(8^2 + 14^2) = 520$, $4m^2 = 520-324 = 196$.","$2m = 14$, $m = 7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

В задаче ОГЭ на треугольник главное — выбрать инструмент до вычислений. Отметьте замки рамки и спросите себя: есть ли полная пара «сторона — угол против нее»? Если элемент не сторона и не угол, подумайте, какую рамку достроить или какую взять целиком.

Что нужно	Что видим в рамке	Инструмент
Сторона или угол	Полная пара есть / нет	Теорема синусов / косинусов
Радиус описанной окружности	Рейка и угол напротив	$2R = \dfrac{a}{\sin A}$; у тупого угла синус острого смежного
Площадь, высота	Две рейки и раствор шарнира	$S = \frac12 ab \sin C$, $h_a = \dfrac{2S}{a}$
Диагональ параллелограмма	Рамка из четырех реек складывается	Против острого угла — меньшая; $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
Медиана	Рамку достраиваем до параллелограмма	$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$

Часто задаваемые вопросы

Как быстро понять, что нужна теорема косинусов?

Посмотрите, где стоит известный угол. Если он между двумя известными сторонами или углов не дано совсем, полной пары «сторона — угол против нее» нет. Тогда теорема синусов не поможет, а теорема косинусов даст ответ сразу.

Почему синус тупого угла положителен, а косинус отрицателен?

Синусы углов $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$ равны, а косинусы отличаются знаком. Поэтому $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac12$, а $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ$. Синус любого угла треугольника положителен — на это и опираются формулы площади и радиуса.

Как не перепутать большую и меньшую диагонали параллелограмма?

Диагональ лежит против того угла, который стоит в формуле. Против острого угла — меньшая, против тупого — большая: у острого угла косинус положителен и вычитается, у тупого отрицателен и прибавляется. Модель та же: чем шире раскрыт шарнир при тех же двух рейках, тем длиннее рейка напротив. Проверка — сумма квадратов диагоналей равна $2(a^2 + b^2)$.

Нужно ли запоминать формулу медианы?

Полезно, но ее легко вывести: удвойте медиану, получится параллелограмм, а для него известна сумма квадратов диагоналей. В задаче с развернутым решением запишите этот вывод — так решение будет обоснованным.

Что делать, если даны две стороны и угол не между ними?

Начните с теоремы синусов и найдите угол против второй известной стороны. По синусу подходят острый и тупой угол, поэтому треугольников может быть два. Как выбрать нужный, разбирается в уроке о решении треугольников по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу против одной из них.

Награды за урок