Решение треугольников

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=5$, $b=8$, $\\angle C=60^\\circ$. Найдите сторону $c$.<br /><br />[[image-81]][[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6$","$7$","$\\sqrt{41}$","$9$"],"answer":[1]},"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/5-1.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если известны две стороны и угол между ними, сначала удобно применить теорему косинусов.","Запишем теорему косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$.","Подставим значения: $c^2=5^2+8^2-2\\cdot5\\cdot8\\cdot\\cos60^\\circ$.<br />Вычислим: $c^2=25+64-80\\cdot\\frac{1}{2}=25+64-40=49$.<br />Найдем $c$: $c=\\sqrt{49}=7$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=8$, $\\angle B=30^\\circ$, $\\angle C=60^\\circ$. Найдите сторону $b$.<br /><br />[[image-173]][[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$4$","$4\\sqrt{3}$","$8$","$16$"],"answer":[0]},"image-173":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/triangle_obrazavr.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сначала найдите $\\angle A$, а затем примените теорему синусов.","Найдем третий угол: $\\angle A=180^\\circ-30^\\circ-60^\\circ=90^\\circ$.","Запишем теорему синусов для сторон $a$ и $b$: $\\dfrac{a}{\\sin A}=\\dfrac{b}{\\sin B}$.<br />Выразим $b$: $b=\\dfrac{a\\sin B}{\\sin A}$.<br />Подставим значения: $b=\\dfrac{8\\cdot\\sin30^\\circ}{\\sin90^\\circ}=\\dfrac{8\\cdot\\frac{1}{2}}{1}=4$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=8$, $\\angle B=30^\\circ$, $\\angle C=60^\\circ$. Найдите сторону $c$.<br /><br />[[image-273]][[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$4$","$4\\sqrt{3}$","$8\\sqrt{3}$","$2\\sqrt{3}$"],"answer":[1]},"image-273":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/triangle_obrazavr.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["После нахождения $\\angle A$ используйте теорему синусов для стороны $c$.","Найдем третий угол: $\\angle A=180^\\circ-30^\\circ-60^\\circ=90^\\circ$.","Запишем теорему синусов для $a$ и $c$: $\\dfrac{a}{\\sin A}=\\dfrac{c}{\\sin C}$.<br />Выразим $c$: $c=\\dfrac{a\\sin C}{\\sin A}$.<br />Подставим значения: $c=\\dfrac{8\\cdot\\sin60^\\circ}{\\sin90^\\circ}=\\dfrac{8\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{1}=4\\sqrt{3}$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=10$, $b=6$, $c=8$. Найдите $\\angle A$.<br /><br />[[image-314]][[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$","$120^\\circ$"],"answer":[2]},"image-314":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/triangle_obrazavr.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если известны три стороны, найдите косинус угла по теореме косинусов.","Запишем теорему косинусов для угла $A$: $a^2=b^2+c^2-2bc\\cos A$.","Выразим $\\cos A$: $\\cos A=\\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.<br />Подставим значения: $\\cos A=\\dfrac{6^2+8^2-10^2}{2\\cdot6\\cdot8}=\\dfrac{36+64-100}{96}=\\dfrac{0}{96}=0$.<br />Если $\\cos A=0$, то $\\angle A=90^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=7$, $c=10$, $\\angle B=60^\\circ$. Найдите сторону $b$.<br /><br />[[image-124]][[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{39}$","$\\sqrt{79}$","$\\sqrt{109}$","$13$"],"answer":[1]},"image-124":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/1-5.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Если известны две стороны и угол между ними (здесь это угол $B$ между сторонами $a$ и $c$), примените теорему косинусов.","Запишем теорему косинусов для стороны $b$ (напротив угла $B$): $b^2=a^2+c^2-2ac\\cos B$.","Подставим значения: $b^2=7^2+10^2-2\\cdot7\\cdot10\\cdot\\cos60^\\circ$.<br />Вычислим: $b^2=49+100-140\\cdot\\frac{1}{2}=149-70=79$.<br />Тогда $b=\\sqrt{79}$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны $a=9$, $b=12$, $c=15$. Найдите $\\angle C$.<br /><br />[[image-359]][[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$"],"answer":[3]},"image-359":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/triangle_obrazavr_2.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Найдите $\\cos C$ по теореме косинусов: для угла $C$ противоположная сторона — $c$.","Запишем теорему косинусов для угла $C$: $c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$.","Выразим $\\cos C$: $\\cos C=\\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.<br />Подставим значения: $\\cos C=\\dfrac{9^2+12^2-15^2}{2\\cdot9\\cdot12}=\\dfrac{81+144-225}{216}=\\dfrac{0}{216}=0$.<br />Если $\\cos C=0$, то $\\angle C=90^\\circ$."]}],"mix":1}